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函数定义与三要素答案


1.与函数 y=10 1 A.y= 2x-1 [答案] B - [解析] y=10lg(2x 1)=2x-1 1 即 y=2x-1?x>2?,故选 B. ? ?
x

lg(2x-1)

函数定义及三要素 的图象相同的函数是 ( ) 1 1? B.y=2x-1 ?x>2? C.y=?2x-1? ? ? ? (2x-1&

gt;0),

1 ?x>1? D.y= 2x-1 ? 2?

x≤1 ?2 ? 2.(理)若函数 f(x)=? 1 ,则函数 y=f(2-x)的图象可以是 ?log2x x>1 ?

(

)

[答案] A [解析] 由函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称得到 y=f(-x)的图象, 再把 y=f(x)的图象向右平移 2 个单位得 到 y=f(2-x)的图象,故选 A. 4 4 ,则 f?3?+f?-3?的值为 ? ? ? ? ( A.-2 C.1 [答案] C B.-1 D.2 )

3.(文)已知 f(x)=

? (x≤0) ?cosπx [解析] ∵f(x)=? , ? ?f(x-1)+1 (x>0) 4 4 1 ∴f ?3?=f ?3-1?+1=f ?3-1?+1+1 ? ? ? ? ? ? 2? 2 ? 1 3 =f ?-3?+2=cos ?-3π?+2=- +2= , ? ? 2 2 1 ? 4 ? ? 4? f ?- ?=cos ? ? ? ? =- , 3? 2 ? ? 3 ?

4 4 ∴f ?3?+f ?-3?=1.故选 C. ? ? ? ? 2 ? (x≤0) ?x 4.已知函数 f(x)=? ,若 f[f(x0)]=2,则 x0 的值为________. ? ?2cosx (0<x<π) 3π [答案] 4 [解析] ∵0<x<π 时,f(x)=2cosx∈(-2,2), 令 f(x0)=a,则由 f(a)=2 得,a=- 2, ∴f(x0)=- 2, ∵x≤0 时,f(x)=x2≥0,
?2cosx0=- 2 ? 3π ∴? ,∴x0= . 4 ? ?0<x0<π

?a,若a≤b; ? 5.(理)对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下:a*b=? ? ?b,若a>b 1 函数 f(x)=log (3x-2)*log2x 的值域为________. 2 [答案] (-∞,0]

[解析] ∵a*b=? 域为(-∞,0].

? ?a ?b ?

(a≤b) (a>b)

1 ,而函数 f(x)=log (3x-2)与 log2x 的大致图象如右图所示∴f(x)的值 2

1 ? | x ? |,| x |? 1 ? x , g ( x) 是二次函数, f [ g ( x)] 的值域是 [0, ??) , g ( x) 的值域是 6. 设函数 f ( x) ? ? 若 则 ( ? ?2sin x,| x |? 1 ? 2
A. (??, ?1] ? [1, ??) B. (??, ?1] C. [0, ??) 【答案】C 【解析】 D. (??, ?1] ? [0, ??)



选C 因为当|x|>=1 时,f(x)>=2. 而 f[g(x)]的值域是[0,正无穷大), 所以 g(x)不仅仅在|g(x)|>=1 上,所以答案中能选 C
7.已知函数 f ( x) 的定义域为 [3, 6] ,则函数
y? f (2 x) log 1 (2 ? x)
2

的定义域为(



A. [ , ??) 【答案】B 【解析】

3 2

B. [ , 2)

3 2

C. ( , ??)

3 2

D. [ , 2)

1 2

试题分析:根据题意,由于函数 f ( x) 的定义域为 [3, 6] ,那么可知 f(2x)的定义域为 2x? [3,6] ? x ?[ ,3] , 而根据对数函数定义域可知,2-x>0,x<2,要使得原式有意义则需要满足 [ , 2) ,故可知答案为 B. 考点:函数的定义域 点评:主要是考查了函数的定义域的求解,属于基础题。

