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1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(高中数学人教A选修2-3)


1.1分类计数原理

与分步计数原理

请思考:

问题1:用一个大写的英文字母

或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共 能够编出多少种不同的号码?
问题剖析

问题1
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号

要完成什么事情
完成这个事情有几 类方案 每类方案能否独立 完成这件事情 每类方案中分别有 几种不同的方法 完成这件事情共有 多少种不同的方法

两类 能 26种 10种

26+10=36种

假如你从南宁到北海, 可以坐直达客车或直达火车,

客车每天有3个班次,火车每天有2个班次, 请问你共有多少种不同的走法? 客车1
南宁

客车2 客车3
火车1

北海

火车2 分析:完成从南宁到北海这件事有2类方案,
所以,从从南宁到北海共有3+ 2= 5种方法.

问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征? 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事

3、都是采用加法运算

你能总结出这类问题的一般解决规律吗?

完成一件事有两类不同的方案, 在第1类方案中有m种不同的方法, 在第2类方案中有n种不同的方法, 那么完成这件事共有 N= m+ n 种不同的方法。

例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下: A大学 B大学
生物学 数学

化学
医学

会计学
信息技术学

物理学
工程学

法学

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?

变式:在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解 到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业,具体情况如下: C大学 A大学 B大学
生物学 数学 机械制造

化学
医学

会计学
信息技术学

建筑学
广告学 汉语言文学 韩语

物理学
工程学

法学

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)

关于分类计数原理的几点注记:
⑴各类办法之间相互独立,都能完成这件事,且办法 总数是各类办法相加,所以这个原理又叫做加法原 理; ⑵分类时,首先要在问题的条件之下确定一个分类标

准,然后在确定的分类标准下进行分类;
⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类,且分别 属于不同两类的两种方法都是不同的——不重不漏.

如果完成一件事情有3类不同方案, 在第1类方案中有m1种不同的方法, 在第2类方案中有m2种不同的方法, 在第3类方案中有m3种不同的方法, 那么完成这件事情有 N=m1+m2+m3 种不同的方法 完成一件事有 n 类不同的方案, 在第1类方案中有 m1 种不同的方法, 在第2类方案中有 m2 种不同的方法, …… 在第n类方案中有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法。

探究1

1.某学生去书店,发现3本好书,决定至少买其中一本,
则购买方式共有( A.3种 ) B.6种 C.7种 D.9种

解析:分3类:买1本书,买2本书和买3本书,各类的购
买方式依次有 3 种、 3 种和 1 种,故购买方式共有 3 + 3 + 1 = 7(种). 答案:C

2. 如图所示为一电路图,从A到B可通电的线路共有( D)

A.1条 C.3条

B.2条 D4条

3. 高二(1)班有学生50人,其中男生30人;高二(2)班 有学生60人,其中女生30人;高二(3)班有学生55人,其中 男生35人. (1)从中选一名学生任学生会主席,有多少种不同选法?

(2)从高二(1)班、(2)班男生中,或从高二(3)班 女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法?
分析:按当选学生来自不同班级分类. 解析: (1)选一名学生有三类不同的选法. 第一类:从高二(1)班选一名,有50种不同的方法;

第二类:从高二(2)班选一名,有60种不同的方法;
第三类:从高二(3)班选一名,有55种不同的方法.

故任选一名学生任学生会主席的选法共有 50+60+55=165 种不同的方法. (2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类:从高二(1)班男生中选有30种不同的方法; 第二类:从高二(2)班男生中选有30种不同的方法; 第三类:从高二(3)班女生中选有20种不同的方法. 故任选一名学生任学生会体育部长有 30+30+20=80种不同 的方法.

如图,由A村去B村的道路有3条,由 B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村, 共有多少种不同的走法?

A村 中 南 南 C村 B村

问题2



分析: 从A村经 B村去C村有 2 步, 第一步, 由A村去B村有 3 种方法, 第二步, 由B村去C村有 2 种方法, 所以从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同 的方法

分类加法计数原理: 完成一件事有 两类不同方案,在第 1类方案中有m种不 同的方法,在第2类 方案中有n种不同的 方法.那么完成这件 事共有 N=m+n 种不同的方法.

