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二次函数压轴题总结精华


二次函数常见压轴
y= x ? 2 x ? 3 (以下几种分类的函数解析式就是这个)
2

和最小,差最大

在对称轴上找一点 P,使得 PB+PC 的和最小,求出 P 点坐标 在对称轴上找一点 P,使得 PB-PC 的差最大,求出 P 点坐标 y

B C

O

/>A

x

D

求面积最大

连接 AC,在第四象限找一点 P,使得 ?ACP 面积最大,求出 P 坐标

讨论直角三角

连接 AC,在对称轴上找一点 P,使得 ?ACP 为直角三角形,求出 P 坐标 或者在抛物线上求点 P,使△ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形.

y

B C

O

A

x

D y

讨论等腰三角

连接 AC,在对称轴上找一点 P,使得 ?ACP 为等腰三角形,求出 P 坐标

B C

O

A

x

D

讨论平行四边形

1、点 E 在抛物线的对称轴上,点 F 在抛物线上,且以 B,A,F,E 四点为顶点的四边

形为平行四边形,求点 F 的坐标 y

B C

O

A

x

D

2、这里小改动,把 C(0,-3)改成 C(2,-3)
连接 BC,在 x 轴上找一个点 F,抛物线上找一点 P,使得以 B、C、F、G 为顶点的四边形构成平行四边形 y

B

O

A

x

D

C(2, -3)

和最小差最大
如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,正方形 OABC 的边长为 2cm,点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半 轴上,抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B 和 D (4, ? ) . (1)求抛物线的解析式. (2)如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 运动,同 时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点 C 运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动. 设 S=PQ2(cm2) ①试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围; ②当 S 取

2 3

5 时,在抛物线上是否存在点 R,使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 4

求出 R 点的坐标;如果不存在,请说明理由. (3)在抛物线的对称轴上求点 M,使得 M 到 D、A 的距离之差最大,求出点 M 的坐标.

(第 22 题)

如图 13,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4) ,交 x 轴于 A、B,交 y 轴于 D,其中 B 点的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式 (2)如图 14,过点 A 的直线与抛物线交于点 E,交 y 轴于点 F,其中 E 点的横坐标为 2,若直线 PQ 为抛物线 的对称轴,点 G 为 PQ 上一动点,则 x 轴上是否存在一点 H,使 D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小.若存 在,求出这个最小值及 G、H 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图 15,抛物线上是否存在一点 T,过点 T 作 x 的垂线,垂足为 M,过点 M 作直线 MN∥BD,交线段 AD 于点 N,连接 MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,说明理由.

面积最大
如图,在平面直角坐标系中,点 A、C 的坐标分别为(-1, 0)、(0, 3 ),点 B 在 x 轴上.已知某二次函数的图 - 象经过 A、B、C 三点,且它的对称轴为直线 x=1,点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点(点 P 与 B、C 不重合) ,过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F. (1)求该二次函数的解析式; (2)若设点 P 的横坐标为 m,试用含 m 的代数式表示线段 PF 的长; (3)求△PBC 面积的最大值,并求此时点 P 的坐标. A O B x y

F

C x=1

P

在平面直角坐标系中,已知抛物线经过 A(-4,0) ,B(0,-4) ,C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点,点 M 的横坐标为 m,△AMB 的面积为 S.求 S 关于 m 的函数关系 式,并求出 S 的最大值. (3)若点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是直线 y=-x 上的动点,判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、O 为顶 点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点 Q 的坐标.

y

A M
2

O B

C

x

(2011?广元)如图,抛物线 y=ax +2ax+c(a≠0)与 y 轴交于点 C(0,4) ,与 x 轴交于点 A(﹣4,0)和 B. (1)求该抛物线的解析式; (2)点 Q 是线段 AB 上的动点,过点 Q 作 QE∥ AC,交 BC 于点 E,连接 CQ.当△CEQ 的面积最大时,求点 Q 的坐标; (3)平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P,与直线 AC 交于点 F,点 D 的坐标为(﹣2,0) .问是否有直 线 l,使△ODF 是等腰三角形?若存在,请求出点 F 的坐标;若不存在,请说 明理由.

讨论等腰
如图,已知抛物线 y=

1 2 x +bx+c 与 y 轴相交于 C,与 x 轴相交于 A、B,点 A 的坐标为(2,0) ,点 C 的坐标 2

为(0,-1) . (1)求抛物线的解析式; (2)点 E 是线段 AC 上一动点,过点 E 作 DE⊥x 轴于点 D,连结 DC,当△DCE 的面积最大时,求点 D 的坐标; (3)在直线 BC 上是否存在一点 P,使△ACP 为等腰三角形,若存在,求点 P 的坐标,若不存在,说明理由. y y

