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江西省临川一中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含答案


临川一中 2013-2014 学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题(每小题 5 分,共 10 个小题,本题满分 50 分) 1.如果 a ? b ,则下列各式正确的是( ) A. a ? lg x ? b ? lg x B. ax 2 ? bx 2 C. a 2 ? b 2 D. a ? 2 x ? b ? 2 x )

2.已知 0 ? x

? 1 ,则 x(3 ? 3 x) 取得最大值时 x 的值为( A.

1 3

B.

1 2

C.

3 4

D.

2 3
) )

3.一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2n 项的和为 60,则前 3n 项的和为( A. 83 B. 108 C. 75 D. 63
2

4.若直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 x ? a (a ? 1) y ? (a ? 1) ? 0 垂直,则 a 的值为( A. 0 或 ?

3 2

B. 0 或 ?

2 3
x

C. 0 或

2 3

D. 0 或

3 2
)

5.已知 a、b 都是正实数,函数 y ? 2ae ? b 的图象过(0,1)点,则 A. 3 ? 2 2 B. 3 ? 2 2 C. 4 D. 2

1 1 ? 的最小值是( a b
)

6.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

A. 5

B. 5

C. 2

D. 1

7.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p , 第二年的增长率为 q ,则该市这两年生产总值的年平均 增长率为( A. C. ) B.

p?q 2

( p ? 1)(q ? 1) ? 1 2

pq

D. ( p ? 1)( q ? 1) ? 1

8.一个多面体的三视图如图所示, 则该多面体的表面积为( ) A. 21 ? 3 C. 21 B. 18 ? 3 D. 18 )

? y?x ? 9.设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? mx 下, 目标函数 z ? x ? my 的最大值大于 2, 则 m 的取值范围为 ( ?x ? y ? 1 ?
A. 1,1 ? 2

?

?

B. 1 ? 2 ,??

?

?


C. ?1,3?

D. ?3,?? ?

10.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BCA ? 90 0 , M 、N 分别是 A1 B1、A1C1 的中点, BC ? CA ? CC1 , 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( A. 1 B. 2 C.

10

5

2 2

D.

30 10

第Ⅱ卷 (非选择题共 100 分)
1

临川一中 2013-2014 学年高一下学期期末考试数学试题
二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题,满分 25 分)

x2 ? 2x ? 4 11.当 x ? 0 时,函数 y ? 的最小值为 x

. 时, {an } 的前 n 项和最大.

12.若等差数列 {an } 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0, a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ?

13.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1 , V2 ,若它们的侧面积相等,且 S2 ,体积分别为 V1 ,

S1 9 ? ,则 S2 4

V1 的值是 V2



14.已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1 ,若对于任意的 x ? ? m, m ? 1? 都有 f ( x) ? 0 ,则实数 m 的取值范围 为 .
2 2

15.设点 M (a,2) ,若在圆 O : x ? y ? 4 上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45 ,则 a 的取值范围是_____. 三、解答题(需要写出解答过程或证明步骤) 16.(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a , b, c ,且 b ? 3, c ? 1, A ? 2 B. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin( A ?

?
4

) 的值.

17.(本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式

a?x ? 0 ,其中常数 a 是实数. x ?x?2
2

18.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,已知点 A ?1,1? , B ? 2,3? , C ? 3, 2 ? ,点 P ? x, y ? 在 ?ABC 三边围成的区域(含 边界)上,且 OP ? m AB ? n AC (m, n ? R ) . (Ⅰ)若 m ? n ?
? 1 ,求 OP ; 3

?

?

?

P

(Ⅱ)用 x, y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最小值. 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD , AC 丄 AD , AB 丄 BC , ?BAC ? 45? , PA=AD =2 , AC =1 .
B A C

(Ⅰ)证明: PC 丄 AD ; D (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值; (Ⅲ)求三棱锥 P ? ACD 外接球的体积. 20. (本小题满分 13 分) 如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该 圆上任意一点的距离均不少于 80m.经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东

2

临川一中 2013-2014 学年高一下学期期末考试数学试题
方向 170m 处(OC 为河岸), cos ?BCO ?

3 .以 OC 所在直线为 x 轴,以 OA 所在直线为 y 轴建立 5

平面直角坐标系. (Ⅰ)求 BC 所在直线的方程及新桥 BC 的长; (Ⅱ)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?并求此时圆的方程.

21(本小题满分 14 分)设各项为正数的数列 ?an ?的前

n 和为 S n ,且 S n 满
足: S n ? (n ? n ? 3) S n ? 3(n ? n) ? 0, n ? N ? .等
2 2 2

比数列 ?bn ?满足: log 2 bn ?

