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高中数学


习题精选精讲圆标准方程 已知圆心 C (a, b) 和半径 r , 即得圆的标准方程 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ; 已知圆的标准方程 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , 即得圆心 C (a, b) 和半径 r ,进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程 例 1 以点 (2,?1) 为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( ) (A) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 3 (C) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 二、位置关系问题 例 2 直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是( (A) (0, 2 ? 1) (C) (? 2 ? 1, 2 ? 1) 三、切线问题 例 3 (06 重庆卷理) 过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?
2 2

(B) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 3 (D) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9

)

(B) ( 2 ? 1, 2 ? 1) (D) (0, 2 ? 1)

5 ? 0 相切的直线方程为( 2

)

1 x 3 1 (C) y ? ?3x 或 y ? ? x 3
(A) y ? ?3x 或 y ? 四、弦长问题

(B) y ? 3x 或 y ? ?

1 x 3 1 (D) y ? 3x 或 y ? x 3

例 4 设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a ? 五、夹角问题 例 5 从圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P(3,2) 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( (A) )

.

1 2

(B)

3 5

(C)

3 2

(D) 0

六、圆心角问题
2 2 例 6 过点 (1, 2 ) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) ? y ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k ?

.

七、最值问题 例 7 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是( (A) 30 (B) 18 (C) 6 2 (D) 5 2 )

八、综合问题 例 8 若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角 的取值范围是( )
2 2

(A) [

, ] 12 4

? ?

(B) [

? 5?
,

12 12

]

(C) [

? ?

, ] 6 3

(D) [0,

?

2

]

1

圆的方程 1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式,要注意各种形式的圆方程的适用范围. (1) 圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中(a,b)是圆心坐标,r 是圆的半径; (2) 圆 的 一 般 方 程 : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 - 4F > 0) , 圆 心 坐 标 为 ( ?

D E ,? ) , 半 径 为 r = 2 2

D 2 ? E 2 ? 4F 2
2. 直线与圆的位置关系的判定方法. (1) 法一:直线:Ax+By+C=0;圆:x2+y2+Dx+Ey+F=0.

?? ? 0 ? 相 交 ? Ax ? By ? C ? 0 ? 判别式 消 元 一元二次方程 ?????? ? 0 ? 相 切 ? 2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ?? ? 0 ? 相 离 ?
(2) 法 二 : 直 线 : Ax + By + C = 0 ; 圆 : (x - a)2 + (y - b)2 = r2 , 圆 心 (a , b) 到 直 线 的 距 离 为 d =

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

?d ? r ? 相 交 ? ? ?d ? r ? 相 切. ?d ? r ? 相 离 ?

3. 两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为 O1、 O2,半径分别为 r1、 r2, |O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O1O2|>r1+r2 ? 两圆外离; |O1O2|=r1+r2 ? 两圆外切; |r1-r2|<|O1O2|<r1+r2 ? 两圆相交; |O1O2|=|r1-r2| ? 两圆内切; 0<|O1O2|<|r1-r2| ? 两圆内含. ●点击双基 1.方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)表示圆方程,则 t 的取值范围是 A.-1<t<

1 7

B.-1<t<

1 1 C.- <t<1 2 7

D.1<t<2

2.点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则 a 的取值范围是 A.|a|<1 B.a<

1 1 C.|a|< 13 5

D.|a|<

1 13

3.已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) ,下列结论错误的是 A.当 a2+b2=r2 时,圆必过原点 B.当 a=r 时,圆与 y 轴相切 C.当 b=r 时,圆与 x 轴相切 D.当 b<r 时,圆与 x 轴相交

●典例剖析 【例 2】 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆的方程.

2

夯实基础 1.方程 x2+ y2+ Dx+ Ey+F= 0( D2+ E2- 4F> 0)表示的曲线关于 x+y=0 成轴对称图形,则 A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 2.(2004 年全国Ⅱ,8)在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 3.(2005 年黄冈市调研题)圆 x2+y2+x-6y+3=0 上两点 P、Q 关于直线 kx-y+4=0 对称,则 k=____________. 4.(2004 年全国卷Ⅲ,16)设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点,则点 P 到直线 3x-4y-10=0 的 距离的最小值为____________. 5.(2005 年启东市调研题)设 O 为坐标原点,曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上有两点 P、Q,满足关于直线 x+my+4=0 对称, 又满足 OP · OQ =0.(1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程.

培养能力 7.已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求 (1)

y 的最大值和最小值; (2)y-x 的最小值; (3)x2+y2 的最大值和最小值. x

8.(文)求过两点 A(1,4) 、B(3,2) ,且圆心在直线 y=0 上的圆的标准方程.并判断点 M1(2,3) ,M2(2,4)与圆 的位置关系.

“求经过两圆 x ? y ? 6 x ? 4 ? 0 和 x ? y ? 6 y ? 28 ? 0 的交点,并且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程。 ”同学们 普遍使用下面两种方法求解:
2 2 2 2

方法—:先求出两已知圆交点 A1 ?? 1,3?, A2 ?? 6,?2?,再设圆心坐标为 B(b ? 4, b) ,根据 A 1B ? A2 B ? r ,可求出圆心 方法二:先求出两已知圆交点 A1 ?? 1,3?, A2 ?? 6,?2? ,再设所求圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 其圆心为
2 2

坐标及半径 r,于是可得所求圆方程。

E , 代入 x ? y ? 4 ? 0 , 再将 A1,A2 两点坐标代入所设圆的方程, 可得三个关于 D,E,F 的三元一次方程组, 求出 D,E,F ?? D 2 ,? 2 ?

