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【创新方案 一轮回扣】2015高考数(理)复习配套试题:函数的单调性与最值(知识回扣 热点突破 能力提升)


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第二节 函数的单调性与最值

【考纲下载】 1. 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2. 会利用函数的图象理解和研究函数的性质.

1.增函数与减函数的定义 增函数 减函数

在函数 y=f(x)的定义域内的一个区间 A 上,如果对于任意两个数 x1,x2∈A 定 义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就称 函数 y=f(x)在区间 A 上是减少的,有 时也称函数 y=f(x)在区间 A 上是递减 在区间 A 上是递增的 的 图 像 描 述 自左向右看图像是 逐渐上升的 自左向右看图像是 逐渐下降的

当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就称函数 y= f(x)在区间 A 上是增加的,有时也称函数 y=f(x)

2.单调区间、单调性及单调函数 (1)单调区间:如果 y=f(x)在区间 A 上是增加的或是减少的,那么称 A 为单调区间,在单调区间上, 如果函数是增加的,那么它的图像是上升的;如果函数是减少的,那么它的图像是下降的. (2)单调性: 如果函数 y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的, 那么就称函数 y=f(x)在这个 子集上具有单调性. (3)单调函数:如果函数 y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,那么分别称这个函数为增函数或 减函数,统称为单调函数. 3.函数的最值 (1)最大值点:
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函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点 x0 指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过 f(x0). (2)最值: 函数的最大值和最小值统称为最值.

1.如果一个函数在定义域内的几个区间上都是增(减)函数,能不能说这个函数在定义域上是增(减)函 数? 1 1 提示:不能.如函数 y= 在(0,+∞)及(-∞,0)上都是减函数,但函数 y= 在定义域上不是单调函 x x 数. 2.当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间(减区间)连接起来? 1 提示: 不能直接用“∪”将它们连接起来. 如函数 y= 的单调递减区间有两个: (-∞, 0)和(0, +∞). 不 x 能写成(-∞,0)∪(0,+∞).

1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( A.y=3-x C.y=-x2+4 1 B.y= x D.y=|x|

)

1 解析:选 D 函数 y=3-x,y= ,y=-x2+4 在(0,1)上都是减函数,y=|x|在(0,1)上是增函数. x 2.(教材习题改编)如果二次函数 f(x)=3x2+2(a-1)x+b 在区间(-∞,1)上是减函数,则( A.a=-2 C.a≤-2 解析: 选 C B.a=2 D.a≥2 函数 f(x) = 3x2 + 2(a - 1)x + b 的对称轴为 x = 1-a ,即函数 f(x) 的单调递减区间为 3 )

?-∞,1-a?.所以1-a≥1,即 a≤-2. 3 3 ? ? ?1?? 3.若函数 f(x)满足“对任意 x1,x2∈R,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”,则满足 f? ??x??<f(1)的实数
x 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) ) B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析:选 C 由题意知,函数 f(x)为 R 上的减函数,

?1?? ?1? 且 f? ??x??<f(1),∴? x?>1,即|x|<1 且|x|≠0.∴x∈(-1,0)∪(0,1).
4.若函数 y=(2k+1)x+b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围是________.
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1 解析:因为函数 y=(2k+1)x+b 在 R 上是减函数,所以 2k+1<0,即 k<- . 2 1? 答案:? ?-∞,-2? 2 5.(教材习题改编)函数 f(x)= ,x∈[2,6].下列命题: x-1 2 ①函数 f(x)为减函数;②函数 f(x)为增函数;③函数 f(x)的最大值为 2;④函数 f(x)的最小值为 . 5 其中真命题的是________(写出所有真命题的编号). 2 2 解析:易知函数 f(x)= 在 x∈[2,6]上为减函数,故 f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)= . 5 x-1 答案:①③④

考点一

函数单调性的判断与证明

[例 1] 已知函数 f(x)= x2+1-ax,其中 a>0. (1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数. [自主解答] (1)由 2f(1)=f(-1),可得 2 2-2a= (2)证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2, f(x1)-f(x2)= = = x2 1+1-
2 x1 -x2 2 2 x1 +1+

2+a,所以 a=

2 . 3

x2 1+1-ax1-

x2 2+1+ax2

x2 2+1-a(x1-x2) x2 2+1 -a(x1-x2)

=(x1-x2)? ∵0≤x1<

x1+x2 ? -a? ?. 2 2 x + 1 + x + 1 ? 1 ? 2 x2 1+1,0<x2< x2 2+1,∴0< x1+x2 <1. 2 x1+1+ x2 2+1

又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数.

