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黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期开学考试数学(文)试题


大庆实验中学 2015—2016 学年度上学期开学考试

高三数学(文科)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个项是符合题目要求的)
2 (1)已知集合 A ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ? x | x ? ?1? ,则 A ? B ? (

?

?



(A) (1, 2)

(B) ?2?
2

(C) (?1, 2) ) (D) 2i )

(D) ?1, 2?

(2)已知 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ? ? ( (A) ?2 (B) 2 (C) ? 2i

(3)命题“ ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 ”的否定是( (A) ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 (B) ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 (C) ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1 (D) ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1

(4)执行如图所示的程序框图,若输出结果为 63 ,则 M 处的条件为( (A) k ? 64? (B) k ? 64? (C) k ? 32? (D) k ? 32?



(5) 将函数 f ?x ? ? sin?2 x ? ? ? 的图象向左平移 则

? 个单位, 所得到的函数图象关于 y 轴对称, 8

? 的一个可能取值为( ) 3? ? ? (A) (B) (C) 0 (D) ? 4 4 4 (6)设 a , b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则能得出 a ? b 的是
(A) a ? ? , b / / ? , ? ? ? (B) a ? ? , b ? ? , ? / / ? (C) a ? ? , b ? ? , ? / / ? (D) a ? ? , b / / ? , ? ? ? (7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( (A) 8 ? 2 2 (B) 11 ? 2 2 (C) 14 ? 2 2 )
2





1

1

1

(D) 15 )

?x ? y ? 4 ? (8)设 x, y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?y ? 0 ?
(A) ?1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

(9)设三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱垂直于底面, AB ? AC ? 2, ?BAC ? 90?, AA 1 ?2 2, 且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是( ) (A) 4? (B) 8? (C) 12? (D) 16?

A

C
P

O

B

(10)如图, ?AOB 为等腰直角三角形, OA ? 1 , OC 为斜边 AB 的高,

P 为线段 OC 的中点,则 AP ? OP ? ( ) 1 (A) ? 1 (B) ? 8 1 1 (C) ? (D) ? 4 2 (11)如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O , F ? 2 5 ,0 为 C 的左焦点, P 为 C 上一点,满足

?

?

OP ? OF 且 PF ? 4 ,则椭圆 C 的方程为(
x y ? ?1 25 5 x2 y2 ? ?1 (C) 36 16
(A)
2 2 2 2


P

y

x y ? ?1 30 10 F O x x2 y2 ? ?1 (D) 45 25 ( 12 ) 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ? x ? 的 导 函 数 为 y ? f ' ? x ? , 当 x ? 0 时
(B)

f ?? x? ?
若a ?

f ? x? ?0 x

1 1 1 1 f ( ) , b ? ?2 f (?2) , c ? ( ln ) f ( ln ) ,则 a, b, c 的大小关系是( ) 2 2 2 2 (A) a ? b ? c (B) b ? c ? a (C) c ? a ? b (D) a ? c ? b

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个项是符合题目要求的) (13) 在 ?ABC 中,AB ?

?ABC 的面积为 ?B ? 30? , 3 ,AC ? 1 ,

(14)圆心在直线 x ? 2 上的圆与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) ,则该圆的标准方程 _______. ( 15 ) 函 数 y ? l o g x ? 3? ) 1 a( ? 且 0 a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线 a (

3 , 则 ?C ? _______. 2

mx ? ny ? 1 ? 0
1 1 ? 的最小值为_______. m n (16)设 f ( x) ? ln x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在区间 (0,4) 上有三个零点,则实数 a 的取
上,其中 mn ? 0 ,则 值范 围是_______. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17) (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2,前 3 项和 S3 = (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式, (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn . (18) (本小题满分 12 分)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度) ,以 ?160,180? ,

9 . 2

?180, 200? , ?200, 220? , ?220, 240? , ?240, 260? , ?260, 280? , ?280,300? 分组的频率分
布直方图如图. (1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数;

(3)在月平均用电量为 ? 220, 240? , ? 240, 260? , ? 260, 280? , ? 280,300? 的四组用户中, 用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在 ? 220, 240? 的用户中应抽取多少户?

D1 A1 B1

C1

(18 题图) (19 题图) (20 题图)

D O

C

B (19) (本小 A 题满分 12 分)如图,四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面为菱形,

AC , BD 交于点 O ,

AO ? 平面 ABCD , AA1 ? BD ? 2 , AC ? 2 2 . 1 (Ⅰ)证明: AC ? 平面 BB1D1D ; 1 (Ⅱ)求三棱锥 A ? C1CD 的体积.
x2 y2 ? ? 1 在第一象 16 12 8 6 限的交点为 B , O 为坐标原点, A 为椭圆的右顶点, ?OAB 的面积为 . 3 (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)过 A 点作直线 l 交 C1 于 C 、 D 两点,求 ?OCD 面积的最小值.
(20) (本小题满分 12 分)如图,抛物线 C1 : y ? 2 px 与椭圆 C 2 :
2

( 21 ) ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x ) ?

h( x) ? 1 ? x ? x ln x .
(Ⅱ)求 h( x) 的最大值;

ln x ? 1 ( e 是自然对数的底数) , ex

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 ( 1, f (1) ) 处的切线方程; ( III ) 设 g ( x) ? xf '( x) , 其 中 f '(x ) 为 f ( x ) 的 导 函 数 . 证 明 : 对 任 意 x ? 0 ,

g ( x) ? 1 ? e?2 .