分步乘法计数原理: 完成一件事需 要两个步骤,做第1 步有m种不同的方法 ,做第2步有n种不同 的方法.那么完成这 件事共有 N=m×n 种不同的方法.

例2、设某班有男生30名,女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不 同的选法? 例3、长征的部分电话号码是0943665××××,后面每 个数字来自0~9这10个数,问可以产生多少个不同的电 话号码? 分析:

0943665 分析:

10×10× 10× 10=104 10× 9 × 8 × 7=5040

变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?

4个插班生分到甲、乙、丙三个班,有多少种不同 的分法. 分析:一个学生分到甲、乙、丙中的某个班,有3种不同 方法,一个学生确定到哪个班后,这件事情并没有完成,只 有4个学生全部确定各自到哪个班后这件事情才算完成,故应 用乘法原理解决. 解析:完成4个学生分到3个不同的班级这件事,可按每 个学生对班级选择分四步完成,每一步中每一个学生在3个班 级中选择一个,有3种选法,由乘法原理得共有34=81种不同 的分法.

2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果 一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( )

A.7

B.12

C.64

D.81

解析:要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件中 任选一件,有4种不同的选法;第2步,选长裤,从3条长裤中 任选一条,有3种不同选法.故共有4×3=12种不同取法. 答案:B

关于分步计数原理的几点注记
⑴各个步骤之间相互依存,且方法总数是各个步骤 的方法数相乘,所以这个原理又叫做乘法原理 ; ⑵分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标 准,然后在确定的分步标准下分步; ⑶完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完 成每一个步骤.

如果完成一件事情需要3个步骤, 第1步有m1种不同的方法, 第2步有m2种不同的方法, 第3步有m3种不同的方法, 那么完成这件事情有 N=m1×m2×m3 种不同的方法 完成一件事需要 n 个步骤, 第1步有 m1 种不同的方法, 第2步有 m2 种不同的方法, …… 第n步有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法。

探究2

练习:
三个比赛项目,六人报名参加。 1)每人参加一项有多少种不同的方法? 36 ? 729 2)每项1人,且每人至多参加一项,有多少种不 同的方法?

6 ? 5 ? 4 ? 120

3)每项1人,每人参加的项数不限,有多少种不 同的方法? 3
变式:有四位同学参加三项不同的竞赛

6 ? 216

(1)每位同学必须且只需参加一项竞赛,有多少 种不同的参赛方式? 3? 3? 3? 3 ? 81
(2)没项竞赛值允许一位学生参加,有多少种不 同的参赛方式? 4 ? 4 ? 4 ? 64

例5. 五名学生报名参加四项体育比赛,每人 限报一项,报名方法的种数为多少?又他们争 夺这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多 少种?
解:(1)5名学生中任一名均可报其中的任一项,因此每 个学生都有4种报名方法,5名学生都报了项目才能算完成 这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 . (2)每个项目只有一个冠军,每一名学生都可能获得 其中的一项获军,因此每个项目获冠军的可能性有5种 故有n=5×5×5×5= 54 种 .

例:用0、1、2、3、4这5个数字可组成多少个无 重复数字的: (1)四位密码?(2)四位数?(3)四位奇数?
解:完成“组成无重复数字的四位密码”这件
事需要四个步骤, 第1步,取左边第一位上的数字,有5种选取方法; 第2步,取左边第二位上的数字,有4种选取方法; 第3步,取左边第三位上的数字,有3种选取方法

第4步,取左边第四位上的数字,有2种选取方法
有分步乘法计数原理知,可以组成不同的四位密 码共有N=5×4×3×2=120(个)

例:用0、1、2、3、4这5个数字可组成多少个无 重复数字的: (1)四位密码?(2)四位数?(3)四位奇数?
解:完成“组成无重复数字的四位数”这件
事需要四个步骤, 特殊元素特殊位置优先考虑 第1步,取左边第一位上的数字,有4种选取方法; 第2步,取左边第二位上的数字,有4种选取方法; 第3步,取左边第三位上的数字,有3种选取方法

第4步,取左边第四位上的数字,有2种选取方法
有分步乘法计数原理知,可以组成不同的四位密 码共有N=4×4×3×2=96(个)

例3 书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放 有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书 . (1)从书架中取1本书,有多少种不同取法? 有3类方法,根据分类加法计数原理 N=4+3+2=9
(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?