3 2

3 2

[ 8.函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? 1og 2x, 若f ( g ( x) 与g ( f ( x)) 的定义域都为 a, b](0 ? a ? b) ,值域相同,则(
A. a ? 1, b ? 4 【答案】A B. a ? 1, b ? 1 C. a ? 1, b ? 4 D. a ? 1, b ? 4



2 与 的定义域都为 [a, b](0 a? b ) ? 【解析】解:因为函数 f ( x) ? x , g ( x) ? 1og2 x,若 f ( g ( x) g ( f ( x)) 值域相

同,那么利用解析式分析两个函数的定义域和值域要相同时,则参数 a,b 的值要满足 a ? 1, b ? 4 ,选 A
f ( x) ? lg 2? x x 2 f ( )? f ( ) 2 ? x ,则 2 x 的定义域为

9.设



) D. (?4, ?2) ? (2, 4)

A. (?4, 0) ? (0, 4) 【答案】B

B. (?4, ?1) ? (1, 4)

C. (?2, ?1) ? (1, 2)

【解析】本题考查函数的含义,函数的定义域,简单复合函数的定义域,不等式(组)的解法. 要使函数 f ( x) ? lg

2? x 2? x 有意义,需使 ? 0,即( x ? 2)( x ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 2, 所以函数 f ( x) 的定 2? x 2? x

? ? ?2 ? x 2 ? 义域为 (?2, 2); 要使函数 f ( ) ? f ( ) 有意义,需使 ? 2 x ? ?2 ? ? ?

x ?2 2 ,即 2 ?2 x

?4 ? x ? 4 ? ? ?4 ? x ? 4 ? ,即 ? ,解得 ?4 ? x ? ?1或1 ? x ? 4. 故选 B 1 1 ? ?1 ? ? 0或0 ? ? 1 ? x ? ?1或x ? 1 ? x x ?
10.函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( )A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 【答案】A 【解析】 x x x 试题分析:根据题意,由于函数 f(x)=log2(3 +1),而 3 >0,那么可知 3 +1>1,结合对数函数单调递增可知, x log2(3 +1)>0,故可知函数的值域为(0,+∞),选 A. 考点:函数值域 点评:主要是考查了对数函数的值域的求解,属于基础题。 11.函数 f ( x) ? lg( 5 【答案】D 【解析】 12.设 f ( x) 在 [0,1] 上有定义,要使函数 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 有定义,则 a 的取值范围为( A. (??, ? ) ; B. [ ? 【答案】B 【解析】函数 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义域为 [a,1 ? a] ? [?a,1 ? a] 。当 a ? 0 时,应有 a ? 1 ? a ,即 a ? 当 a ? 0 时,应有 ?a ? 1 ? a ,即 a ? ? )
2x

?4
x

5

(2lg2,+∞) ? 5) 的值域为( )A.

B. (0,+∞)C. (-1,+∞) D.R

1 2

1 1 1 1 1 , ] ; C. ( , ??) ; D. (??, ? ] ? [ , ??) 2 2 2 2 2
1 ; 2

1 。 2

因此,选 B。

f(2) f(3) f(2011) 13.若 f(a+b)=f(a)· f(b)且 f(1)=1,则 + +?+ =________. f(1) f(2) f(2010) [答案] 2010 f(a+1) [解析] 令 b=1,则 =f(1)=1, f(a) f(2) f(3) f(2011) ∴ + +?+ =2010. f(1) f(2) f(2010) 14.设 m, n ? z ,已知函数 f ( x) ? log 2 (? x ? 4) 的定义域是 [m, n] ,值域是 [0, 2] ,若函数 g(x)=2 +m+1 有唯一的零点,则 m ? n ? ( ) A.2 B. ?1 C.1 D.0 【答案】C 【解析】 考点:函数零点的判定定理;对数函数的定义域. 专题:计算题. 分析:由关于 x 的方程 2|x-1|+m+1=0 有唯一的实数解,我们易得 m 的值,然后根据函数 f(x)=log2(-|x|+4)
︱x-1︱

