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2011年高考数学二轮复习精品学案:13函数与方程及函数的实际应用


专题一:集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第三讲
【最新考纲透析】
1.函数与方程 (1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的 个数。 (2)根据 具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解。 2.函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增

长等不同 函数类型增长的含义。 (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模 型)的广泛应用。

函数与方程及函数的实际应用

【核心要点突破】
要点考向一:函数零点问题 考情聚焦:1.函数的零点是新课标的新增内容,其实质是相应方程的根,而方程是高考重点考查内容, 因 而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点. 2.常与函数的图象、性质等知识交汇命题,多以选择、填空题的形式考查。 考向链接:1.函数零点(方程的根)的确定问题,常见的类型有(1)零点或零点存在区间的确定; (2) 零点个数的确定; (3)两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定;解决这类问题的常用方法有:解方 程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合 法求解。 2.函数零点(方程的根)的应用问题,即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,解 决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解。

? x2 ? 2 x ? 3, x ? 0 例 1: (2010?福建高考文科?T7)函数 f ( x) ? ? 的零点个数为( ) ? ?2 ? ln x, x ? 0
A.2 B.3 C.4 D.5

【命题立意】本题从分段函数的角度出发,考查了学生对基本初等函数的掌握程度。 【思路点拨】作出分段函数的图像,利用数形结合解题。

?( x ? 1) 2 ? 4, x ? 0 ? 【规范解答】选 C, f ( x) ? ? x ,绘制出图像大致如右 ln 2 , x ? 0 ? ? e
图,所以零点个数为 2。 【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解。 令 f ? x ? ? 0 ,则
2 (1)当 x ? 0 时, x ? 2x ? 3 ? 0 ,? x ? ?3 或 x ? 1 (舍

y

-3 去) ;
2 (2)当 x ? 0 时, ?2 ? ln x ? 0 ,? x ? e

e2

x

-4

综上述:函数 f ? x ? 有两个零点。 要点考向二:用二分法求函数零点近似值 考情聚焦:1.该考向虽然在近几年新课标高考中从未涉及,但由于二分法是求方程根的近似值的重要方 法,其又是新课标新增内容,预计在今后的新课标高考中可能会成为新的亮点. 2.该类问题常与函数的图象、性质交汇命题,考查学生的探究和计算能力。 考向链接:用二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定区间[a,b],验证 f(a)?f(b)<0,给定精确度 ? ; (2)求区间(a,b)的中点 x1 ; (3)计算 f( x1 ); ①当 f( x1 )=0,则 x1 就是函数的零点; ②若 f(a)?f( x1 )<0,则令 b= x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ), ③若 f( x1 )?f(b)<0,则令 a= x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) )。 (4)判断是否达到其精确度 ? ,则得零点近似值,否则重复以上步骤。 例 2:已知函数 f ( x) ? e ? 2 x ? 3x.
x 2

(1)求证函数 f ( x ) 在区间[0,1]上存在惟一的极值点。 ( 2 ) 用 二 分 尖 求 函 数 取 得 极 值 时 相 应 x 的 近 似 值 。( 误 差 不 超 过 0.2; 参 数 数 据

e ? 2 . 7 , e ? 1 .06 3 ? )1 . 3 e. ,
【思路解析】 求导数→ f ?(0)?f ?(1) ? 0 → f ?( x ) 在[0,1]上单调→得出结论→取初始区间→用二分法逐 次计算→得到符合误差的近似值. 【解答】

(1) ? f '( x) ? e x ? 4 x ? 3, 则:f '(0) ? e0 ? 3 ? ?2 ? 0, f '(1) ? e ? 1 ? 0, ? f '(0)?f '(1) ? 0, 令h( x) ? f '( x) ? e x ? 4 x ? 3, 则h '( x) ? e x ? 4 ? 0, ? f '( x)在[0,1]上单调递增, f '( x)在[0,1]上存在惟一零点, ? f ( x)在[0,1]上存在惟一的极值点.
(2)取区间[0,1]作为起始区间,用二分法逐次计算如下: 区间中点坐标 中点对应导数值 取值区间 [an , bn ] [0,1]

[an ? bn ]
1 0.5 0.25

x0 ?

