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一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课时规范训练


第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、 充分条件与必要条 件课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1.(2015·高考重庆卷)“x>1”是“log1(x+2)<0”的(
2

)

A.充要条件 C.必要而不充分条件

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件



解析: ∵x>1? log1 (x+2)<0, log1 (x+2)<0? x+2>1? x>-1, ∴“x>1”是“log1 (x
2 2 2

+2)<0”的充分而不必要条件. 答案:B 2. (2016·安徽马鞍山一模)已知 a, b, c∈R, 命题“若 a+b+c=3, 则 a +b +c ≥3” 的否命题是( )
2 2 2 2 2 2

A.若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3 B.若 a+b+c=3,则 a +b +c <3 C.若 a+b+c≠3,则 a +b +c ≥3 D.若 a +b +c ≥3,则 a+b+c=3 解析:否命题是原命题的条件和结论同时否定,故选 A. 答案:A
2 2 2 2 2 2 2 2 2

? π? 3.(2015·高考福建卷)“对任意 x∈?0, ?,ksin xcos x<x”是“k<1”的( 2? ?
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:借助函数的导数证明必要性成立,举反例说明充分性不成立.

)

令 f(t)=sin t-t,则 f′(t)=cos t-1≤0 恒成立,所以 f(t)=sin t-t 在[0,π ] π 上是减函数,f(t)≤f(0)=0,所以 sin t<t(0<t<π ).令 t=2x,则 sin 2x<2x(0<x< ), 2 所以 2sin xcos x<2x,所以 sin xcos x<x.当 k<1 时,ksin xcos x<x,故必要性成立;当 π 2× 3 π 4 3 π 4 3π 4 4 x= 时,ksin 2x<2x 可化为 k< = ,而 > ,取 k= ,不等式成立,但 3 2π 9 9 3 3 sin 3 此时 k>1,故充分性不成立.
1

答案:B 4.有三个命题:①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“若 a>b,则 a >b ”的逆否命题; ③“若 x≤-3,则 x +x-6>0”的否命题. 其中真命题的个数为________. 解析:命题①为“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”是真命题;因为命题“若 a>b,则
2 2 2

a >b ”是假命题,故命题②是假命题;命题③为“若 x>-3,则 x2+x-6≤0”,因为 x2+x
-6≤0?-3≤x≤2,故命题③是假命题,综上知真命题只有 1 个. 答案:1 5.(2016·随州模拟)若“x -2x-8>0”是“x<m”的必要不充分条件,则 m 的最大值 为________. 解析:由 x -2x-8>0 得 x>4 或 x<-2,由条件可知 m≤-2,∴m 的最大值为-2. 答案:-2 6.下列命题: ①若 ac >bc ,则 a>b; ②若 sin α =sin β ,则 α =β ; ③“实数 a=0”是“直线 x-2ay=1 和直线 2x-2ay=1 平行”的充要条件; ④若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是__________. 解析:对于①,ac >bc ,c >0,则 a>b 正确;对于②,sin 30°=sin 150°? / 30° =150°,所以②错误;对于③,l1∥l2?A1B2=A2B1,即-2a=-4a? a=0 且 A1C2≠A2C1,所 以③正确;④显然正确. 答案:①③④ 7.(2016·开封调研)已知命题 P:“若 ac≥0,则一元二次方程 ax +bx+c=0 没有实 根”. (1)写出命题 P 的否命题; (2)判断命题 P 的否命题的真假,并证明你的结论. 解:(1)命题 P 的否命题为:“若 ac<0,则一元二次方程 ax +bx+c=0 有实根”. (2)命题 P 的否命题是真命题.证明如下: ∵ac<0, ∴-ac>0? Δ =b -4ac>0? 一元二次方程 ax +bx+c=0 有实根. ∴该命题是真命题. 8.已知“|x-a|<1”是“x -6x<0”的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解:∵|x-a|<1,
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2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

∴a-1<x<a+1. ∵x -6x<0,∴0<x<6. 又∵|x-a|<1 是 x -6x<0 的充分不必要条件, ∴?
?a-1≥0, ? ? ?a+1≤6,
2 2

∴1≤a≤5. 经检验,当 1≤a≤5 时,由 x -6x<0 不能推出|x-a|<1. 所以所求实数 a 的取值范围为[1,5]. [B 级 能力突破] 1.(2015·高考湖北卷)设 a1,a2,?,an∈R,n≥3.若 p:a1,a2,?,an 成等比数列;
2 2 2 2 2 2 q:(a2 1+a2+?+an-1)(a2+a3+?+an)=(a1a2+a2a3+?+an-1an) ,则( 2

