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2012高中数学 第1章1.1.2第一课时余弦定理课件 新人教B版必修5


1.1.2

余弦定理

学习目标
1.掌握余弦定理,能够初步应用余弦定理解一

些斜三角形.
2.能运用余弦定理解决某些与测量有关和几

何计算有关的实际问题.

第一课时

课前自主学案 第 一 课 时

课堂互动

讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基
→ 已知直线 l,向量AB,e 为直线 l 上的向量,则 → AB 在 e 方 向 上 的 正 射 影 的 数 量 可 写 为 → → |AB|cos〈AB,e〉 ________________.

知新益能 1.余弦定理 平方 余弦定理:三角形任何一边的_____等于其他 平方和 两边的_______减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍.即在△ABC中,有: b2+c2-2bccosA a2=________________, a2+c2-2accosB 2=_______________ , b a2+b2-2abcosC c2=_______________. 余弦定理的特例:勾股定理 c2=a2+b2 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,则_________.

2.余弦定理的变式运用 2bccosA b2+c2-a2=________, 2 2 2 2accosB a +c -b =________, 2abcosC a2+b2-c2=________; b2+c2-a2 2bc cosA=_________, a2+c2-b2 2ac cosB=_________,

a +b -c 2ab cosC=_________.

2

2

2

思考感悟 1.余弦定理及其变式中,共有四个量,知道其 中的几个量可以求出其他的量?
提示:余弦定理及其变式中都联系到三边和

一角四个量,所以在余弦定理及其变式中可
以知三求一.

3.应用余弦定理可解决两类问题 因为余弦定理的每个表达式中,各含四个元素:

三边一角,所以用余弦定理可以解决以下两类
有关三角形的问题: 三个角 (1)已知三边,求_______ ; 第三边和其他 (2)已知两边和它们的夹角,求_____________

两个角 _______ .

思考感悟

2.运用余弦定理解三角形时,结果唯一吗?
提示:结果唯一.

课堂互动讲练

已知两边及夹角,解三角形
例1 在△ABC 中, 已知 a=4, c=2 3, B=30° ,

解这个三角形.
【分析】 首先利用余弦定理求出边b,然后

用正弦定理,结合边角关系以及三角形内角

和定理求得另外两角.

【解】 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2ac cosB =42+(2 3)2-2×4×2 3×cos30° =4,所以 b =2, a b 4 2 由正弦定理 = ,得 = . sin A sin B sinA sin30° 解得 sinA=1,因此 A=90° ,故 C=60° .

【点评】

已知两边及其夹角解三角形时先

利用余弦定理求第三边,后用正弦定理求其

余两角,解是唯一的.

自我挑战1 c=5,求:

在△ABC中,A=120°,b=3,

(1)sinBsinC; (2)sinB+sinC.

解:(1)∵b=3,c=5,A=120° , ∴由余弦定理,得: 1 a =b +c -2bccosA=9+25-2×3×5×(- ) 2 =49.
2 2 2

∴a=7.

3 3× 2 bsinA 3 由正弦定理,得 sinB= a = = 3, 7 14 csinA 5 sinC= = 3, a 14 45 ∴sinB· sinC= . 196 4 (2)由(1)可得 sinB+sinC= 3. 7

已知三边,解三角形
例2 在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,

求最大角和sinC. 【分析】 在三角形中,大边对大角,所以a

边所对角最大.

【解】

∵a>c>b,∴A 为最大角.

b2+c2-a2 1 法一:由余弦定理有 cosA= =- , 2bc 2 3 ∴A=120° ,又∵sinA= , 2 c 5 3 5 3 ∴sinC=asinA= × = . 7 2 14

a2+b2-c2 法二:(A 的求法同法一)cosC= = 2ab 72+32-52 11 = ,∴C 为锐角. 2×7×3 14 sinC= 1-cos C=
【点评】
2

11 2 5 3 1-? ? = . 14 14

在解三角形时,有时既可用余弦

定理,也可用正弦定理.

自我挑战 2 在△ABC 中,已知 a=2 6,b=6 +2 3,c=4 3,求∠A,∠B,∠C.

解:由余弦定理,得 2 2 2 b +c -a cosA= 2bc ?6+2 3?2+?4 3?2-?2 6?2 = 2×?6+2 3?×4 3 36+24 3+12+48-24 = 48 3+48

72+24 3 = 48 3+48 3+ 3 3 = = . 2 3+2 2 因为 0° <∠A<180° ,所以∠A=30° . a2+b2-c2 cosC= 2ab ?2 6?2+?6+2 3?2-?4 3?2 = 2×2 6×?6+2 3?

24+36+24 3+12-48 2 = = . 2 24 6+24 2 因为 0° <∠C<180° ,所以∠C=45° . 因为∠A+∠B+∠C=180° , 所以∠B=180° -45° -30° =105° .