【方法规律】 利用定义证明函数单调性的步骤 取值 ― → 作差 ― → 变形 ― → 确定符号 ― → 得出结论

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ax 试讨论函数 f(x)= 2 ,x∈(-1,1)的单调性(其中 a≠0). x -1 解:设-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)= a?x2-x1??x1x2+1? ax1 ax2 - 2 = . 2 x2 - 1 x - 1 ?x2 1 2 1-1??x2-1?

2 ∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x2 1-1<0,x2-1<0,-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.



?x2-x1??x2x1+1? >0.因此,当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0, 2 ?x1 -1??x2 2-1?

∴f(x1)>f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.

考点二

求函数的单调区间

[例 2] 求下列函数的单调区间: 1 (1)y=-x2+2|x|+1;(2)y=log (x2-3x+2). 2

[自主解答]

2 2 ? ? ?-x +2x+1?x≥0?, ?-?x-1? +2?x≥0?, ? ? (1)由于 y= 即 y= 2 2 ?-x -2x+1?x<0?, ?-?x+1? +2?x<0?. ? ?

画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).

1 (2)令 u=x2-3x+2,则原函数可以看作 y=log u 与 u=x2-3x+2 的复合函数. 2 令 u=x2-3x+2>0,则 x<1 或 x>2. 1 ∴函数 y=log (x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞). 2 3 又 u=x2-3x+2 的对称轴 x= ,且开口向上. 2 ∴u=x2-3x+2 在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数. 1 1 而 y=log u 在(0,+∞)上是单调减函数,∴y=log (x2-3x+2)的单调减区间为(2,+∞), 2 2 单调增区间为(-∞,1). 【互动探究】 若将本例(1)中的函数变为“y=|-x2+2x+1|”,则结论如何?

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解:函数 y=|-x2+2x+1|的图象如图所示.由图象可知,函数 y=|-x2+2x+1|的单调递增区间为(1 - 2,1)和(1+ 2,+∞);单调递减区间为(-∞,1- 2)和(1,1+ 2).

【方法规律】 函数单调区间的求法 (1)函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对 于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等. (2)如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据 “同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间.

求函数 y= x2+x-6的单调区间. 解:令 u=x2+x-6,y= x2+x-6可以看作 y= u与 u=x2+x-6 的复合函数. 由 u=x2+x-6≥0,得 x≤-3 或 x≥2. ∵u=x2+x-6 在(-∞, -3]上是减函数, 在[2, +∞)上是增函数, 而 y= u在(0, +∞)上是增函数. ∴ y= x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).

高频考点

考点三

函数单调性的应用

1.高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现,有时也应用于解答题中的某一问中. 2.高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度: (1)利用函数的单调性比较大小; (2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题; (3)利用函数的单调性求参数; (4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题. [例 3] (1)(2014· 济宁模拟)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称, 当 x2>x1>1 时, [f(x2) 1? -f(x1)]· (x2-x1)<0 恒成立,设 a=f? ?-2?,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( A.c>a>b C.a>c>b
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)

B.c>b>a D.b>a>c
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(2)(2013· 天津高考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数 a 满 1 足 f(log2a)+f(log a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( 2 A.[1,2] 1 ? C.? ?2,2? 1? B.? ?0,2? D.(0,2] )

? ??3a-1?x+4a,x<1, f?x1?-f?x2? (3)已知函数 f(x)=? 满足对任意的实数 x1≠x2 都有 <0 成立,则实数 a x1-x2 ?logax,x≥1 ?