的定义域是[m,n],值域是[0,2],结合函数 f(x)=log2(-|x|+4)的性质,可求出 n 的值,进而得到答案. 解答:解:∵f(x)=log2(-|x|+4)的值域是[0,2], ∴(-|x|+4)∈[1,4] ∴-|x|∈[-3,0] ∴|x|∈[0,3]…① 若若关于 x 的方程 2|x-1|+m+1=0 有唯一的实数解 则 m=-2 又由函数 f(x)=log2(-|x|+4)的定义域是[m,n], 结合①可得 n=3 即:m+n=1 故选 C 点评:本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断,对数函数的定义域及对数函数的值域,其中利用关 于 x 的方程 2|1-x|+m+1=0 有唯一的实数解,变形得到关于 x 的方程 2|1-x|+1=-m 有唯一的实数解,即-m 为函数 y=2|1-x|+1 的最值,是解答本题的关键. 15 . 若

n ? m 表 示 ?m, n?(m ? n) 的 区 间 长 度 , 函 数 f (x) ?
)A.4 B.2

a ? x ? x ( a ? 0) 的 值 域 区 间 长 度 为
C. 2 D.1

2( 2 ? 1) ,则实数 a 的值是(

【答案】A 【解析】 本题考查函数最值的求法。 解决根式的函数和方程, 平方是常用的方法。 由题意分析知, 可先确定函数的最值, 再求解 a 。 平方, f
2

? x? ? a ? 2

ax ? x 2 。则令 g ? x ? ? ax ? x 2 , 0 ? x ? a 。解出其最值即得答案。

由二次函数的性质知, g ? x ? 的最大值和最小值分别为 故f
2

a2 和0 。 4

? x ? 的最大值和最小值分别为 2a, a 。

所以 f ? x ? 的值域区间长度为 a

?
?

2 ? 1 。故选 A.

?

这要求学生能够分析问题,化繁为简。 16.函数 y ? f (cos x) 的定义域为 ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ? (k ? Z ) ,则函数 y ? f (x) 的定义域为 ___________ ? ?
6 3 ?

【答案】 [? 【解析】

1 ,1] 2
? ?

试题分析:因为 x ? ?2k? ?

?
6

,2k? ?

2? ? 1 1 ? (k ? Z ) ,所以 cos x ? [? 2 ,1] ,所以 y ? f (x) 的定义域为 [? 2 ,1] . 3 ?

考点:复合函数的定义域 点评:本题考查复合函数定义域的求法,解题的关键是理解复合函数的定义,属基础题. 17.函数 f ( x) 的定义域为 D,若满足① f ( x) 在 D 内是单调函数,②存在 ? a, b ? ? D ,使 f ( x) 在 ? a, b ? 上的值域 为 ? ?b, ? a ? ,那么 y ? f ( x) 叫做对称函数,现有 f ( x) ? 2 ? x ? k 是对称函数, 那么实数 k 的取值范围是

【答案】 [ 2,

9 ) 4

【解析】 由于 f ( x) ? 2 ? x ? k 在(-∞,2]上是减函数,故满足①, 又 f(x)在[a,b]上的值域为[-b,-a], ∴所以 ?

? 2 ? a ? k ? ?a ? ? 2 ? b ? k ? ?b ?

,

即 a 和 b 是关于 x 的方程 2 ? x ? k ? ? x 在(-∞,2]上有两个不同实根. 令 t= 2 ? x ,则 x=2-t2,t≥0,

1 2 9 ) + ,在[0,+∞]上有两个不同实根, 2 4 1 1 1 9 又 g(t) =-t2+t+2 在 [0, ] 递增,在 ( ,?? ) 递减且 g(0)=2,g( )= 2 2 2 4
∴k=-t2+t+2=-(t∴k 的取值范围是 [ 2,

9 ). 4
f (0) =1, 对 任 意 都 有 , 则

18.已知函数 f(x)的定义域为 R,

+ A. B. C. D.

