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三角函数的周期性


江苏省南通田家炳中学

2015 级高一学案

032

1.3.1
明目标、知重点

三角函数的周期性

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数 y=sinx,y=cosx,

y=tanx 都是周期函数, 都存在最小正周期.3.会求函数 y=Asin(ωx+φ)及 y=Acos(ωx+φ)的周 期.

1.函数的周期性 (1)对于函数 f(x), 如果存在一个, 使得当定义域内的, 都满足, 那么函数 f(x)就叫做周期函数, 非零常数 T 叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的

2.正弦函数、余弦函数的周期性 由 sin(x+2kπ)=,cos(x+2kπ)=(k∈Z)知 y=sinx 与 y=cosx 都是函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都 是它们的周期,且它们的最小正周期都是 3.y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的周期 一般地,函数 y=Asin(ωx+φ)及 y=Acos(ωx+φ)(其中 A,ω,φ 为常数,且 A≠0,ω>0)的周 期.

例 1 求下列三角函数的周期: (1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R; 1 π? (3)y=2sin? ?2x-6?,x∈R.

反思与感悟 对于形如函数 y=Asin(ωx+φ),ω≠0 时的周期求法常直接利用 T= 对于 y=|Asinωx|的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练 1 求下列函数的周期: 1 π? (1)y=cos2x;(2)y=sin? ?-2x+3?;(3)y=|cosx|.

2π 来求解, |ω|

1 例 2 已知 f(x+2)=- ,求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期. f?x?
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跟踪训练 2 已知 f(x+1)=-f(x-1)对任意实数 x 均成立,求证:f(x)是周期函数,并求出其 周期.

π 1.函数 f(x)=cos(2x+ )的最小正周期是________. 4

π? π 2.已知 f(x)=cos? ?ωx-6?的最小正周期为5,其中 ω>0,则 ω=________.

3.今天是星期三,从明天算起,第 167 天是________.

π 4.下列函数中,周期为 的是________. 2 x x ①y=sin ②y=sin2x ③y=cos 2 4 ④y=cos(-4x)

一、基础过关
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π? 1.函数 f(x)=sin? ?2πx+4?的最小正周期是________.

π? 2π 2.函数 y=sin? ?ωx+4?的最小正周期是 3 ,则 ω=______.

π 3.函数 f(x)=cos x,则 f(2014)=________. 6

π? 4.函数 y=3sin? ?2x+4?的最小正周期为________.

k π? 5.已知函数 f(x)=8sin? ?3x-3?-2 的最小正周期不大于 3,则正整数 k 的最小值是________.

π ωx+ ?的最小正周期为 T, 6. 若函数 f(x)=2cos? 且 T∈(1,3), 则正整数 ω 的最大值是________. 3? ?

7.求下列函数的周期: π π π (1)y=4sin( x+ )+2;(2)y=3cos( -2x)-1. 3 4 3

二、能力提升 π 8.设函数 f(x)=sin x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=________. 3

3

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1 9. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)= , 且当 x∈[0,1]时, f(x)=2x, 则 f(7.5)=________. f?x?

10.已知函数 f(x)对于任意 x∈R 满足条件 f(x+3)=

1 1 ,且 f(1)= ,则 f(2014)=________. 2 f?x?

11 . 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 最 小 正 周 期 为 π ? ?cos2x ?- ≤x<0? 15π 2 ? ,求 f(- )的值. 4 ?sinx?0≤x<π? ?

3π 的 函 数 , 在 某 一 周 期 上 f(x) = 2

12.已知函数 f(x)= log 1 |sinx|.
2

(1)求其定义域和值域;
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(2)判断其周期性,若是周期函数,求其最小正周期. 三、探究与拓展

13.已知函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)=- (1)求证:函数 f(x)是周期函数. (2)若 f(1)=-5,求 f(f(5))的值.

1 (f(x)≠0). f?x?

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