三角形中边角取值范围问题
例3 在△ABC中,边a=1,b=2,求A的取值

范围.
【分析】 根据题意可联想到运用余弦定理,

将已知条件代入余弦定理得到关于第三边的一
元二次方程,令其判别式不小于0即可求解.

【解】 将 a=1,b=2 代入 a2 =b2 +c2 - 2bccosA, 整理得 c2-4ccosA+3=0, 因为关于 c 的方程有实数解, 所以 Δ=16cos2A-12≥0, 3 3 解得 cosA≥ ,或 cosA≤- . 2 2 3 但由于 a<b,所以 A 为锐角,只有 cosA≥ , 2 π 故 A 的取值范围是(0, ]. 6

【点评】

本题除了根据余弦定理求解,还可

以根据正弦定理转化为由B的范围求A的范围, 方法也很巧妙,你不妨一试.

自我挑战3

钝角三角形的三边长分别为a,a

+1,a+2,其最大内角不超过120°,求a的
取值范围.
?a>0 解:易知? ,即 a>1,又三角 ?a+?a+1?>a+2

形为钝角三角形, 设最大边 a+2 所对应角为 α,

1 则 - ≤cosα<0 , 由 余 弦 定 理 得 cosα = 2 a2+?a+1?2-?a+2?2 a-3 = , 2a 2· a?a+1? 1 a-3 3 ∴- ≤ <0,解得 ≤a<3. 2 2a 2

余弦定理的实际应用
例4 如图,有两条相交在60°的直线xx′与

yy′,交点是O,甲、乙分别在Ox、Oy上A、 B处,起初甲离O点3 km,乙离O点1 km,后

来两人同时用每小时4 km的速度,甲沿xx′的
方向,乙沿y′y的方向步行.

(1)起初两人相距多远?

(2)用含t的式子表示t小时后两人之间的距离;
(3)求出发后何时两人相距最近?

【分析】
离.

利用余弦定理可求得甲乙间的距

【解】

在△AOB 中,由余弦定理得

|AB|2=|OA|2+|OB|2-2· |OA|· |OB|· 60° cos =32+12-2×3×1×cos 60° =7. ∴|AB|= 7 km. 即起初两人相距 7 km. (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q, 则|AP|=4t,|BQ|=4t.

3 若 0≤4t≤3,即 0≤t≤ (点 P 在 OA 之间)时, 4 |OP|=3-4t,|OQ|=1+4t,从而 2 2 2 |PQ| =(3-4t) +(1+4t) -2(3-4t)(1+4t)cos 60° ; 3 若 4t>3,即 t> (点 P 在点 O 左边)时,|OP| 4 =4t-3,|OQ|=1+4t, ∠POQ=180° -60° =120° , 从而 |PQ| = (4t-3) + (1+4t) -2(4t-3)(1+ 4t)· 120° cos .
2 2 2

注意到上述两个式子实际上是统一的,所以 |PQ|2=48t2-24t+7, ∴|PQ|= 48t2-24t+7,即 t 小时后两人相距 48t2-24t+7 km. (3)由(2)得|PQ|= 12 48?t- ? +4, 4

1 ∴当 t= 小时,即在第 15 分钟时,|PQ|最小, 4 此时两人相距最近,最近距离为 2 km.

【点评】

(1)本题难点在于甲乙两人前进的方

向与点O的关系,甲在点O的左边还是右边所

用图形是不一样的,从而引起了讨论.因此,
在解应用题时,一定要仔细动脑分析题意,不 要盲目地画出图形了事. (2)求起初两人的距离就是已知两边和它们的夹 角求第三边的问题.解答第(2)问,要注意两人 行走的位置变化,夹角不同,要讨论.

自我挑战4 据气象台预报,距S
岛300 km的A处有一台风中心形 成,并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向 移动,在距台风中心270 km以内的地区将受到台 风的影响.问 :S岛是否受其影响?若受到影响, 从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响? 持续时间多久?说明理由.

解:设台风中心经过t小时到达B点,由题意,
∠SAB=90°-30°=60°,

在△SAB中,SA=300,AB=30t,∠SAB=
60°, 由余弦定理得:

SB2=SA2+AB2-2SA· cos∠SAB AB·
=3002+(30t)2-2· 30tcos60°. 300·

若S岛受到台风影响,则应满足条件|SB|≤270,
即SB2≤2702,

化简整理得,t2-10t+19≤0, 解之得,5- 6≤t≤5+ 6, 所以从现在起,经过(5- 6)小时 S 岛开始受到 影响,(5+ 6)小时后影响结束. 持续时间:(5+ 6)-(5- 6)=2 6(小时). 所以 S 岛受到台风影响, 从现在起, 经过(5- 6) 小时, 台风开始影响 S 岛, 且持续时间为 2 6小 时.


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