0 ?1 ? 0.5 2 0 ? 0.5 x1 ? ? 0.25 2 0.25 ? 0.5 x2 ? ? 0.375 2

f '( x0 ) ? 0.6 ? 0 f '( x0 ) ? ?0.7 ? 0

[0,0.5] [0.25,0.5]

由上表可知区间[0.25,0.5]的长度为 0.25,所以该区间的中点 x2 ? 0.375 ,到区间端点距离小于 0.2,因此 可作为误差不超过 0.2 的一个极值点的相应 x 的值.

? 函数 y ? f ( x) 取得极值时,相应 x ? 0.375
要点考向二:函数的实际应用 考情聚焦:1.函数的实际应用历年来一直是高考的热点,考查现实生活中的热点问题,如生产经营, 环境保护,工程建设等相关的增长率、最优化问题。 2.常用导数、基本不等式、函数的单调性等重要知识求解。 例 3: (2010?湖北高考理科?T17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶 和外 墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该 建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系:

C ? x? ?

k ? 0 ? x ? 10 ? ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ? x ? 为隔热层建造费用与 3x ? 5

20 年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式; (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,并求最小值. 【命题立意】本题主要考查由实际问题求函数解析式、利用导数求函数最值,考查考生的阅读理解及

运算求解能力. 【 思 路 点 拨 】 C (0) ? 8 ? k的值 ???????????? ?
隔热层建造费用与20年的能源消耗费用相加

f ? x? 的 表 达 式

?利用导数 ?? x ? 的最小值 ? ? f?
【 规 范 解 答 】( Ⅰ ) 设 隔 热 层 厚 度 x cm , 由 题 意 建 筑 物 每 年 的 能 源 消 耗 费 用 为

k 40 ? 0 ? x ? 10 ? ,再由 C (0) ? 8 得 k ? 40 ,故 C ? x ? ? ? 0 ? x ? 10? ;又 x 厘米厚的隔 3x ? 5 3x ? 5 40 800 ? 20 + 6x = 热层建造费用为 6x ,所以由题意 f ? x ? = + 6x ? 0 ? x ? 10? 。 3x ? 5 3x ? 5 C ? x? ?
(Ⅱ) f ?( x ) ? 6 ?

2400 ? (3 x ? 5) 2

54( x ?

25 )( x ? 5) 3 ,令 f ?( x) ? 0 (3 x ? 5) 2

25 (舍去) ,当 x ? (0,5) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (5,10) 时, f ?( x) ? 0 ,故 x ? 5 时 f ? x ? 取 3 800 得最小值,且最小值 f ? 5? = 6 ? 5 ? =70 15 ? 5
得 x ? 5, x ? ? .因此当隔热层修建 5cm 厚时,总费用达到最小,且最小值为 70 万元。 【方法技巧】解 函数应用题的第一关是:正确理解题意,将实际问题的要求转化为数学语言,找出函 数关系式,注明函数定义域;第二关是:针对列出的函数解析式按题目要求,选择正确的数学思想将其作 为一个纯数学问题进行解答。

【高考真题探究】
1. (2010 上海文数)17.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 (A) (0,1). (B) (1,1.25). (C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2) [答]( )

解析: 构造函数 f ( x) ? lg x ? x ? 2,由f (1.75) ? f ( ) ? lg

7 4

7 1 ? ?0 4 4

f (2) ? lg 2 ? 0 知 x0 属于区间(1.75,2)
2. (2010 天津理数) (2)函数 f(x)= 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是
x

(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) 【答案】B 【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 由 f (?1) ?