的取值范围为( A.(0,1) 1 1? C.? ?7,3?

) 1? B.? ?0,3? 1 ? D.? ?7,1?

1 1 (4)函数 f(x)= 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 ,则 a+b=________. 3 x-1 [自主解答] (1)根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且在(1,+∞)上是减函数. 1? ?5? a=f? ?-2?=f?2?,所以 b>a>c. 1 (2)由已知条件得 f(-x)=f(x),则 f(log2a)+f(log a)≤2f(1)?f(log2a)+f(-log2a)≤2f(1)?f(log2a)≤f(1), 2 1 又 f(log2a)=f(|log2a|)且 f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以|log2a|≤1?-1≤log2a≤1,解得 ≤a≤2. 2 3a-1<0, ? ? (3)据题意要使原函数在定义域 R 上为减函数,只需满足?0<a<1, ? ??3a-1?×1+4a≥loga1, 1 1 解得 ≤a< . 7 3 (4)易知 f(x)在[a,b]上为减函数,

?a-1=1, ?f?a?=1, ? ∴? 即? 1 1 1 ?f?b?=3, ? = , ?b-1
3 [答案] (1)D (2)C (3)C (4)6

1

? ?a=2, ∴? ∴a+b=6. ?b=4. ?

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小. 比较函数值的大小, 应将自变量转化到同一个单调区间内, 然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化 为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与
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已知单调区间比较求参数;②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也 是单调的. (4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值.

1? 1.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ?x?>f(1)的实数 x 的取值范围是( A.(-∞,1) C.(-∞,0)∪(0,1) B.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

)

x-1 1 解析:选 D 依题意得 <1,即 >0,所以 x 的取值范围是 x>1 或 x<0. x x 2.已知减函数 f(x)的定义域是实数集 R,m、n 都是实数.如果不等式 f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立, 那么下列不等式成立的是( A.m-n<0 C.m+n<0 ) B.m-n>0 D.m+n>0

解析:选 A 设 F(x)=f(x)-f(-x),由于 f(x)是 R 上的减函数, ∴f(-x)是 R 上的增函数,-f(-x)是 R 上的减函数,∴F(x)为 R 上的减函数, ∴当 m<n 时,有 F(m)>F(n),即 f(m)-f(-m)>f(n)-f(-n)成立, 因此当 f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立时,不等式 m-n<0 一定成立,故选 A. x 3.已知 f(x)= (x≠a),若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,则 a 的取值范围为________. x-a 解析:任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

∵a>0,x2-x1>0,∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立. ∴a≤1.综上所述,a 的取值范围是(0,1]. 答案:(0,1]

———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— ?1 个防范——函数单调区间的表示 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用符号 “∪”联结,也不能用“或”联结. ?2 种形式——单调函数的两种等价变形 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? (1) >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 x1-x2 (2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数. ?2 条结论——函数最值的有关结论
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(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值). ?4 种方法——函数单调性的判断方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数. (3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图象法:利用图象研究函数的单调性.

方法博览(二) 六招破解函数的最值问题 1.配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法,如函数 F(x)=af2(x)+bf(x)+c(a≠0)的最值问题,可以考虑用配 方法. [典例 1] 已知函数 y=(ex-a)2+(e x-a)2(a∈R,a≠0),求函数 y 的最小值.


[解题指导] 将函数整理成关于 ex+e x 的一元二次函数,然后利用配方法求解.


[解] y=(ex-a)2+(e x-a)2=(ex+e x)2-2a(ex+e x)+2a2-2.
- - -

令 t=ex+e x,则 t≥2,f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2.


