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2012-2013学年第二学期期末高二数学(理科)试题及答案


试卷类型:A 肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第二学期统一检测试题

高二数学(理科)
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、 班别、 座位号、 考号 写在答题卷上密封线内相对应的位置上。 2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑; 如需要改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷或草稿纸上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知点 P 的极坐标为 ( 2, A.(1, 3 ) 填

?
3

) ,则点 P 的直角坐标为
C.( 3 ,1) D.( 3 ,-1)

B.(1,- 3 )

2. 一物体作直线运动,其运动方程为 s(t ) ? ?t 2 ? 2t ,则 t=1 时其速度为 A. 4 B. -1 C. 1 D. 0

3. 若 ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x= A. -1 B. 1 C. -1 或 1 D. 0

?x ? 1 ? t 2 , 4. 曲线 ? (t 为参数)与 x 轴交点的直角坐标是 ? y ? 4t ? 3
A.(1,4) B.(1,-3) C.(

25 ,0) 16

D.( ?

25 ,0) 16

5. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于 60?”时,应该先 A. 假设三内角都不大于 60? C. 假设三内角至多有一个大于 60? B. 假设三内角都大于 60? D. 假设三内角至多有两个大于 60?

高二数学(理科)试题第 1 页 共 4 页

6. 若随机变量 X?N(1, ? ) ,且 P(0 ? X ? 3) ? 0.7989,则 P(?1 ? X ? 2) ?
2

A. 0.7989 7. 复数

B. 0.2011

C. 0.2021

D. 以上答案均不对

1? i 与 1 ? 3i 在复平面上所对应的向量分别是 OA , OB ,O 为原点,则这两个向量 1? i

的夹角∠AOB= A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

8. 已知数列{ an }的通项公式 a n ?

1 ,记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) , (n ? 1) 2

通过计算 f (1) , f ( 2) , f (3) , f ( 4) 的值,猜想 f ( n) 的值为 A.

2n ? 1 (n ? 1) 2

B.

n?2 n(n ? 1)

C.

n?2 2(n ? 1)

D.

n?2 n ?1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

9. 计算 ? (cosx ? 1)dx ?
??

0



.
▲ .

10. i 是虚数单位,则

( ?1 ? i )( 2 ? i ) ? i2

11. 若直线 l 经过点 M(1,5) ,且倾斜角为

2? ,则直线 l 的参数方程为 ▲ . 3

12. 已知 (1 ? 2x) 5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 , 则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?
13. 圆心在 A(1,



.

?
4

) ,半径为 1 的圆的极坐标方程是 ▲ .

14. 观察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第五个等式应为 ▲ .
高二数学(理科)试题第 2 页 共 4 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 某地有两所中学,为了检验两校初中毕业生的语文水平,从甲、乙两校九年级学生中各随 机抽取 20%的学生(即占各自九年级学生总数的 20%)进行语文测验. 甲校 32 人,有 21 人及 格;乙校 24 人,有 15 人及格. (1)试根据以上数据完成下列 2?2 列联表; 及格 甲 乙 合计 (2)判断两所中学初中毕业生的语文水平有无显著差别? 附: 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 不及格 合计

P( K 2 ? k0 )
k0
2

n(ad ? bc) 2 . K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

16. (本小题满分 12 分) 某产品的广告费用支出 x 与销售额 y 之间有如下的对应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(1)求回归直线方程; (2)据此估计广告费用为 10 时销售收入 y 的值.

?? ?x ? a ? ?b ? 中系数计算公式 b 附:线性回归方程 y

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

?(x ? x)
i ?1 i

n

?

?x y
i ?1 i

n

i

? nx ? y


2

?x
i ?1

n

2 i

? nx

2

?x ,其中 x , y 表示样本均值. ? ? y ?b a

高二数学(理科)试题第 3 页 共 4 页

17. (本小题满分 14 分) 六一儿童节期间, 某商场对儿童节礼品采取促销措施. 某儿童节礼品的进货价是 10 元/件, 据市场调查, 当销售量为 x (万件) 时, 销售价格 P ? 9 ?