请在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写 清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲

如图 AB 是 直径,AC 是 切线,BC 交 与点 E. (Ⅰ)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是 切线; (Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

y
B

C

O

A

x

D

? 2 x? t ? ? 2 已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是 ? (t 是 ?y ? 2 t ? 4 2 ? 2 ? 参数) ,以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程 ? ? ? 2 cos( ? ? ) . 4
(Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (Ⅱ)若 f ? x ? 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

大庆实验中学 2015—2016 学年度上学期开学考试 高三数学(文科)试题参考答案
一、选择题:DDCBB 二、 填空题: (13)60 三、解答题:
0

CBDDB

CD (15)3 ? 2 2 (16)(

(14)( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5

ln 2 1 ,) 2 e

3? 2 9 d? . 2 2 3 n- 1 1 1 d= , 化 简 得 a1 + 2d = 2, a1 + d = , 解 得 a1 = , 故 通 项 公 式 an = 1 + , 即 2 2 2 n +1 an = . ????6 分 2
(17)解: (1)设 {an } 的公差为 d ,则由已知条件得 a1 ? 2d ? 2 , 3a1 ? (2)由(1)得 b1 =1,b4 =a15 =

15+1 b = 8 .设 {bn } 的公比为 q,则 q 3 = 4 = 8 ,从而 q = 2 . 2 b1
的 前 n 项 和



{bn }

b1 (1 - q n ) 1? (1 2n ) Tn = = = 2n - 1 . 1- q 1- 2
( 18 ) 解 : ( 1 ) 由 ?0 . 0 0 2 ?

?????????12 分 得 : 20 1 ? 0.00? 5 ? 0.00 ? 25 是

0 . 0 0? 9 5 0 .? 0 1 1 0 .? 0 x1? 25
以 直 方 图

x ? 0.0075 0.0075 .





中 的 值 x ?????????3 分

(2)月平均用电量的众数是

220 ? 240 ? 230 ; 2

因为 ? 0.002 ? 0.0095? 0.011 ,所以月平均用电量的中位数在 ? 220, 240? ? ? 20? 0.45? 0.5 内, 设中位数为 a , 由 ?0 . 0 0 2 0 . 0 0 ? 9 5 0 . 0 1 1 ? 2 0 0 . 0 1 2 5? ? 所 以 月 平 均 用 电

?2 2 0


0 . 5 ? ? ?a


?

?

得:a ? 224 ,

224 .

中 位 数 是 ?????????7 分

? 20 ? 100 ? ( 3 ) 月 平 均 用 电 量 为 ? 220, 240? 的 用 户 有 0.0125

25 户,月平均用电量为

5 ?240, 260? 的 用 户 有 0 . 0 0 7?

2 ?0 1 0 ?0 户 1, 5 月 平 均 用 电 量 为 ? 260, 280? 的 用 户 有

0 . 0 0? 5 2? 0 10 ?0 户,月平均用电量为 10 ?280,300? 的用户有 0.0025? 20? 100 ? 5户,抽
取比例 ? 户.

11 1 1 ? ,所以月平均用电量在 ? 220, 240? 的用户中应抽取 25 ? ? 5 25 ? 15 ? 10? 5 5 5
?????????12 分

(19) 解: (I) 证明: 因为四边形 ABCD 为菱形, 所以 AC ? BD , 又因为 AO ? 平面 ABCD , 1

所以 AO ? BD .因为 AC ? AO ? O ,所以 BD ? 平面 A1 AC ,所以 1 1 ?????????2 分 BD ? AC 1 . 由已知 AA ? AC ,所以 AC ? A1 A ? 2 ,所以 1 ? 2 , AC ? 2 2 ,又 AO ? OC, AO 1 1
2 ? A1 A ,因为 B1B∥A1 A ,所以 AC ? B1B ,因为 A1 A2 ? AC ? AC 2 ,所以 AC 1 1 1 BD ? B1B ? B ,所以 AC ? 平面 BB1D1D . 1

?????? ???6 分 (Ⅱ)连接 AC 1 1 ,因为 AA 1∥CC1 且 AA 1 ? CC1 ,所以四边形 ACC1 A 1 是平行四边形,所以

AC 1 1∥AC ,
?? ???? 所 ???8 分 以
1







A ? C1CD
A






A A C

VA ?