因为抛物线 y=f(t)的对称轴为 t=a,所以当 a≤2 且 a≠0 时,ymin=f(2)=2(a-1)2; 当 a>2 时,ymin=f(a)=a2-2. [点评] 利用二次函数的性质求最值,要特别注意自变量的取值范围,同时还要注意对称轴与区间的 相对位置关系.如本题化为含参数的二次函数后,求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系,然 后再根据不同情况分类解决. 2.单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性,然后根据单调性求函数的最值. x2+2x+a [典例 2] 已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. [解题指导] (1)先判断 f(x)在[1,+∞)上的单调性,然后求最值;(2)f(x)>0 恒成立?f(x)min>0. 1 1 7 [解] (1)当 a= 时,f(x)=x+ +2,在[1,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)= . 2 2x 2 a (2)f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞). x ①当 a≤0 时,f(x)在[1,+∞)内为增函数.最小值为 f(1)=a+3.
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要使 f(x)>0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,只需 a+3>0,即 a>-3,所以-3<a≤0. ②当 0<a≤1 时,f(x)在[1,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)=a+3.所以 a+3>0,a>-3.所以 0<a≤1. ③当 a>1 时,f(x)在[1, a ]上为减函数,在( a,+∞)上为增函数,所以 f(x)在[1,+∞)上的最小值 是 f( a)=2 a+2,2 a+2>0,显然成立. 综上所述,f(x)在[1,+∞)上恒大于零时,a 的取值范围是(-3,+∞). [点评] 不等式 m>f(x)恒成立?m>f(x)max,m<f(x)恒成立?m<f(x)min. 3.数形结合法 数形结合法是指利用函数所表示的几何意义,借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方 法.
?a,a≥b, ? [典例 3] 对 a,b∈R,记 max|a,b|=? 函数 f(x)=max||x+1|,|x-2||(x∈R)的最小值是 ? ?b,a<b,

________. [解题指导] 依据新定义,将 f(x)化简为分段函数,画出图象求解. 1 [解析] 由|x+1|≥|x-2|,得(x+1)2≥(x-2)2,解得 x≥ .所以 f(x)= 2 示.

?|x+1|,x≥2, ? 1 ?|x-2|,x<2,

1

其图象如图所

1? ?1 ? 3 1 由图形,易知当 x= 时,函数有最小值,所以 f(x)min=f? ?2?=?2+1?=2. 2 [答案] 3 2

[点评] 用数形结合的方法求解函数最值问题,其关键是发现条件中所隐含的几何意义,利用这个几 何意义,就可以画出图形,从而借助图形直观地解决问题.如将本题化为分段函数的最值问题后,可以用 分段求解函数最值的方法去解. 4.换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量,来替换原来的某些变量(或代数式),以便使问题得以解决 的一种数学方法.在学习中,常常使用的换元法有两类,即代数换元和三角换元,我们可以根据具体问题 及题目形式,灵活选择换元的方法,以便将复杂函数的最值问题转化为简单函数的最值问题.如可用三角 换元解决形如 a2+b2=1 及部分根式函数形式的最值问题. [典例 4] 设 a,b∈R,a2+2b2=6,则 a+b 的最小值是________. [解题指导] a2+2b2=6 可变形为? a ?2 ? b ?2 + =1,故可考虑利用三角换元求解. ? 6? ? 3?

[解析] 因为 a,b∈R,a2+2b2=6,所以令 a= 6cos α, 2b= 6sin α,α∈R,
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则 a+b= 6cos α+ 3sin α=3sin(α+φ),所以 a+b 的最小值是-3. [答案] -3 [点评] 在用换元法时,需特别注意换元后新元的取值范围,如本题换元后中间变量 α∈R,这是由条 件 a,b∈R 确定的. 5.基本不等式法(见第六章第三节基本不等式) 6.导数法(见本章第十一节)

[全盘巩固] 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) 1?x C.y=? ?2? B.y=- x+1 1 D.y=x+ x )

解析:选 A 选项 A 的函数 y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数. 2.函数 y=|x|(1-x)在区间 A 上是增函数,那么区间 A 是 A.(-∞,0) C.[0,+∞) 解析:选 B y=|x|(1-x)
2

(

)

1? B.? ?0,2? 1 ? D.? ?2,+∞?

?x?1-x??x≥0?, ?-x +x?x≥0?, ? ? =? =? 2 ?-x?1-x??x<0? ? ? ?x -x?x<0?