18 30 * ? (元/件) . 若x?N , x x( x ? 2)

问销售量 x 为何值时,商场获得的利润最大?并求出利润的最大值. 18. (本小题满分 14 分) 某学校高一年级组建了 A、B、C、D 四个不同的“研究性学习”小组,要求高一年级学 生必须参加,且只能参加一个小组的活动. 假定某班的甲、乙、丙三名同学对这四个小组的选 择是等可能的. (1)求甲、乙、丙三名同学选择四个小组的所有选法种数; (2)求甲、乙、丙三名同学中至少有二人参加同一组活动的概率; (3)设随机变量 X 为甲、乙、丙三名同学参加 A 小组活动的人数,求 X 的分布列与数学 期望 EX. 19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2n ? an ( n ? N ).
*

(1)求 a1 , a2 , a3 , a4 的值; (2)猜想 an 的表达式,并加以证明. 20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ?

a ln x a?R. ? ln x , g ( x) ? ,x ? ?0, e? , 其中 e 是无理数且 e=2.71828?, x x

(1)若 a=1,求 f ( x) 的单调区间与极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x) ? g ( x) ?

1 ; 2

(3)是否存在实数 a,使 f ( x) 的最小值是-1?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理 由.

高二数学(理科)试题第 4 页 共 4 页

2012—2013 学年第二学期统一检测题 高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 二、填空题 1 A 2 D 3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 C

9. π

10. 3-i

1 ? x ? 1 ? t, ? 2 ? 11. ? (t 为参数) (其它正确答案同样给分) ? y ? 5 ? 3 t, ? 2 ?

12. -2

13. ? ? 2 cos( ? ?

?
4

) (其它正确答案同样给分) 14. 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1) 及格 甲 乙 合计 21 15 36 不及格 11 9 20 合计 32 24 56 (6 分) (2) k ?

n(ad ? bc) 2 56(21? 9 ? 11? 15) 2 ? ? 0.058. (10 分) (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d ) 32 ? 24 ? 36 ? 20
(12 分)

因为 k ? 0.058 ? 0.455 ,所以两所中学初中毕业生的语文水平无显著差别. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) x ?

2?4?5?6?8 ? 5, 5 30 ? 40 ? 60 ? 50 ? 70 y? ? 50 , 5
5 i i

(1 分) (2 分)

?x y
i ?1

? 2 ? 30 ? 4 ? 40 ? 5 ? 60 ? 6 ? 50 ? 8 ? 70 ? 1380,

(3 分)

高二数学(理科)试题第 5 页 共 4 页

?x
i ?1

5

2 i

? 4 ? 16 ? 25 ? 36 ? 64 ? 145,

(4 分)

?? b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? ? nx
2

?x
i ?1

2 i

1380? 5 ? 5 ? 50 ? 6.5 , 145 ? 5 ? 5 2

(6 分)

?x ? 50 ? 6.5 ? 5 ? 17.5 , ? ? y ?b a
? ? 6.5x ? 17.5 . 所以回归直线方程为 y
(2)x=10 时,预报 y 的值为 y=6.5?10+17.5=82.5. 17. (本小题满分 14 分) 解:设商场的利润为 y 万元,由题意得

(8 分) (9 分) (12 分)

y ? (9 ?

18 30 30 * ? ? 10) x ? 18 ? x ? (x?N ) x x( x ? 2) x?2

(5 分)

y ? ? ?1 ?

30 ( x ? 2) 2 ? 30 ?? ( x ? 2) 2 ( x ? 2) 2

(7 分)

令 y ? ? 0 ,得 x1 ? ?2 ? 30 , x2 ? ?2 ? 30 (舍去).

(8 分)

y ? ,y 随 x 变化的情况如下表:
x (0, ? 2 ? 30 ) + 递增

? 2 ? 30
0 极大值

( ? 2 ? 30 ,+?) 递减 (11 分)

y?
y

因为 3 ? ?2 ? 30 ? 4 ,当 x=3 时,y=9;当 x=4 时,y=9; 所以当 x=3 或 x=4 时, y max ? 9 . 答:销售量 x 为 3 万件或 4 万件时,商场获得的利润最大,最大值为 9 万元. 18. (本小题满分 14 分)

(12 分) (13 分) (14 分)

解: (1)甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是 4 种,故有 4 ? 64 种. (4 分)
3

高二数学(理科)试题第 6 页 共 4 页

3 A4 3 (2)甲、乙、丙三名同学选择三个小组的概率为 3 ? , 8 4

所以三名同学至少有二人选择同一小组的概率为 1 ? (3)由题意 X 的可能取值为:0,1,2,3

3 5 ? . 8 8

(8 分)

P( X ? 0) ?

1 2 C3 3 33 27 27 ? P ( X ? 1 ) ? ? , , 3 3 64 64 4 4

3 C32 3 9 C3 1 P( X ? 2) ? 3 ? , P( X ? 3) ? 3 ? , 64 16 4 4

(12 分)

所以 X 的分布列如下: X P 0 1 2 3

27 27 64 64 27 27 9 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 故数学期望 EX ? 0 ? 64 64 64 64 4
19. (本小题满分 14 分)

9 64

1 64
(14 分)

解: (1)因为 S n ? 2n ? an , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? N 所以,当 n ? 1 时,有 a1 ? 2 ? a1 ,解得 a1 ? 1 ? 2 ?