1 ? 3 ? 0, f (0) ? 1 ? 0 及零点定理知 f(x)的零点在区间(-1,0)上。 2

【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解。

3. (2010 福建文数)21.(本小题满分 12 分) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇 沿直线方向以 ? 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (Ⅲ)是否存在 ? , 使得小艇以 ? 海里/小时的航行速度行驶, 总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存 在,试确定 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由。 21.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、 应用意识,考查函数函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 解法一: 设相遇时小艇的航行距离为 S 海里,则

S ? 900t 2 ? 400 ? 2? t ?20?cos(90? ? 30? ) 30 1 900t 2 ? 600t ? 400 ? 900(t ? ) 2 ? 300. 3 1 10 3 故当t ? 时,S min ? 10 3, v ? ? 30 3. 1 3 3 即??小艇以30 3海里 / 小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.

( II )设小艇与轮船在B处相遇. 由题意可得 : (vt ) 2 ? 202 ? (30t ) 2 ? 2?20? t ?cos(90? ? 30? ), 30 400 600 1 3 化简得 : v 2 ? 2 ? ? 900 ? 400( ? )3 ? 675. t t t 4 1 1 由于0 ? t ? ,即 ? 2. 2 t 1 所以当 ? 2时, v取得最小值10 13. t 即小艇航行的最小值为10 13海里 / 小时. 400 600 1 ( III )由(II)知v 2 ? 2 ? ? 900, 设 ? u (u ? 0), t t t
于是 400u ? 600u ? 900 ? v ? 0.
2 2

(?)

小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程 (?) 应有两个不等正根,即:

?6002 ? 1600(900 ? v 2 ) ? 0 ? , 解得15 3 ? v ? 30. ? 2 ?900 ? v ? 0 ? 所以, v的取值范围是(15 3,30).
解法二: (I)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向。设小艇 与轮船在 C 处相遇。

则在 Rt⊿OAC 中, OC=20cos30 =10- 3 ,AC=30t,OC=vt.此时, 轮船航行时间 t=

0

10 1 10 3 ? ,v ? ? 30 3 。 1 30 3 3

即,小艇以 30 3 海里/小时的速度航行时,相遇时小船的航行距离最小。

【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,参考数据如下:

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确度 0.1)为( (A)1.25 (B)1.375 (C)1.437 5 (D)1.5

)

2.对于函数 f(x)=x2+mx+n,若 f(a)>0,f(b)>0,则函数 f(x)在区间(a,b)内(

)

(A)一定有零点 (B)一定没有零点 (C)可能有两个零点 (D)至多有一个零点 3.如图,A、B、C、D 是某煤矿的四个采煤点,l 为公路,图中所示线段为道路,ABQP,BCRQ,CDSR 近似 于正方形,已知 A,B,C,D 四个采煤点每天的采煤量之比约为 3∶2∶1∶5,运煤的费用与运煤的路程、所 运煤的重量都成正比.现要从 P,Q,R,S 中选出一处设立一个运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中转站 的费用最少,则地点应选在( ) (A)P (B)Q (C)R (D)S

?2? x ? 1 x ? 0 4. 已知函数 f ( x) ? ? , ? f ( x ? 1) ( x ? 0)
若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是( (A)(-∞,0] (B)(-∞,1) (C)[0,1] (D)[0,+∞) 5.若 x1 满足 2x+2x=5,x2 满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2=( (A) ) )

5 2

(B)3

(C)

7 2

(D)4

6.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别 为 v 甲和 v 乙(如图所示).那么对于图中给定的 t0 和 t1,下列判断中一定正确的是( )

(A)在 t1 时刻,甲车在乙车前面 (B)t1 时刻后,甲车在乙车后面 (C)在 t0 时刻,两车的位置相同 (D)t0 时刻后,乙车在甲车前面

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面,某运输公司提出五种运输方案,据预测,这五种方案均能在 规定时间 T 完成预期的运输任务 Q0,各种方案的运煤总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示.在这五种方 案中,运煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是_________.(填写所有正确的图象的编号)

8.在用二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时,已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根 所在的区间为______.