? ?-? ?x-2? +4?x≥0?, =? 1? 1 ?? ?x-2? -4?x<0?.
2 2

1

1

画出函数的草图,如图.

1? 由图易知原函数在? ?0,2?上单调递增.

?-x -ax-5,x≤1, ? 3.已知函数 f(x)=?a 在 R 上为增函数,则 a 的取值范围是( ?x,x>1 ?
A.[-3,0) C.(-∞,-2] B.[-3,-2] D.(-∞,0)

2

)

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a

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解析:选 B

? ?-2≥1, 要使函数在 R 上是增函数,则有?a<0, ?-1-a-5≤a, ?

解得-3≤a≤-2,即 a 的取值范

围是[-3,-2]. 4.(2014· 西安模拟)定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2,则函数 f(x)=(1⊕x)x -(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( A.-1 C.6 B.1 D.12 )

解析:选 C 由已知得当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2,当 1<x≤2 时,f(x)=x3-2. ∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2 在定义域内都为增函数.∴f(x)的最大值为 f(2)=23-2=6. 1 5.已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则 ( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 )

1 解析:选 B ∵函数 f(x)=log2x+ 在(1,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,∴当 x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2) 1-x =0,当 x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0,即 f(x1)<0,f(x2)>0. 1? 6.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0 且 a≠1)在区间? ?0,2?内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区间为( 1? A.? ?-∞,-4? C.(0,+∞) 1 ? B.? ?-4,+∞? 1? D.? ?-∞,-2? )

1? 1 解析: 选 D 令 g(x)=2x2+x>0, 得 x>0 或 x<- , 所以函数 f(x)的定义域为? +∞). 易 ?-∞,-2?∪(0, 2 1? ? 1? 知函数 g(x)在? ?0,2?上单调递增,所以在?0,2?上,0<g(x)<1.又因为 f(x)>0 恒成立,所以 0<a<1,故函数 y 1? =logax 在其定义域上为减函数.而 g(x)=2x2+x 在? ?-∞,-2?上是单调递减的,所以 f(x)的单调递增区间 1? 为? ?-∞,-2?. 2x+k 7.使函数 y= 与 y=log3(x-2)在(3,+∞)上具有相同的单调性,实数 k 的取值范围是________. x-2 2x+k 2?x-2?+4+k 解析:由于 y=log3(x-2)的定义域为(2,+∞),且为增函数.故若使函数 y= = = x-2 x-2 4+k 2+ 在(3,+∞)上是增函数,则有 4+k<0,得 k<-4. x-2 答案:(-∞,-4)

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? ?a,a≤b, 8.(2014· 青岛模拟)对于任意实数 a,b,定义 min{a,b}=? ?b,a>b. ?

9.设函数 f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________.
?log2x,0<x≤2, ? 解析:依题意,h(x)=? 当 0<x≤2 时,h(x)=log2x 是增函数;当 x>2 时,h(x)=3 ?-x+3,x>2. ?

-x 是减函数,则 h(x)在 x=2 时,取得最大值 h(2)=1. 答案:1 9.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.例如:函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数. 给出下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中真命题是________(写出所有真命题的序号). 解析:根据单函数的定义,函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的,故命题②④是真命 题,①是假命题;根据一个命题与其逆否命题等价可知,命题③是真命题. 答案:②③④ ax+1 10.函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是递增的,求实数 a 的取值范围. x+2 ax+1 a?x+2?+1-2a 1-2a 解:f(x)= = = +a.任取 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1<x2, x+2 x+2 x+2 则 f(x1)-f(x2)= 1-2a 1-2a ?1-2a??x2-x1? ax+1 - = .∵函数 f(x)= 在区间(-2, +∞)上是递增的, ∴f(x1) x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2? x+2