【答案】C 【解析】略成等差数列,再用裂项相消 19.对于函数 __________. 【答案】 ? 4

f ( x) ? ax 2 ? bx , 存在一个正数 b ,使得 f ( x) 的定义域和值域相同, 则非零实数 a 的值为

【解析】由题意得 ax^2+bx≥0 (1)当 a>0 时,定义域为 x≤-b/a 或 x≥0,此时 f(x)的值域为 f(x)≥0,则 f(x)的定域和值域不相同,故 不合题意。 (2)当 a<0 时, 定义域为 0≤x≤-b/a, 那么 ax^2+bx 有最大值-b^2/4a,则 f(x)值域为 0≤f(x)≤√(-b^2/4a). 为使得 f(x)的定域和值域相同,则有-b/a=√(-b^2/4a),解得 a=-4 所以非零实数 a=-4
2-x ? 2 x ? 2 的定义域为 M , 2? x

20.已知函数 y ? (1)求 M ;

(2)当 x ? M 时,求函数 f ( x) ? 2 log 2 x ? a log 2 x 的最大值。
2

【答案】 (1) x ? [1,2] ; (2) g (t ) max ? ?

? 2 ? a , a ? ?2 ?0 , a ? ?2

【解析】 试题分析: (1)根据表达式,分母不为零,偶次格式下被开方数为非负数,得到结论。 (2)根据换元法思想,得到二次函数的最值的求解。 (1)函数 y ?

2-x ? 2 x ? 2 有意义,故: 2? x

?( x ? 2)( x ? 2) ? 0 ? x ? 2 ?2?0 ? x ? ?2 解得: x ? [1,2] ?
(2) f ( x) ? 2 log 2 x ? a log 2 x ,令 t ? log 2 x ,
2

2 可得: g (t ) ? 2t ? at, t ? [0,1] ,讨论对称轴可得: g (t ) max ? ?

? 2 ? a , a ? ?2 ?0 , a ? ?2

考点:本题主要是考查函数的定义域和函数的 值域。 点评:解决该试题的关键是整体上构造函数,得到关于 t 的一元二次函数来求解函数的最值问题。 21.已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 a ?

x2 ? 2x ? a , x ? [1, ??) x

1 时,求函数 f ( x) 的最小值; 2

(Ⅱ)若对任意 x ?[1, ??) , f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ) x ? 1 时, f ( x) 取得最小值

7 .(Ⅱ) (?3, ??) . 2

【解析】 试题分析: (1)先将原式化成求解导数 f‘(x),再利用导数的正负与函数单调性的关系,即可求得函数 f(x) 的最小值; 2 (2)原题等价于 x +2x+a>0 对 x∈[1,+∞)恒成立,再结合二次函数的单调性只须 g(1)>0,从而求得实 数 a 的取值范围; 解(Ⅰ) a ?

1 1 2 x2 ?1 1 ? 2 ? f '( x) ? 1 ? 2 ? ? 0 (因为 x ? 1) 时, f ( x) ? x ? 2x 2x 2x2 2
7 . 2

所以, f ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,故 x ? 1 时, f ( x) 取得最小值

(Ⅱ) 因为对任意 x ?[1, ??) , f ( x) ? 0 恒成立,即 x 2 ? 2 x ? a ? 0 恒成立,只需 a ? ? x2 ? 2 x 恒成立,只需

a ? (? x 2 ? 2 x) max ,因为 x ? 1 ? (? x 2 ? 2 x) ? ?3 ,
所以,实数 a 的取值范围是 (?3, ??) . 考点: 本题主要考查了函数单调性的应用、 函数奇偶性的应用、 不等式的解法等基础知识, 考查运算求解能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 点评:解决该试题的关键是是对于同一个问题的不同的处理角度,可以运用均值不等式得到最值,也可以结合 导数的工具得到最值,对于恒成立问题一般都是转换为求解函数的 最值即可得到。 22.已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且 f(x)最小值是-1,函数 g(x)与 f(x)的图象关于原点对称. (1)求 f(x)和 g(x)的解析式;

