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2013年北约自主招生数学试题及解答


2013 年北约自主招生数学试题
1.以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少? A.2 B.3 C.5 D.6

2.在 6 ? 6 的棋盘中停放着 3 个红色車和 3 个黑色車,每一行、每一列都只有一个車,共有 多少种停放方法? A.720
2 2

B.20
3

/>C.518400
2 2 3

D.14400

3.已知 x ? 2 y ? 5 , y ? 2 x ? 5 ,求 x ? 2 x y ? y 的值.

4.如图,△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,DM、DN 分别为∠ADB、∠ADC 的角平分 线,试比较 BM+CN 与 MN 的大小关系,并说明理由. A



N C





5.设数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n , S n ?1 ? 4a n ? 2 ,求 a 2013 .

6.模长为1的复数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 0 ,求

xy ? yz ? zx . x? y?z

7.最多有多少个两两不等的正整数,满足其中任意三数之和都为素数.

8 .已知 a i , i ? 1,2,3, ? ,2013 为 2013 个实数,满足 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2013 ? 0 ,且

a1 ? 2a 2 ? a 2 ? 2a 3 ? … ? a 2013 ? 2a1 ,求证 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a 2013 ? 0 .

9.对于任意的 ? ,求 32 cos6 ? ? cos 6? ? 6 cos 4? ? 15 cos 2? 的值.

10.已知有 mn 个实数,排列成 m ? n 阶数阵,记作 a ij

? ?

m? n

使得数阵的每一行从左到右都

是递增的,即对任意的 i ? 1,2,3,?, m ,当 j1 ? j 2 时,有 a ij1 ? a ij2 ;现将 a ij

? ?

m? n
'

的每一列 ,即

原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的 m ? n 阶数阵,记作 a
' ' ' 对任意的 j ? 1,2,3,?, n ,当 i1 ? i 2 时,有 a i1 j ? a i2 j ,试判断 a ij

? ?

ij m? n

? ?

m? n

中每一行的各数的

大小关系,并加以证明.

2013 年北约自主招生数学试题解析
1.以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少? A.2
2

B.3
3

C.5

D.6

解析 显然 ( x ? 2)(( x ? 1) ? 2) 为满足要求的多项式,其次数为 5. 若 存 在 n 次 有 理 系 数 多 项 式 f ( x) 以

2 和 1 ? 3 2 为 两 根 , 则 f ( x) 必 含 有 因 式

( x 2 ? 2)(( x ? 1) 3 ? 2) ,∴ n ? 5 ,即最小次数为 5.故选 C.

2.在 6 ? 6 的棋盘中停放着 3 个红色車和 3 个黑色車,每一行、每一列都只有一个車,共有 多少种停放方法? A.720 B.20 C.518400
3

D.14400

解析 先排 3 个红色車,从 6 行中任取 3 行,有 C 6 ? 20 种取法;在选定的 3 行中第一行有 6 种停法, 第一行选定后第二行有 5 种停法, 第二行选定后第三行有 4 种停法; 红車放定后, 黑車只有 6 种停法.故停放方法共 20 ? 6 ? 5 ? 4 ? 6 ? 14400 种.故选 D. 3.已知 x ? 2 y ? 5 , y ? 2 x ? 5 ,求 x ? 2 x y ? y 的值.
2 2 3 2 2 3

解析 ∵ x ? 2 x y ? y ? x(2 y ? 5) ? 2(2 y ? 5)(2 x ? 5) ? y(2 x ? 5)
3 2 2 3

? ?4 xy ? 15( x ? y) ? 50 ,
又由 x ? 2 y ? 5 , y ? 2 x ? 5 ,有 x ? y ? ?2( x ? y )
2 2 2 2

∴ x ? y 或 x ? y ? ?2 . 当 x ? y 时,有 x 2 ? 2 x ? 5 , x ? 1 ?

6,

? 4 xy ? 15( x ? y) ? 50 ? ?4 x 2 ? 30 x ? 50 ? ?38 x ? 70 ? ?38 x ? 70 ? ?108 ? 38 6 ;
当 x ? y ? ?2 时, x ? ?2( x ? 2) ? 5 , x( x ? 2) ? 1
2

? 4 xy ? 15( x ? y) ? 50 ? 4 x( x ? 2) ? 80 ? ?16 .

? ?4 x(?2 ? x) ? 20


4. 如图, △ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, DM、 DN 分别为∠ADB、∠ADC 的角平分线,试比较 BM+CN 与 MN 的大小关系,并说明理由. 解析 延长 ND 至 E, 使 ND=ED, 连结 BE、 ME, 则△BED≌△CND,△MED≌△MND,∴BE=CN,ME=MN, 由 BM+BE>ME,得 BM+CN>MN. B



N C A





N C

B E



5.设数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n , S n ?1 ? 4a n ? 2 ,求 a 2013 . 解析 ∵ a1 ? 1 , a1 ? a 2 ? 4a1 ? 2 ,∴ a 2 ? 5 ; 由 S n ?1 ? 4a n ? 2 ,有 n ? 2 时, S n ? 4a n ?1 ? 2 ,于是 a n ?1 ? 4a n ? 4a n ?1 , 特征方程 x 2 ? 4 x ? 4 有重根 2,可设 a n ? (c1 ? c 2 ) ? 2 ,
n