*

(1 分) (2 分) (3 分) (4 分) (5 分) (9 分)

1 ; 20 3 1 当 n ? 2 时,有 a1 ? a2 ? 2 ? 2 ? a2 ,解得 a 2 ? ? 2 ? 1 ; 2 2 7 1 当 n ? 3 时,有 a1 ? a2 ? a3 ? 2 ? 3 ? a3 ,解得 a 3 ? ? 2 ? 2 ; 4 2 15 1 ? 2? 3 . 当 n ? 4 时,有 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2 ? 4 ? a4 ,解得 a 4 ? 8 2 1 * (2)猜想 a n ? 2 ? n ?1 ( n ? N ) 2
方法一:
* 由 S n ? 2n ? an ( n ? N ) ,得 S n?1 ? 2(n ? 1) ? an?1 ( n ? 2 ) ,

(10 分) (11 分) (12 分)

两式相减,得 an ? 2 ? an ? an?1 ,即 a n ? 两边减 2,得 a n ? 2 ?

1 a n ?1 ? 1 ( n ? 2 ). 2

1 (a n ?1 ? 2) , 2
高二数学(理科)试题第 7 页 共 4 页

所以{ an ? 2 }是以-1 为首项, 故 a n ? 2 ? ?1 ? ( ) 即 an ? 2 ? 方法二:

1 为公比的等比数列, 2
(13 分) (14 分)

1 2

n ?1



1 2 n ?1

( n ? N * ).

①当 n=1 时,由(1)可知猜想显然成立; ②假设当 n=k 时,猜想成立,即 a k ? 2 ?
*

(10 分)

1 2 k ?1



(11 分)

由 S n ? 2n ? an ( n ? N ) ,得 S k ?1 ? 2(k ? 1) ? ak ?1 , S k ? 2k ? ak 两式相减,得 ak ?1 ? 2 ? ak ?1 ? ak , 所以 a k ?1 ? (12 分)

1 1 1 1 a k ? 1 ? (2 ? k ?1 ) ? 1 ? 2 ? k ?1?1 , 2 2 2 2
(13 分) (14 分)

即当 n=k+1 时,猜想也成立. 根据①和②,知对任意 n ? N * ,猜想成立.

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a=1 时, f ( x ) ? 令 f ?( x) ?

x ?1 ? 0 ,得 x=1. x2

1 x ?1 ? ln x , f ?( x) ? 2 , x ? ?0, e? x x

(1 分)

当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减; 当 x ? (1, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增.

(2 分) (3 分)

所以 f ( x) 的单调递减区间为(0,1) ,单调递增区间为(1,e) , f ( x) 的极小值为 f (1) ? 1 . (4 分) (2)由(1)知 f ( x) 在 ?0, e?上的最小值为 1. 令 h( x ) ? g ( x ) ? (5 分) (6 分) (7 分)

1 ln x 1 1 ? ln x ? ? , x ? ?0, e? ,所以 h ?( x) ? . 2 x 2 x2

当 x ? (0, e) 时, h ?( x) ? 0 , h( x) 在 ?0, e?上单调递增, 所以 h( x) max ? h(e) ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ? f ( x) min . e 2 2 2
高二数学(理科)试题第 8 页 共 4 页

1 . 2 a (3)假设存在实数 a,使 f ( x ) ? ? ln x ( x ? ?0, e? )有最小值-1. x a 1 x?a 因为 f ?( x) ? ? 2 ? ? , x x x2
故在(1)的条件下, f ( x) ? g ( x) ?

(8 分)

(9 分)

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ?0, e?上单调递增,此时 f ( x) 无最小值; (10 分) ②当 0 ? a ? e 时, 当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在(0, a)单调递减;当 x ? (a, e) 时,

f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在(a,e)单调递增;
所以 f ( x) min ? f (a ) ?

(11 分) (12 分)

a 1 ? ln a ? ?1 ,得 a ? 2 ,满足条件; a e

③当 a ? e 时,因为 0 ? x ? e ,所以 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 ?0, e?上单调递减.

a ? ln e ? ?1 ,得 a ? ?2e (舍去) ; e 1 综上,存在实数 a ? 2 ,使得 f ( x) 在 ?0, e?上的最小值为-1. e f ( x) min ? f (e) ?

(13 分) (14 分)

高二数学(理科)试题第 9 页 共 4 页


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