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交大附中2014版高考数学第一轮复习训练:函数概念与基本初等函数(word版含答案)


上海交通大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分 必备单元训练:函数概念与基本初等函数
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且在 x ? [0,1] 时, f ( x) ? ? x ? 1 ,则关于 x 的 方程 f ( x) ? lg( x ? 1) ,在 x ? [0,9] 上解的个数是( A. 7 【答案】C
2

) D. 10

B. 8

C.

9

2.若函数 y ? x ? 2ax ? 1 的减区间是 ? ??, 2? ,则实数 a 值是( A. ? 2,+? ? 【答案】B 3.函数 f ( x) ? log3 x ? 2 x ? 8 的零点位于区间( A. ?1, 2 ? 【答案】C 4.已知指数函数 1 A. 4 【答案】C B. ? 2,3? ) D. ? 5,6 ? B. ?2 C. 2

) D. ? ??, ? 2?

C. ? 3, 4 ?

y ? ax
1 B. 2

在 [ 0, 1] 上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为( C.2 D.4

)

1 1 5.设方程 log4 x ? ( ) x ? 0 、 log 1 x ? ( ) x ? 0 的根分别为 x1 、 x 2 ,则( 4 4 4

)

A. 0 ? x1 x2 ? 1 D. x1 x2 ? 2 【答案】A 6.下列大小关系正确的是( A. C. 【答案】C )

B. x1 x2 ? 1

C. 1 ? x1 x2 ? 2

B. D.

x x 7.为了得到函数 y=3× ( ) 的图象,可以把函数 y= ( ) 的图象(

1 3

1 3

)

A.向左平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 【答案】D

B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度

第 1 页 共 6 页

8.已知 a= 0.3 ,b= 2 A.b>c>a C.a>b>c 【答案】A

0.3

, c ? 0.30.2 ,则 a,b,c 三者的大小关系是( B.b>a>c D.c>b>a
1

)

9.若 x0 是函数 f ( x) ? ( ) x ? x 3 的零点,则 x0 属于区间( A. ( , ) 【答案】A 10.设 a ? {?2, ?1, ? 的 a 值的个数为( A.0 【答案】D

1 2

) D. (0, )

1 2 3 3

B. ( ,1)

2 3

C. ( , )

1 2 2 3

1 3

1 1 1 , , ,1, 2,3} ,则使幂函数 y ? xa 为奇函数且在 (0, ??) 上单调递增 2 3 2
) B.1 C.2 ) C. 1 ? m ? 2 m D. 1 ? 2 m ? m D.3

11.实数 m 满足方程 2 x ? log 1 x ? 0 ,则有(
2

A. 2 m ? 1 ? m 【答案】B

B. m ? 1 ? 2 m

12.已知函数 y ? x2 ? x 的定义域为{0,1,2},那么该函数的值域为( A.{0,1,2} C. { y | ? ? y ? 2} 【答案】B B.{0,2} D. { y | 0 ? y ? 2}

)

1 4

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. 设 x ? R, f ( x ) ? ( ) , 若不等式 f ( x) ? f (2 x) ? k 对于任意的 x ? R 恒成立, 则实数

1 2

x

k 的取值范围是____________ 【答案】 k ? 2
14.对 a,b ? R,记 max?a, b? ? ? 最小值是 【答案】 , 15.已知 m 是正整数,若关于 x 的方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可 能的取值集合是 【答案】 ?3,14,30? 16.已知函数 f ( x) ? e ? 2 x ? a 有零点,则 a 的取值范围是____________
x

?a, a ? b ,函数 f(x)= max ? x 2 , 2 x ? 3 ,? x ? 1??x ? R? 的 b , a < b ?

.

5 3



第 2 页 共 6 页

(-?,2ln2-2] 【答案】 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x 2 | x ? a | . (Ⅰ)当 a=2 时,求 f(x)=x 使成立的 x 的集合; (Ⅱ)求函数 y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. 【答案】 (1)当 a=2 时, f ? x ? ? x x ? 2 ,则方程 f(x)=x 即为 x x ? 2 ? x
2 2

解方程得: x1 ? 0, x2 ? 2 ?1, x3 ? 1 (2) (I)当 a>0 时,

4分

? x3 ? ax 2 , x ? a ? , f ? x ? ? x2 x ? a ? ? 2 3 ? ?ax ? x , x ? a
2a 借助于图像可知 3

作出其草图见右, 易知 f ? x ? 有两个极值点 x1 ? 0, x2 ?

当 0 ? a ? 1 时,函数 f ? x ? 在区间[1,2]上为增函数,此时 f ? x ?min ? f ?1? ? 1 ? a 当 1 ? a ? 2 时,显然此时函数的最小值为 f ? a ? ? 0 当 2 ? a ? 3 时,

4 2a ? 2a ? ? 2a ? ? ? 2 ,此时 f ? x ? 在区间 ?1, ? 为增函数,在区间 ? , 2? 上为减 3 3 ? 3 ? ?3 ?