分3步完成,根据分步乘法计数原理
N=4×3×2=24
解题关键:从总体上看做这件事情是“分类完成”,还 是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.

分类计数原理与分步计数原理的区别
区别在于: 1.分类计数原理针对的是“分类”问题, 其中各种方法相互独立,用中任何一 种方法都可以做完这件事; 2.分步计数原理针对的是“分步”问题, 各个步骤中的方法相互依存,只有各 个步骤都完成才算做完这件事.

两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理

相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成类类相加 分步完成 步步相乘

每类方案中的每一 不同点 种方法都能______ 独立 完成这件事

依次完成 才 每步_________ 算完成这件事情 (每步中的每一种 方法不能独立完成 这件事)

注意 类类独立

不重不漏 步步相依 步骤完整

解答计数问题的一般思维过程:
完成一件什么事

如何完成这件事

方法的分类

过程的分步

利用加法原理进行计数

利用乘法原理进行计数

例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多 少种不同的挂法? 左边 右边 分 第一步 第二步 乙 两 甲 丙 步 3 × 2 完 甲 成 乙 丙 丙 甲



例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有 多少种不同的挂法?

解:从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上,可以分两个步骤完成: 第一步,从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3 种选法; 丙 甲 乙 第二步,从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上, 有2种选法。
根据分步计数原理,不同挂法的种数是: N=3×2=6.

思考:还有其他解答本题的方法吗?

例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有 多少种不同的挂法?

解:从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上,可以分两个步骤完成: 第一步,从3幅画中选出2幅,有3种选法;

丙 甲 乙 (“甲、乙”,“甲、丙”,“乙、丙”) 第二步,将选出的2幅画挂好,有2中挂法
根据分步计数原理,不同挂法的种数是: N=3×2=6.

例6.给程序模块命名,需要用3个字符,其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z,后两个要求用数字1~ 9,问最多可以给多少个程序命名?
分析:要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:第一步, 选首字符;第二步,先中间字符;第三步,选末位字符。

解:首字符共有7+6=13种不同的选法, 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理,最多可以有13×9×9=1053种不同的选法

答:最多可以给1053个程序命名。

例7.核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据,总共有4个不同的碱基,分别用A,C,G,U表 示,在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成,那么能有多少种不同的RNA分子?

分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链,每个位置都可以从A、 第1位 第2位 第3位 第100位 C、G、U中任选一个来占据。
……
4种 4种 4种 4种

解:100个碱基组成的长链共有100个位置,在每个位置中,从A、C、G、U 中任选一个来填入,每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理,共有
100 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 = 4 种不同的RNA分子. ?? ? ??? ? 100 个4

例8.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态,而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法,即二进制,为了使计 算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一 个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位,每个字节由8个二进制位构成,问 (1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符? (2)计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字,一个 汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用 多少个字节表示? 如00000000,10000000, 11111111.
2种 2种 2种 2种

第1位

第2位

第3位

第8位

……

例9.计算机编程人员在编 开始 写好程序以后要对程序进 行测试。程序员需要知道 到底有多少条执行路(即 子模块3 子模块2 子模块1 28条执行路径 45条执行路径 程序从开始到结束的线),18条执行路径 以便知道需要提供多少个 测试数据。一般的,一个 A 程序模块又许多子模块组 成,它的一个具有许多执 行路径的程序模块。问: 子模块5 子模块4 43条执行路径 38条执行路径 这个程序模块有多少条执 行路径?另外为了减少测 试时间,程序员需要设法 减少测试次数,你能帮助 结束 程序员设计一个测试方式, 以减少测试次数吗?