1 1 ? -f(x2)<0.∵x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,∴1-2a<0,a> ,即实数 a 的取值范围是? ?2,+∞?. 2 1 1 11.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0). a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 ? 1 ,2 上的值域是? ,2?,求 a 的值. (2)若 f(x)在? 2 ? ? ?2 ? 解:(1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0, 1 1 ? ?1 1 ? 1 1 x2-x1 ∵f(x2)-f(x1)=? ?a-x2?-?a-x1?=x1-x2= x1x2 >0, ∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. 1 ? ?1 ? ?1 ? (2)∵f(x)在? ?2,2?上的值域是?2,2?,又 f(x)在?2,2?上单调递增,

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1? 1 2 ∴f? ?2?=2,f(2)=2.∴a=5. x1? 12.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f? ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0.
2

(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解:(1)令 x1=x2>0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x2)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1, x2 x1? 由于当 x>1 时,f(x)<0,所以 f? ?x ?<0,即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2).
2

所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. x1? ?9?=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. (3)由 f? = f ( x ) - f ( x ) 得 f 1 2 ?x ? ?3?
2

由于函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数,所以当 x>0 时,由 f(|x|)<-2 得 f(x)<f(9), 因此 x>9;当 x<0 时,由 f(|x|)<-2 得 f(-x)<f(9), 因此-x>9,即 x<-9.故不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}. [冲击名校]
? ?f?x?,f?x?≤k, 1.设函数 y=f(x)在 R 上有定义,对于给定的正数 k,定义函数 fk(x)=? 若函数 f(x)= ?k,f?x?>k. ? ?2 x,x≥0, ? 1 ? x 则函数 f (x)的单调递减区间为( 2 ?2 ,x<0, ?


)

A.(-∞,-1] C.[0,+∞)

B.(-∞,0] D.[1,+∞)

解析:选 D

?f?x?,f?x?≤2, 1 f (x)=? 2 1 1 ?2,f?x?>2

1

f?x?,x∈?-∞,-1]∪[1,+∞?, ? ? =?1 ? ?2,x∈?-1,1?,

1 如图所示,函数 f (x)在区间[1,+∞)上单调递减. 2

?e x-2,x≤0, ? 2.已知函数 f(x)=? (a 是常数且 a>0).对于下列命题: ?2ax-1,x>0 ?


1 ? ①函数 f(x)的最小值是-1;②函数 f(x)在 R 上是单调函数;③若 f(x)>0 在? ?2,+∞?上恒成立,则 a
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x1+x2? f?x1?+f?x2? . 2 ? 2 ?<

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的取值范围是 a>1;④对任意的 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 f? 其中正确命题的序号是________.

解析:根据题意可画出草图,由图象可知,①显然正确;函数 f(x)在 R 上不是单调函数,故②错误; 1 1 ? 若 f(x)>0 在? a>1, 故③正确; 由图象可知在(-∞, 0)上对任意的 x1<0, ?2,+∞?上恒成立,则 2a×2-1>0, x2<0 且 x1≠x2,恒有 f? x1+x2? f?x1?+f?x2? 成立,故④正确. 2 ? 2 ?<

答案:①③④ [高频滚动]
?x-1,x<0, ? 1.已知函数 f(x)=? 则 f(2 014)=( ?f?x-1?+1,x≥0, ?

)

A.2 011

B.2 012

C.2 013

D.2 014

解析:选 C 由已知得 f(0)=f(0-1)+1=f(-1)+1=-1-1+1=-1, f(1)=f(0)+1=0, f(2)=f(1)+1=1, f(3)=f(2)+1=2, ? f(2 014)=f(2 013)+1=2 012+1=2 013.
?ax+y?xy>0?, ? 2.对于实数 x,y,定义运算 x*y=? 已知 1]2)的序号是________(填写所有正确结果的 ?x+by?xy<0?, ?

序号). ① 2* 2;②- 2* 2;③-3 2*2 2;④3 2*(-2 2).
? ?2x+y?xy>0?, 解析:∵1]∴x*y=? ∴① 2* 2=2 2+ 2=3 2; ?x+3y?xy<0?, ?

②- 2* 2=- 2+3 2=2 2;③-3 2*2 2=-3 2+3×2 2=3 2; ④3 2*(-2 2)=3 2+3×(-2 2)=-3 2. 答案:①③

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