(2)若 h(x)=f(x)-λg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. [解析] (1)依题意,设 f(x)=ax(x+2)=ax2+2ax(a>0). f(x)图象的对称轴是 x=-1,∴f(-1)=-1, 即 a-2a=-1,∴a=1,∴f(x)=x2+2x. ∵函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称, ∴g(x)=-f(-x)=-x2+2x. (2)由(1)得 h(x)=x2+2x-λ(-x2+2x)=(λ+1)x2+2(1-λ)x. ①当 λ=-1 时,h(x)=4x 满足在区间[-1,1]上是增函数; λ-1 ②当 λ<-1 时,h(x)图象对称轴是 x= , λ+1 λ-1 则 ≥1,又 λ<-1,解得 λ<-1; λ+1 λ-1 ③当 λ>-1 时,同理需 ≤-1, λ+1 又 λ>-1,解得-1<λ≤0. 综上,满足条件的实数 λ 的取值范围是(-∞,0]. 23.求下列函数的解析式 (1)已知 f ( x) ? x ? 3x ? 2 ,求 f ( x ? 1)
2

【解 析】直接代入得 f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 3( x ? 1) ? 2 ? x ? 5 x ? 6
2 2

(2)已知 f ( x ? 1) ? 3x ? 2 x ? 1,求 f ( x)
2 4 2

【解析】 令x ? 1 ? t (t ? 1) ? x ? t ? 1 ? f (t ) ? 3(t ? 1) ? 2(t ? 1) ? 1 ? 3t ? 4t (t ? 1)
2 2 2 2

(3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) 解析:由题可设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 所以 3 ? [a( x ? 1) ? b] ? 2[a( x ? 1) ? b] ? 2 x ? 17 化简得 (a ? 2) x ? 5a ? b ? 17 ? 0 所以 a ? 2 b ? 7 24.函数 f ( x) ?

?a ? 2 ? 0 ?? ?5a ? b ? 17 ? 0

所以 f ( x) ? 2 x ? 7

(1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6 , (1)若 f (x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.

(2)若 f (x) 的定义域为[-2,1],求实数 a 的值 【答案】 (1) [?

5 (2) a 的值为 a =2. ,1] ; 11
2 2

【 解 析 】 1) f (x) 的定义域为 R,即 (1 ? a ) x ? 3(1 ? a) x ? 6 ? 0 恒成立,讨论 1 ? a ? 0, 与1 ? a 2 ? 0 , (
2

按照一次函数与二次函数恒大于等于 0 需满足的条件求解; (2) f (x) 的定义域为[-2,1]等价于不等式

(1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6 ? 0 的解集为[-2, 利用一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系解得 1],

a =2.
(1)①若 1 ? a ? 0,即a ? ?1 ,
2

1)当 a =1 时, f ( x) ? 2)当 a =-1 时, f ( x) ?
2

6 ,定义域为 R,适合;

6 x ? 6 ,定义域不为 R,不合;-----2 分
2 2

②若 1 ? a ? 0, g ( x) ? (1 ? a ) x ? 3(1 ? a) x ? 6 为二次函数,

? f (x) 定义域为 R,? g ( x) ? 0对x ? R 恒成立,
2 ? ?? 1 ? a ? 1 5 ?1 ? a ? 0 ?? ?? ? ? ? a ?1 综合①、②得 a 的取值范围 2 2 11 ?? ? 9(1 ? a ) ? 24 (1 ? a ) ? 0 ?( a ? 1)(11a ? 5) ? 0 ?

[?

5 ,1] 11
2 2

-----6 分

(2)命题等价于不等式 (1 ? a ) x ? 3(1 ? a) x ? 6 ? 0 的解集为[-2,1],显然 1 ? a 2 ? 0

?1 ? a 2 ? 0且x1 ? ?2 、 x2 ? 1 是方程 (1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6 ? 0 的两根,

? ?a ? ?1或a ? 1 ?a ? ?1或a ? 1 ? 3(a ? 1) ? ? ? ? x1 ? x 2 ? ? ?1 ? ?a 2 ? 3a ? 2 ? 0 , 2 1? a ? ?a 2 ? 4 ? 6 ? ? x1 ? x 2 ? 1 ? a 2 ? ?2 ?
解得 a 的值为 a =2. ----12 分


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