函数,∴ f ? x ?min ? min ? f (1), f (2)? ,又可得 f ?1? ? a ?1, f ? 2? ? 4a ? 8 ∴ f ? 2? ? f ?1? ? 3a ? 7 则当 12 分

7 ? a ? 3 时, f ? 2? ? f ?1? ? 0 ,此时 f ? x ?min ? f (1) ? a ?1 3 7 当 2 ? a ? 时, f ? 2? ? f ?1? ? 0 ,此时 f ? x ?min ? f (2) ? 4a ? 8 3 2a ? 2 ,此时 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 为增函数,故 f ? x ?min ? f (1) ? a ?1 当 a ? 3 时, 3
2 (II)当 a ? 0 时, f ? x ? ? x x , 此时 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 也为增函数, 故 f ? x ?min ? f (1) ? 1

(III)当 a ? 0 时,显然函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 为增函数,故 f ? x ?min ? f (1) ? 1 ? a

x ? R ,使得 f (x 0 ) ? x 0 成立,称 x 0 为不动点,已知 18.对于函数 y ? f (x ) ,若存在 0
函数 f (x ) ? ax ? (b ? 1)x ? (b ? 1), (a ? 0)
2

(1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x ) 不动点; (2)若对任意的实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;

第 3 页 共 6 页

(3) 在 (2) 的条件下, 若 y ? f (x ) 图象上 A, B 两点的横坐标是函数 f ( x ) 不动点, 且A,B

y ? kx ?
两点关于直线

1 2a ? 1 对称,求 b 的最小值.
2

【答案】 (1)当 a ? 1, b ? ?2 时, f (x ) ? x

2

? x ? 3 ,令 x ? x 2 ? x ? 3 ,解之得

x 1 ? ?1, x 2 ? 3
所以 f ( x ) 的不动点是-1,3 (2) f (x ) ? ax ? (b ? 1)x ? (b ? 1) 恒有两个不动点,
2

所以 x ? ax ? (b ? 1)x ? (b ? 1) ,即 ax ? bx ? (b ? 1) ? 0 恒有两个相异实根,
2
2
2 得 ? ? b ? 4ab ? 4a ? 0 恒成立。于是 ? ? ?4a ? ? 16a ? 0 解得 0 ? a ? 1

'

2

所以 a 的取值范围为 0 ? a ? 1 (3)由题意,A、B 两点应在直线 y ? x 上,

y 设 A ?x 1 , x 1 ?, B ?x 2 , x 2 ? ,因为 AB 关于直线
设 AB 中点为 M

? kx ?

1 2a ? 1 对称,所以 k ? ?1
2

?x 0 , y 0 ? ,因为 x 1 , x 2 是方程 ax 2 ? bx ? (b ? 1) ? 0 的两个根。

所以

x0 ? y0 ?

x1 ? x 2 b ?? 2 2a
y ? ?x ? 1 2a ? 1 上,代入得
2

?

于是点 M 在直线

b b 1 ? ? 2 2a 2a 2a ? 1

b ??


a 2a ? 1
2

??

1 2a ? 1 a

??

1 2 2

??

2 4

2a ?
当且仅当

1 2 2 ? a? ? ?0,1? a即 4 2 时取等号。故 b 的最小值为
2

19.若二次函数 f(x)=-x +2ax-a 在[0,1]上的最大值为 2,求 a 的值。 【答案】当 a ? 0 时, 当 a ? 1 时,

f ( x)max = f (0) ? ?a ? 2
∴ a =3

∴ a =-2

f ( x)max = f (1) ? 2

第 4 页 共 6 页

当 0< a <1 时, f ( x)max = f (a) ? ?a2? 2a ? a ? 2 ∴ a =-1 或 a =2 (不合题意,舍去) 综上 a =-2 或 a =3 20.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销 售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出场单 价就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少? 【答案】(1)当 0<x≤100 时,p=60; 当 100<x≤600 时,p=60-(x-100)×0.02=62-0.02x. ? 0<x≤100, ?60, ∴p=? ?62-0.02x, 100<x≤600. ? (2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x-40x=20x; 当 100<x≤600 时, 2 y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x .
?20x, 0<x≤100, ? ∴y=? 2 ?22x-0.02x , 100<x≤600. ?

当 0<x≤100 时,y=20x 是单调增函数,当 x=100 时,y 最大,此时 y=20×100=2000; 当 100<x≤600 时, 2 2 y=22x-0.02x =-0.02(x-550) +6050, ∴当 x=550 时,y 最大,此时 y=6050. 显然 6050>2000. 所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6050 元. 21.求下列函数的定义域: (Ⅰ) y ? 2 x ? 1 ? 3 ? 4 x ; (Ⅱ) y ?

1 . x ? 2 ?1

1 ? 2x ? 1 ? 0 ? x ? ? ? ? 2 【答案】(Ⅰ)由已知得 ? ?3 ? 4 x ? 0 ? x ? 3 ? 4 ?
1 3 ? 函数的定义域为 [? , ] 2 4
(Ⅱ)由已知得:

? x ? 2 ?1 ? 0 ? x?2 ?1

? 函数的定义域 (??,?3) ? (?3,?1) ? (?1,??)
22. (1) (2) lg

25 27 ? 1 ? ( ) 3 ?? 0 ; 9 64

1 5 ? lg ? lg12.5 ? ? log 2 3?? log 3 2 ? . 2 8
第 5 页 共 6 页

【答案】 (1) 原式= [( ) ]2 ? [( ) ]
2 3

5 3

1

3 4

?

1 3

5 4 ?1 = ? ? 1 = 2 . 3 3

(2) 原式 = lg( ? ?

1 8 25 ? lg 3 ? ? lg 2 ? )?? ??? ? ? lg10 ? 1 ? 0 . 2 5 2 ? lg 2 ? ? lg 3 ?

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