分析:整个模块的任 意一条路径都分两步 完成:第1步是从开 始执行到A点;第2步 是从A点执行到结束。 而第步可由子模块1 或子模块2或子模块3 来完成;第二步可由 子模块4或子模块5来 完成。因此,分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。

开始

子模块1 18条执行路径

子模块2 45条执行路径 A

子模块3 28条执行路径

子模块4 38条执行路径

子模块5 43条执行路径

结束

2)在实际测试中,程序 开始 员总是把每一个子模块看 成一个黑箱,即通过只考 察是否执行了正确的子模 子模块3 子模块2 子模块1 块的方式来测试整个模块。 28条执行路径 45条执行路径 18条执行路径 这样,他可以先分别单独 测试5个模块,以考察每 A 个子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为: 18+45+28+38+43=172。 子模块5 子模块4 43条执行路径 38条执行路径 再测试各个模块之间的信 息交流是否正常,需要测 试的次数为:3*2=6。 如果每个子模块都正常工 结束 作,并且各个子模块之间 的信息交流也正常,那么 这样,测试整个模块的次数就变为 整个程序模块就正常。 172+6=178(次)

分类加法计数原理: 完成一件事有 两类不同方案,在第 1类方案中有m种不 同的方法,在第2类 方案中有n种不同的 方法.那么完成这件 事共有 N=m+n 种不同的方法.

分步乘法计数原理: 完成一件事需 要两个步骤,做第1 步有m种不同的方法, 做第2步有n种不同 的方法.那么完成这 件事共有 N=m×n 种不同的方法.

两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘 不同点 每类方案中的每一 独立 种方法都能______ 完成这件事 依次完成 才 每步_________ 算完成这件事情 (每步中的每一种 方法不能独立完成 这件事)

注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整

解答计数问题的一般思维过程:
完成一件什么事

如何完成这件事

方法的分类

过程的分步

利用加法原理进行计数

利用乘法原理进行计数

例10.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速 增长,汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车 牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字 母和3个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合成一组出 现,3个数字也必须合成一组出现,那么这种办法共能给多少 辆汽车上牌照?

思考 1.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一 个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路 线共有多少条?
D1 A1 B1 C1

D
A B

C

解:如图,从总体上看,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三 类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类(A—B): 第二类(A—D): 第三类(A—A1): m1 = 1×2 = 2 m2 = 1×2 = 2 m3 = 1×2 = 2 条 条 条

因此, 根据分类原理, 从顶点A到顶点C1最近路 线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
D1 A1 D A B B1 C C1

练习 如图,从甲地到乙地有2条路,从乙地到 丁地有3条路;从甲地到丙地有4条路可以 走,从丙地到丁地有2条路。从甲地到丁 地共有多少种不同地走法?

甲地

乙地 N1=2×3=6

N2=4×2=8 N= N1+N2 =14
丙地 丁地

课堂练习

1.如图,该电
路,从A到B共 有多少条不 同的线路可 通电?

A

B

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条

所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。

在解题有时既要分类又要分步。

1.本节课学习了哪些主要内容?

2.你如何来判别使用哪个计数原 理?

共同点:都是有关“完成一件事情”的所有不同方法的 种数问题。

主要不同点: 分类加法计数原理 ①完成一件事有n类不同 直 相 的方案; 达 互 ②各类方案相互独立; 目 独 ③每一类方案都能直接完 成该事件。 的 立

分步乘法计数原理

完成一件事要n个不同的 分 相 步骤;
各个步骤相互联系 ;

步 互 到 联 每一个步骤都不能直接完 达 系 成该事件,只有完成每个
步骤,才能完成这件事。

描述分类计数原理和分步计数原理 的诗:

? 两大原理妙无穷, ? 解题应用各不同; ? 多思慎密最重要, ? 茫茫数理此中求。

练习 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种? 解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四 步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种 数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。


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