)

A.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 解析:利用充分条件和必要条件的概念,结合特殊值进行推理判断. 若 p 成立,设 a1,a2,?,an 的公比为 q,则(a1+a2+?+an-1)(a2+a3+?+an)=a1(1 +q +?+q
2 2n-4 2 2 2 2 2 2 2

)·a2(1+q +?+q
2

2

2

2n-4

)=a1a2(1+q +?+q
2 2n-4 2

2 2

2

2n-4 2

),

(a1a2+a2a3+?+an-1an) =(a1a2) (1+q +?+q

2

) ,故 q 成立,所以 p 是 q 的充分条

件.取 a1=a2=?=an=0,则 q 成立,而 p 不成立,所以 p 不是 q 的必要条件,故选 B. 答案:B 2.(2015·高考四川卷)设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3 >3 >3”是“loga3<logb3” 的( ) A.充要条件 C.必要不充分条件
a b a b

B.充分不必要条件 D.即不充分也不必要条件

解析:∵3 >3 >3,∴a>b>1,此时 loga3<logb3 正确;反之,若 loga3<logb3,则不一定 1 1 a b a b 得到 3 >3 >3,例如当 a= ,b= 时,loga3<logb3 成立,但推不出 a>b>1.故“3 >3 >3”是 2 3 “loga3<logb3”的充分不必要条件. 答案:B 3.(2015·陕西五校联考)已知 p: 2x-1≤1,q:(x-a)(x-a-1)≤0.若 p 是 q 的充 分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( )

? 1? A.?0, ? ? 2?

? 1? B.?0, ? ? 2?

3

?1 ? C.(-∞,0)∪? ,+∞? ?2 ?

?1 ? D.(-∞,0)∪? ,+∞? ?2 ?
≤x≤1?, 令 B={x|(x-a)(x-a-1)≤0},
? ? ? ?

? 1 ? ? 解析: 令 A={x| 2x-1≤1}, 得 A=?x? ? ? ?2

1 ? ?a≤ , 得 B = {x|a≤x≤a + 1} ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 A?B ,需 ? 2 ? ?a+1>1 1 ? ?a< , ? 2 ? ?a+1≥1 答案:A 1 ? 0≤a≤ ,故选 A. 2



4.已知条件 p:(1-x)(x+1)>0,条件 q:lg( 1+x+ 1-x )有意义,则綈 p 是綈 q 的________条件. 解析:由(1-x)(x+1)>0,得-1<x<1,即条件 p:-1<x<1,则綈 p:x≤-1 或 x≥1. +x≥0 ?1 由?1-x ≥0 ? 1+x+
2

2

, 1-x >0
2

得-1<x≤1. 即条件 q:-1<x≤1,则綈 q:x≤-1 或 x>1. ∴綈 p 綈 q,但綈 q? 綈 p. ∴綈 p 是綈 q 的必要不充分条件. 答案:必要不充分 5.以下关于命题的说法正确的有__________(填写所有正确命题的序号). ①“若 log2a>0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; ③命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”等价. 解析:对于①,若 log2a>0=log21,则 a>1,所以函数 f(x)=logax 在其定义域内是增 函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,该 命题的逆命题是“若 x+y 是偶数,则 x、y 都是偶数”,是假命题,如 1+3=4 是偶数,但 3 和 1 均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b ∈M,则 a?M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④. 答案:②④ 6.(2016·长沙模拟)若方程 x -mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3,另一根小于 3 的充要条件是________.
2

4

解析:方程 x -mx+2m=0 对应的二次函数 f(x)=x -mx+2m, ∵方程 x -mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3 一根小于 3,∴f(3)<0,解得 m>9,即: 方程 x -mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是 m>9. 答案:m>9 1 7.已知条件 p:|5x-1|>a,条件 q: 2 >0,请选取适当的实数 a 的值,分别 2x -3x+1 利用所给的两个条件作为 A,B 构造命题:“若 A,则 B”,并使得构造的原命题为真命题, 而其逆命题为假命题, 则这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求 的命题. 解:条件 p:即 5x-1<-a 或 5x-1>a, 1-a 1+a ∴x< 或 x> , 5 5 条件 q:2x -3x+1>0, 1 ∴x< 或 x>1. 2 3 令 a=4,即 p:x<- 或 x>1. 5 此时必有 p? q 成立,反之不然, 故可以选取的一个实数是 a=4,A 为 p,B 为 q.对应的命题是若 p 则 q.(答案不唯一)
2 2 2

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