9.关于 x 的方程 cos2x-sinx+a=0 在(0,

]上有解,则 a 的取值范围为_____.

三、解答题(10、11 题每题 15 分,12 题 16 分,共 46 分) 10.已知函数 f(x)=4x+m?2x+1 有且只有一个零点,求实数 m 的取值范围,并求出零点. 11.某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是 4 500 元/台.当笔记本电脑销售价为 6 000 元/台 时,月销售量为 a 台;根据市场分析的结果表明,如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为 x(0<x<1),那 么月销售量减少的百分率为 x2.记销售价提高的百分率为 x 时,电脑企业的月利润是 y(元). (1)写出月利润 y(元)与 x 的函数关系式; (2)试确定笔记本电脑的销售价,使得电脑企业的月利润最大. 12.已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5),且 f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式;

(2)是否存在自然数 m,使得方程 f(x)+ 求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

=0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,

参考答案 1. 【解析】选 C.根据题意知函数的零点在 1.406 25 至 1.437 5 之间, 因为此时|1.437 5-1.406 25|=0.031 25<0.1,故方程的一个近似根可以是 1.437 5. 2. 【解析】选 C.由于 f(a)>0,f(b)>0,且抛物线开口向上,所以可能有两个零点. 3. 【解析】选 C.设正方形边长为 a,采煤量比例系数为 x,费用比例系数为 k,对于 A,中转站选在 P 点时, 费用 y1=3kxa+4kxa+3kxa +20kxa=30kxa;对于 B,中转站选在 Q 点时,费用 y2=6kxa+2kxa+ 2kxa+15kxa=25kxa;对于 C,中转站选在 R 点时,费用 y3=9kxa+ 4kxa+kxa+10kxa=24kxa;对于 D,中转站选在 S 点时,费用 y4=12kxa+6kxa+2kxa+5kxa=25kxa.而 24kxa<25kxa< 30kxa,故选 C. 4. 【解析】选 B.在同一坐标系内画出函数 y=f(x)和 y=x+a 的图象.由图可知 a<1.

5. 【解析】选 C.∵2x+2x=5 ? 2x=5-2x, 2x+2log2(x-1)=5 ? 2log2(x-1)=5-2x. ∴可抽象出三个函数 y=2x,y=2log2(x-1),y=5-2x, 在同一坐标系中分别作出它们的图象(如图所示).

观察知:

3 5 1 ? x1 ? , 2 ? x2 ? , 2 2 ? 3 ? x1 ? x2 ? 4, 故选C.

6. 【解析】选 A.由图象可知,速度图象与 t 轴围成的面积表示汽车行驶的位移,在 t0 时刻,甲车的位移 大于乙车的位移,故在 t0 时刻甲车应在乙车的前面,且 t0 时刻两车速度相同,故 C、D 不对,t1 时刻甲 车的位移大于乙车的位移,故 A 对.

7. 【解析】由于要求运煤效率逐步提高,因此反映到图象上各点处的切线的斜率即导数应逐渐增大,而只 有②符合. 答案:② 8. 【解析】令 f(x)=x3-2x-1, 显然 f(1)<0,f(2)>0,

3 3 3 f ( ) ? ( )3 ? 2 ? ? 1 ? 0, 2 2 2 又 3 ?方程的根所在区间为( , 2). 2

答案:(

,2)

9. 【解析】原方程可化为 a=sin2x+sinx-1,方程有解当且仅当 a 属

于函数 y=sin2x+sinx-1 的值域时,而 y=sin2x+sinx-1=(sinx+ 可求得值域为(-1,1],即 a 的取值范围是(-1,1]. 答案:(-1,1] 10. 【解析】由题 知:方程 4x+m?2x+1=0 只有一个零点. 令 2x=t(t>0), ∴方程 t2+m?t+1=0 只有一个正根,

)2-

,∵x∈(0,

],∴sinx∈(0,1].