1 an ? 0 . 2

(Ⅰ)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ?的前 n 项的和 Tn ; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? . a1 (a1 ? 1) a2 (a2 ? 1) an (an ? 1) 3

3

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临川一中 2013-2014 学年度下学期期末考试高一数学答案

三.解答题 16.解: (Ⅰ )∵A ? 2 B ,∴sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B , 由正弦定理得 a ? 2b ?
2

a 2 ? c2 ? b2 2ac

∵b ? 3, c ? 1 ,∴a ? 12, a ? 2 3 .............................6 分 (Ⅱ )由余弦定理得 cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 9 ? 1 ? 12 1 ? ?? , 2bc 6 3
2

由于 0 ? A ? ? ,∴sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ( ? ) ?
2

1 3

2 2 , 3

故 sin( A ?

?
4

) ? sin A cos

?
4

? cos A sin

?
4

?

2 2 2 1 2 4? 2 ..........12 分 ? ? (? ) ? ? 3 2 3 2 6

17.解原不等式 ? ( x ? a )( x ? 2)( x ? 1) ? 0 .........................2 分 当 a ? ?1 时原不等式的解集为 (??, a ) ? (?1,2) ..............4 分 当 a ? ?1 时原不等式的解集为 (??,?1) ? (?1,2) ...........6 分 当 ? 1 ? a ? 2 时原不等式的解集为 (??,?1) ? (a,2) .......8 分 当 a ? 2 时原不等式的解集为 (??,?1) ............10 分 当 a ? 2 时原不等式的解集为 (??,?1) ? (2, a ) .........12 分 18 解(Ⅰ ) OP ? m AB ? n AC ?
? ? ?

? 1 1 (1,2) ? (2,1) ? (1,1) , ∴ OP ? 2 ....................5 分 3 3

4

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19. 解: (Ⅰ )

DA ? AC ? ? ? DA ? 平面PAC ? DA ? PC .................4 分 DA ? PA ?

(Ⅱ )过 A 作 AM ? PC 交 PC 于点 M ,连接 DM ,则 ?AMD 为所求角 在三角形 AMD 中, sin ?AMD ?

P

AD 30 ........................8 分 ? DM 6
M B
A C

(Ⅲ)求三棱锥 P ? ACD 外接球即为以 AP, AD, AC 为棱的 长方体的外接球,长方体的对角线为球的直径

l 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 12 ? 9 ? (2 R) 2 ? R ?

3 2
D

4 4 3 9 V ? ?R 3 ? ? ? ( ) 3 ? ? ...............12 分 3 3 2 2
20(Ⅰ )建立平面直角坐标系 xOy. 由条件知 A(0, 60),C(170, 0), 直线 BC 的斜率 k BC=-tan∠ BCO=-

4 . 3

3 . 4 b?0 4 设点 B 的坐标为(a,b),则 k BC= ?? , a ? 170 3 b ? 60 3 k AB= ? , a?0 4
又因为 AB⊥ BC,所以直线 AB 的斜率 k AB= 解得 a=80,b=120. 所以 BC= (170 ? 80) 2 ? (0 ? 120) 2 ? 150 . 因此直线 BC 的方程为 y ? ?

4 ( x ? 170) ,即 4 x ? 3 y ? 680 ? 0 ..............6 分 3

新桥 BC 的长是 150 m. (Ⅱ )设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0≤d≤60). 由知,直线 BC 的方程为 4 x ? 3 y ? 680 ? 0 由于圆 M 与直线 BC 相切,故点 M(0,d)到直线 BC 的距离是 r, 即r ?

| 3d ? 680 | 680 ? 3d . ? 5 5

因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,

? 680 ? 3d ? d ≥ 80 ? r ? d ≥ 80 ? ? 5 所以 ? 即? 解得 10 ≤ d ≤ 35 ?r ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 680 ? 3d ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 5 ?
故当 d=10 时, r ?

680 ? 3d 最大,即圆面积最大. 5
2 2 2

所以当 OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大.此时圆的方程为 x ? ( y ? 10) ? 130 .....................................13 分
5

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(1) ? (2)

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 ? n ? ( 1 )n 得 Tn ? 1 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ? ? ? ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n ? 1 2 2 2 2 2 2 1? 2 1 n ?1 ?Tn ? 4 ? ( ) (n ? 2) .............................................9 分 2
k k 3 1 3 ? k 2 ? ? ? (k ? )(k ? ) 2 2 16 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? [ ? ] ak (ak ? 1) 2k (2k ? 1) 4 k (k ? 1 ) 4 (k ? 1 )(k ? 3 ) 4 k ? 1 (k ? 1) ? 1 2 4 4 4 4
(Ⅲ )当 k ? N ? 时 k 2 ?

?

1 1 1 ? ? ??? ? a1 (a1 ? 1) a2 (a2 ? 1) an (an ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? )?( ? ) ? ??? ? ( ? )] ....................................14 分 1 1 1 1 4 1? 1 2 ? 1 2? 3? n? n ?1? 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ? ? 4 1? 1 n ?1? 1 3 4n ? 3 3 4 4

6


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