D B O C E A x B O C A x

备用图

(湖北省武汉市新洲区)如图,已知抛物线 y=x +bx+3 与 x 轴交于点 B(3,0) ,与 y 轴交于点 A,P 是抛物 线上的一个动点,点 P 的横坐标为 m(m>3) ,过点 P 作 y 轴的平行线 PM,交直线 AB 于点 M. (1)求抛物线的解析式; y (2)若以 AB 为直径的⊙N 与直线 PM 相切,求此时点 M 的坐标; (3)在点 P 的运动过程中,△APM 能否为等腰三角形?若能,求出点 M 的坐标;若 不能,请说明理由. P

2

A

O

B M

x

讨论直角三角
如图,已知点A(一1,0)和点B(1,2),在坐标轴上 确定点P,使得△ABP为直角三角形,则满足这样条件的点P共有( ). (A)2个 (B)4个 (C) 6个(D)7个

已知:如图一次函数 y= 次函数 y=

1 1 2 x+1 的图象与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B;二次函数 y= x +bx+c 的图象与一 2 2

1 x+1 的图象交于 B、C 两点,与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为(1,0) 2 (1)求二次函数的解析式; (2)求四边形 BDEC 的面积 S; (3)在 x 轴上是否存在点 P,使得△PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点 P,若不存 在,请说明理由. y

C
2

B x A O D E

(甘肃省天水市、庆阳市、定西市、白银市、嘉峪关市等九市联考)如图,抛物线与 x 轴交于 A(-1,0) 、B(3, 0)两点,与 y 轴交于点 C(0,-3) ,设抛物线的顶点为 D. (1)求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标; (2)以 B、C、D 为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么? (3)探究坐标轴上是否存在点 P,使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在,请指出符合条 件的点 P 的位置,并直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. y

A

O

B x

C D

讨论四边形
二次函数 y=x +px+q(p<0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C(0, -1),△ABC 的面积为
2

5 . 4

(1)求该二次函数的关系式; (2)过 y 轴上的一点 M(0,m)作 y 轴的垂线,若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点,求 m 的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点 D,使四边形 ACBD 为直角梯形?若存在,求出点 D 的坐标;若不 存在,请说明理由. y

O A C 已知:抛物线 y=x -2x+a(a <0)与 y 轴相交于点 A,顶点为 M.直线 y= C 两点,并且与直线 AM 相交于点 N. (1)填空:试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标,则 M( 求 a 的值和四边形 ADCN 的面积; (3) 在抛物线 y=x -2x+a <0) (a 上是否存在一点 P, 使得以 P, C, 为顶点的四边形是平行四边形? A, N 若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,试说明理由. y C N O B A M
2 2 2

B

x

1 x-a 分别与 x 轴,y 轴相交于 B, 2
) ,N( , ) ;



(2)如图,将△NAC 沿 y 轴翻折,若点 N 的对应点 N ′ 恰好落在抛物线上,AN ′ x 轴交于点 D,连结 CD, 与

y C N′ D x B A M 备用图 N O x

(辽宁省抚顺市)已知:如图所示,关于 x 的抛物线 y=ax +x+c(a≠0)与 x 轴交于点 A(-2,0) ,点 B(6, 0) ,与 y 轴交于点 C. (1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标; (2)在抛物线上有一点 D,使四边形 ABDC 为等腰梯形,写出点 D 的坐标,并求出直线 AD 的解析式; (3)在(2)中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M,抛物线上有一动点 P,x 轴上有一动点 Q.是否存在以 A、M、P、Q 为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. y C

A

O

B

x

综合型题目
(山东省烟台市)如图,抛物线 y=ax +bx-3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点,且经过点(2, 3a) - , 对称轴是直线 x=1,顶点是 M. (1)求抛物线对应的函数表达式; (2)经过 C,M 两点作直线与 x 轴交于点 N,在抛物线上是否存在这样的点 P,使以点 P,A,C,N 为顶点 的四边形为平行四边形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)设直线 y=-x+3 与 y 轴的交点是 D,在线段 BD 上任取一点 E(不与 B,D 重合) ,经过 A,B,E 三 点的圆交直线 BC 于点 F,试判断△AEF 的形状,并说明理由; (4)当 E 是直线 y=-x+3 上任意一点时, (3)中的结论是否成立?(请直接写出结论) y
2

A O

1

B x

-3

C M

1 2 4 x - x-10 与 x 轴的交点为 A,与 y 轴的交 18 9 点为点 B,过点 B 作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结 AC.现有两动点 P,Q 分别从 O,C 两点同时出 发,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向终点 A 移动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动,点 P 停 止运动时,点 Q 也同时停止运动.线段 OC,PQ 相交于点 D,过点 D 作 DE∥OA,交 CA 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F.设动点 P,Q 移动的时间为 t(单位:秒) (1)求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标; (2)当 t 为何值时,四边形 PQCA 为平行四边形?请写出计算过程;
(湖北省黄冈市)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y=

9 时,△PQF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由; 2 (4)当 t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程. y
(3)当 0<t<

P O E D Q C A F x

B


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