?

C

V 1C ?

?

D

1 3

V 1?

1 C

?

S? ? A ????? 10 D 分 C

O

1 1 1 2 ? ? ? AC ? BD ? A1O ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ? . 3 4 12 3
??12 分 ( 20 ) 解 : ( Ⅰ ) 因 为

???????

?OAB









8 6 3

,





yB ?


4 6 , 3
椭 圆 方

??????????2 分 程 得



4 4 6 B( , ) 3 3







线











y 2 ? 8x

??????????6 分 直线 CD 斜率存在时,设直线 CD 方程为 y ? k ( x ? 4) ,带入抛物线,得

(Ⅱ) 直线 CD 斜率不存在时, S?OCD ? 16 2 ;

1 1 ky 2 ? 8 y ? 32k ? 0 , S?OCD ? OA y1 ? y2 ? 16 2 ? 2 ? 16 2 , 2 k 综 上 小 值 S?O C 最 D
16 2 .
??????????12 分



y B
O

C

A D

x

(21)解:(Ⅰ)由 f ( x ) ? 分

1 ln x ? 1 ,得 f (1) ? , x e e

?????????????1

f '( x) ?
分 所 以 曲 线

1 ? x ? x ln x , 所以 k ? f '(1) ? 0 , xe x
y ? f ( x)
在 点

?????????????3

( f1

,

处(

1 ) 切) 线 的







y?

1 . e

??????????????4 分 ???????????

(Ⅱ) h( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0, ??) .所以 h '( x) ? ? ln x ? 2 . 5分

令 h '( x) ? 0 得,x ? e .因此当 x ? (0, e?2 ) 时,h '( x) ? 0 ,h( x) 单调递增; 当 x ? (e?2 , ??) 时 减.
?2

?2



h' x ?

(

, )

h( x ) 0







???????????7 分

所以 h( x) 在 x ? e 处取得极大值, 也是最大值. h( x) 的最大值为 h(e?2 ) ? 1 ? e?2 . ???? 8分 (Ⅲ)证明:因为 g ( x) ? xf '( x) ,所以 g ( x) ?

1 ? x ? x ln x , ex
等 价 于

x?0


x

g ( x) ? 1 ? e?2
.

1? x

? xl

?2

???????????? 9 分1 e n x? e ( ?
?2 ?2

)

由(Ⅱ)知 h( x) 的最大值为 h(e ) ? 1 ? e ,故 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 . 只需证明 x ? 0 时,e ? 1 成立, 这显然成立.
x

????????????

10 分 所以 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e 12 分 (22)解: (Ⅰ)连结 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB, 在 Rt△AEC 中,由已知得 DE=DC,∴∠DEC=∠DCE, 连结 OE,∠OBE=∠OEB, ∵∠ACB+∠ABC=90° ,∴∠DEC+∠OEB=90° , ∴∠OED=90° ,∴DE 是圆 O 的切线. ???????????5 分 ( Ⅱ ) 设 CE=1 , AE= x , 由 已 知 得 AB= 2 3 , BE ? 12 ? x , 由 射 影 定 理 可 得 ,
2
?2 ?2 因此对任意 x ? 0 ,g ( x) ? 1 ? e . ? ex (1 ? e?2 ) ,

?????

AE 2 ? CE?BE ,∴ x2 ? 12 ? x2 ,解得 x = 3 ,∴∠ACB=60° .

????10 分

(23)解:(Ⅰ)直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 ,曲线 C 的直角坐标系下的方程为

(x ?

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,圆心 ( ,? ) 到直线 x ? y ? 4 2 ? 0 的距离为 2 2 2 2 5 2 d? ? 5 ?1 2 l 与 曲 线 C 所 以 直 线 的 位 置 关 系
????????????5 分 Ⅱ ) 设





离. (

M(

x ? y ? c ? ? o? ?

s ??

?
4

2 2 ? cos ? , ? ? sin ? ) 2 2
? i .??10 n 分 ? 2





?? ? ?s

s

i

n

(24)解: (Ⅰ)当 a=1 时,不等式 f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|>1,等价于

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ?x ? 1 2 或? 或? ,解得 ? x ? 2 , ? 3 ?? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1
所 以 不 等 式 f(x)>1 的 解 集 为

{x |

2 ? x ? 2} . 3

???????????5 分

? x ? 1 ? 2 a , x ? ?1 ? (Ⅱ)由题设可得, f ( x) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a ,所以函数 f ( x ) 的图像与 x 轴围成的三 ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
角形的三个顶 点分别为 A(

2a ? 1 , 0) , B(2a ? 1,0) , C (a, a+1) ,所以 △ABC 的面积 为 3

2 ( a ? 1) 2 . 3
由 题 设 得 +∞).

2 ( a ? 1) 2 > 6 , 解 得 a ? 2 . 所 以 a 的 取 值 范 围 为 ( 2 , 3
??????????10 分


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