? m ?? ? 0 ,? m ? ?2. ∴由图象可知, ? 2 ?? ? 0 ?
当 m=-2 时 t=1,∴x=0. ∴函数的零点为 x=0. 11. 【解析】 (1)依题意,销售价提高后为 6 000(1+x)元/台,月销售量为 a(1-x2)台, 则 y=a(1-x2)[6 000(1+x)-4 500] 即 y=1 500a(-4x3-x2+4x+1)(0<x<1). (2)y′= 1500a(-12x2-2x+4), 令 y′=0,得 6x2+x-2=0,

解得,x=1/2,x=-2/3(舍去). 当 0<x<1/2 时,y’>0;当 1/2<x<1 时,y’<0. 当 x=1/2 时,y 取得最大值。 此时销售价为 6000?(3/2)=9000 元. 答:笔记本电脑的销售价为 9 000 元时,电脑企业的 月利润最大. 12. 【解析】 (1)∵f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5), ∴可设 f(x)=ax(x-5)(a>0), ∴f(x)在区间[- 1,4]上的最大值是 f(-1)=6a. 由已知,得 6a=12, ∴a=2,∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).

【备课资源】
1. 定义域和值域均为[-4,4]的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象如图所示,下列命题正确的是( )

(A)方程 f(g(x))=0 有且仅有三个根 (B)方程 g(f(x ))=0 有且仅有三个根 (C)方程 f(f(x))=0 有且仅有两个根 (D)方程 g(g(x))=0 有且仅有两个根 【解析】选 A.由于 f(x)=0 有 3 个根,且 g(x)∈[-4,4] ,则 f(g(x))=0 有且仅有三个根. 2. 已知 a 是使表达式 2x+1>42-x 成立的最小整数,则方程 1-|2x-1|=ax-1 实数根的个数为( (B)1 (C)2 (D)3 )(A)0

3.若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a∈_____. 【解析】令 f(x)=2ax2-x-1,由题意 知: f(0)?f(1)<0,∴(-1)?(2a-2)<0,∴a>1. 答案:(1,+∞)

6.设 a 为实数,已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x. 3

(1)当 a =1 时,求函数 f ( x ) 的极值。 (2)若方程 f ( x ) =0 有三个不等实数根,求 a 的取值范围。

(2)因为 f′(x)=x2-2ax+(a2-1)=[x-(a-1)] [x-(a+1)],所以方程 f′(x)=0 的两根为 a-1 和 a+1, 显然,函数 f(x)在 x=a-1 处取得极大值,在 x=a+1 处取得极小值.因为方程 f(x)=0 有三个不等实根,

?1 (a ? 2)(a ? 1) 2 ? 0 ? f (a ? 1) ? 0 ? 3 ? 所以 ? ,即 ? , ? f (a ? 1) ? 0 ? 1 (a ? 2)(a ? 1) 2 ? 0 ?3 ?
解得-2<a<2 且 a≠±1. 故 a 的取值范围是(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2). 7.设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间 [0,7] 只有 f(1)=f(3)=0. 上, (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 009, 2 009]上的根的 个数,并证明你的结论. 【解析】(1)由已知得 f(0)≠0,故 f(x)不是奇函数, 又 f(-1)=f(5)≠0,故 y 轴不是函数 y=f(x)的对称轴,即 f(x)不是偶函数. 综上知,函数 y=f(x)既不是奇 函数又不是偶函数.

? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) (2) ? ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x) ? f ( x) ? f ( x ? 10), 从而知函数y ? f ( x)的周期为T ? 10.
又 f(3)=f(1)=0, ∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0. 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有 2 个根,从而可知函数 y=f(x)在[0,2 000]上有 400 个根,在[2 000,2 009]上有 2 个根,在[-2 000,0]上有 400 个根,在[-2 009,-2 000]上有 2 个根. 所以函数 y=f(x)在[-2 009,2 009]上有 804 个根.


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