将 a1 ? 1 , a 2 ? 5 代入上式,得 c1 ? ? 于是 a n ? (

1 3 , c2 ? , 4 4

3n 1 ? ) ? 2 n ? (3n ? 1) ? 2 n?2 ,∴ a 2013 ? 6038 ? 2 2011 . 4 4

6.模长为1的复数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 0 ,求

xy ? yz ? zx . x? y?z

解析 取 x ? y ? z ? 1 ,便能得到 下面给出证明,∵
2

xy ? yz ? zx =1. x? y?z
x x ? y y ? z z ? 1,

x,y,z 的模都为 1∴

xy ? yz ? zx xy ? yz ? zx ? xy ? yz ? zx ? xy ? yz ? zx xy ? yz ? zx ? ? ? ? ? x? y?z ? x? y?z x? y?z ? x? y?z ? x? y?z ?

?

1?1?1? xz ? yz ? yx ? zx ? zx ? yx xy ? yz ? zx ? 1. ∴ =1. x? y?z 1?1?1? xz ? yz ? yx ? zx ? zx ? yx

7.最多有多少个两两不等的正整数,满足其中任意三数之和都为素数. 解析 设满足条件的正整数为 n 个.考虑模 3 的同余类,共三类,记为 0 ,1 , 2 . 则这 n 个正整数需同时满足①不能三类都有;②同一类中不能有 3 个和超过 3 个.否 则都会出现三数之和为 3 的倍数.故 n ? 4 . 当 n ? 4 时,取 1,3,7,9,其任意三数之和为 11,13,17,19 均为素数,满足题意, 所以满足要求的正整数最多有 4 个.

8 .已知 a i , i ? 1,2,3, ? ,2013 为 2013 个实数,满足 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2013 ? 0 ,且

a1 ? 2a 2 ? a 2 ? 2a 3 ? … ? a 2013 ? 2a1 ,求证 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a 2013 ? 0 .
解析 设 a1 ? 2a 2 ? a 2 ? 2a 3

? … ? a 2013 ? 2a1 ? k ,

若 k ? 0 ,则 a1 ? 2a 2 , a 2 ? 2a 3 ,…, a 2012 ? 2a 2013 , a 2013 ? 2a1 , 于是 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2013 ? a1 ?

a1 a1 a1 ? 2 ? ? ? 2011 ? 2a1 ? 0 , 2 2 2

∴ a1 ? 0 ,进而 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2013 ? 0 . 若 k ? 0 ,则 a1 ? 2a 2 , a 2 ? 2a 3 ,…, a 2013 ? 2a1 只能取 k 和 ? k 两值, 又 a1 ? 2a 2 ? a 2 ? 2a3 ? … ? a 2012 ? 2a 2013 ? a 2013 ? 2a1 ? 0 , 即这 2013 个数去掉绝对值号后取 k 和 ? k 两值的个数相同,这不可能. 这 2013 个数去掉绝对值号后

9.对于任意的 ? ,求 32 cos6 ? ? cos 6? ? 6 cos 4? ? 15 cos 2? 的值. 解析

1 ? cos 2? 3 32 cos6 ? ? 32( ) ? 4 cos3 2? ? 12 cos2 2? ? 12 c o s 2? ? 4 , 2
?co s 6? ? ?4 c o 3 s 2? ? 3 c o s 2? , ? 6 cos 4? ? ?12 c o 2 s 2? ? 6 ,

? 15 cos 2? ? ?15 c o s 2? ,
各式相加,得 32 cos6 ? ? cos 6? ? 6 cos 4? ? 15 cos 2? ? 10 .

10.已知有 mn 个实数,排列成 m ? n 阶数阵,记作 a ij

? ?

m? n

使得数阵的每一行从左到右都

是递增的,即对任意的 i ? 1,2,3,?, m ,当 j1 ? j 2 时,有 a ij1 ? a ij2 ;现将 a ij

? ?

m? n
'

的每一列 ,即

原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的 m ? n 阶数阵,记作 a
' ' ' 对任意的 j ? 1,2,3,?, n ,当 i1 ? i 2 时,有 a i1 j ? a i2 j ,试判断 a ij

? ?

ij m? n

? ?

m? n

中每一行的各数的

大小关系,并加以证明. 解析 数阵 a

? ?
'

ij m? n

中的中每一行的各数仍是递增的.下面用反证法给出证明.
' pq

若在第 p 行存在 a

? a ' p ( q ?1) ,令 a ' k ( q ?1) ? aik ( q ?1) ,其中 k ? 1,2,3,?, m ,

?i1 , i2 , i3 ,?, im ? ? ?1,2,3,?, m?,则当 t ? p 时, ai q ? ai ( q ?1) ? a ' t ( q ?1) ? a ' p ( q ?1) ? a ' pq
t t

即在第 q 列中至少有 p 个数小于 a 在第 p ? 1 行,这与 a 的.
' pq 排在第

'

pq ,也就是

a ' pq 在数阵 ?a ' ij ?m?n 中的第 q 列中至少排

p 行矛盾.所以数阵 a ' ij

? ?

m? n

中的中每一行的各数仍是递增


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