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2018课标版理数一轮(2)第二章-函数(含答案)7 第七节 函数的图象


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第七节 函数的图象

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教材研读

1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的 性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线, 画出函数的图象.

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2.图象变换
(1)平移变换:

?
(2)伸缩变换: y = f (x )

?

y=⑤ f(ωx) ; y=⑥ Af(x) .

y = f (x )?

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(3)对称变换: y = f (x )? y = f (x )? y = f (x )? (4)翻折变换: y = f (x )? y = f (x )? y =? |f(x)| . y =⑩ f(|x|) ; y = ⑦ -f (x ) ; y=⑧ f(-x) ; y=⑨ -f(-x) .

?

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1.函数f(x)=? -x的图象关于? ( A.y轴对称 B.直线y=-x对称

1 x

)

C.坐标原点对称
1 x

D.直线y=x对称

答案 C ∵f(x)=? -x是奇函数,∴图象关于原点对称. 2.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对 称,则f(x)=? ( A.ex+1 B.ex-1 ) C.e-x+1 D.e-x-1

答案 D 与曲线y=ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y=e-x,将函数 y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x)的图象,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1,故

选D.

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?1 ? ln x, x ? 1, 3.已知函数f(x)= ? 3 则f(x)的图象为? ( x , x ? 1, ?

?

)

?
答案 A 由题意知函数f(x)在R上是增函数,当x=1时, f(x)=1,当x=0时, f(x)=0,故选A.

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4.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1, 2),(3,1),则f? ? f (3) ? 的值等于
? ? ? 1 ?

.

?
答案 2

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5.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是 答案 (0,+∞) 解析

.

?2 x, x ? 0, 由题意得a=|x|+x,令y=|x|+x= ? 其图象如图所示,故要使a=| 0, x ? 0, ?

?

x|+x只有一个解,则a>0.

?

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考点突破
考点一 作函数的图象 典例1 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (3)y=x2-2|x|-1; 解析 (1)y=? ? (2)y=2x+2; (4)y=? .
x?2 x ?1

( x ? 1), ?lg x  的图象如图①. ?? lg x(0 ? x ? 1)

(2)将y=2x的图象向左平移2个单位即可得到y=2x+2的图象,如图②.

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? x 2 ? 2 x ? 1(   x ? 0), (3)y= ? 2 的图象如图③. ? x ? 2 x ? 1( x ? 0) 3 x ? 2 =1+? 3 ,先作出y=? (4)y=? 的图象, x x ?1 x ?1

?

将其图象向右平移1个单位, 再向上平移1个单位,
x ? 2 的图象,如图④. 即得y=? x ?1

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方法技巧 函数图象的常见画法: (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就 可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出图象. (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数 来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出.

?
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1-1 作出下列函数的图象. (1)y=eln x; (2)y=log2|x-1|.

解析 (1)因为函数的定义域为{x|x>0}且y=eln x=x,所以其图象如图所示.

(2)作y=log2|x|的图象,再将图象向右平移一个单位,如图,即得到y=log2|x1|的图象.

?

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考点二

函数图象的识辨

典例2 (1)(2016广西质检(一))函数y=(x3-x)2|x|的图象大致是? (

)

?
ax ? b 的图象如图所示,则下列结论成立 (2)(2015安徽,9,5分)函数f(x)=?

的是? (

)

( x ? c) 2

A.a>0,b>0,c<0

B.a<0,b>0,c>0

C.a<0,b>0,c<0

D.a<0,b<0,c<0

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答案 解析

(1)B (2)C (1)由于函数y=(x3-x)2|x|为奇函数,故它的图象关于原点对称,当0<x

<1时,y<0;当x>1时,y>0,故选B. (2)函数f(x)的定义域为{x|x≠-c}, 由题中图象可知-c=xP>0,

即c<0,排除B.
令f(x)=0,可得x=-? ,则xN=-? , 又xN>0,则? <0. 所以a,b异号,排除A,D.
b a b a b a

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方法技巧 函数图象识辨的常用方法 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断图象的上 下位置; (2)由函数的单调性判断图象的变化趋势; (3)由函数的奇偶性判断图象的对称性; (4)由函数的周期性判断图象的循环往复;

(5)由函数的特征点排除不合要求的图象.

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e1? x (e是自然对数的底数)的图象大致是? ( 2-1 函数f(x)=?

2

)

答案 C 本题考查函数的图象. ∵f(-x)=? e1?( ? x ) =f(x),
2

∴函数f(x)为偶函数,排除A,B, ∵f(x)=? e1? x >0,故排除D,
2

故选C.

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2-2 图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H),则该函数的大致 图象是? ( )

?

?
答案 B 由题图知,随着h的增大,阴影部分的面积S逐渐减小,且减小 得越来越慢,结合选项可知选B.

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考点三

函数图象的应用

命题角度一 研究函数的性质 典例3 已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是? ( A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) 答案 C
? x 2 ? 2 x, x ? 0, 将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)= ? 2 画出函数f(x) ? x ? 2 x , x ? 0, ?

)

解析

?

的图象,如图,

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?
观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称, 故函数f(x)为奇函数, 由图象易知f(x)的递减区间为(-1,1).

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命题角度二 求不等式的解集 典例4 (2015北京,7,5分)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x) ≥log2(x+1)的解集是? ( )

?
A.{x|-1<x≤0}
C.{x|-1<x≤1}

B.{x|-1≤x≤1}
D.{x|-1<x≤2}

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答案 C 解析 作出函数y=log2(x+1)的图象,如图所示:

?
其中函数f(x)与y=log2(x+1)的图象的交点为D(1,1),

由图象可知f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1},
故选C.

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命题角度三 求参数的值或取值范围 典例5 已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的 实根,则实数k的取值范围是? ( A.? ? 0, ? 2
? ? ? 1?

)

B.? ? ,1? D.(2,+∞)

?1 ? ?2 ?

C.(1,2)

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答案 B 解析
? x ? 1, x ? 2, 1 f(x)= ? 如图,作出f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=? . 3 ? x , x ? 2. 2 ?

?

?
要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,
则函数f(x)与g(x)的图象有两个交点,
1 由图可知,? <k<1. 2

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方法技巧 (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否 有解,有多少个解.

(2)利用图象可观察函数的单调性、定义域、值域、最值等.
3-1 (2017武汉六中模拟)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不 等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是 答案 [-1,+∞) 解析 如图,要使f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1,∴a≥-1. .


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