的值,这样便可得所求圆的方程。 但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解,可以更加方便。
3

经过两已知圆的交点的圆系 设圆 C1 与 C2 的方程为: C1: x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 C2: x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 . 并且两圆相交于两点。引进一个参数 ? ,并令: 引进两个参数 ?1 和 ?2 ,并令:

x2 ? y 2 ? D1x ? E1 y ? F1 + ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 )=0 ——①

其中 ? ? -1。

不论参数取何值,方程①与②中的 x2 项和 y2 项的系数相等,方程没有 xy 项,而且两已知圆的两个交点的坐标适合方 程①与②,所以①与②都是经过两已知圆的交点的圆系,但是①与②稍有不同: ⑴ 当 ? =0 时,方程①的曲线就是圆 C1;不论 ? 为何值,方程①的曲线都不会是圆 C2。所以方程①表示经过两已知圆的 交点的一切圆,包括圆 C1 在内,但不包括圆 C2。 ⑵ 当 ?1 =0 时,方程②的曲线就是圆 C2;当 ?2 =0 时,方程②的曲线就是圆 C1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆,包括圆 C1 和圆 C2 在内。 下面应用圆系来解本文前面的问题: 设经过已知两圆的交点的圆的方程为:

?1 ( x2 ? y 2 ? D1x ? E1 y ? F1 )+ ?2 ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 )=0 ——② 其中 ?1 + ?2 ? 0

x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? ? ( x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28) ? 0 . ( ? ? -1)则其圆心坐标为 (?
∵ 所求圆的圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上∴ ?

3 3? + -4=0, 解得 ? =-7 1? ? 1? ? ∴ 所求圆的方程为: x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 -7 ( x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28) ? 0 即: x 2 ? y 2 ? x ? 7 y ? 32 ? 0
下面再举两例说明圆系的应用

3 3? ,? ) 1? ? 1? ?

例1. 求经过两已知圆: x ? y ? 4 x ? 6 ? 0 和 x ? y ? 4 y ? 6 ? 0 的交点且圆心的横坐标为 3 的圆的方程。
2 2 2 2

例 2. 设圆方程为:

(? ? 4) x 2 ? (? ? 4) y 2 ? (2? ? 4) x ? (12? ? 40) y ? 48? ?1 6 4 ? 0 其中 ? ? -4 求证: 不论 ? 为何值,所给圆必经过两个定点。

4

直线与圆的位置关系 二、例题选析 例1:求由下列条件所决定圆 x 2 ? y 2 ? 4 的圆的切线方程; (1)经过点 P( 3,1) ,(2)经过点 Q(3,0) ,(3)斜率为 ? 1

例2:已知点 P( x0 , y0 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的外部,过 P 作圆的切线,切点为 M , 求证 PM ?
2 2 x0 ? y0 ? Dx 0 ? Ey 0 ? F 。

例3:从圆外一点 P (a, b) 向圆 x 2 ? y 2 ? r 2 引割线,交该圆于 A 、 B 两点,求弦 AB 的中点轨迹方程。

备选例题:
2 2 例4 :已知对于圆 x ? ( y ? 1) ? 1上任意一点 P( x, y) ,不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。
*

5

轴对称 例 1、已知点 A(4,1),B(0,4),在直线 L:y=3x-1 上找一点 P,求使|PA|-|PB|最大时 P 的坐标。

例 2、光线由点 C(3,3)出发射到直线 L:y=3x-1 上,已知其被直线 L 反射后经过点 A(4,1),求反射光线方程。

例 3、已知 Δ ABC 的顶点 A 的坐标为(1,4),∠B、∠C 的平分线的分别方程为 x ? 2 y ? 0 和 x ? y ? 1 ? 0 ,求 BC 所在的 直线方程。

直线和圆 1.自点(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射线所在直线与圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切, 求光线 L 所在直线方程.
2 2

2. 已知圆 C:x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 , 是否存在斜率为 1 的直线 L, 使以 L 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点,
2 2

6

3. (12 分)求过点 P(6,-4)且被圆 x 2 ? y 2 ? 20 截得长为 6 2 的弦所在的直线方程.

4. (12 分)已知圆 C: ?x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 25及直线 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 . ?m ? R? (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l 的方程.

5(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且以 PQ 为直径的圆恰过坐标原点,求实数 m 的值.

6.已知圆 C:(x+4) +y =4 和点 A(-2 3 ,0),圆 D 的圆心在 y 轴上移动,且恒与圆 C 外切,设圆 D 与 y 轴交于点 M、N. ∠MAN 是否为定值?若为定值,求出∠MAN 的弧度数;若不为定值,说明理由.
2 2

7

7. (14 分)已知圆 x2 ? y2 ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ (O 为坐标原点) ,求该圆 的圆心坐标及半径长.

8. (14 分)求圆心在直线 x ? y ? 0 上,且过两圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 10 y ? 24 ? 0 , x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 交点的圆的 方程.

9.(12 分) 已知一个圆截 y 轴所得的弦为 2,被 x 轴分成的两段弧长的比为 3∶1. (1)设圆心为(a,b) ,求实数 a,b 满足的关系式; (2)当圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小时,求圆的方程.

10

已知圆 C 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相外切,并且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3,? 3) ,求圆 C 的方程

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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8

11.(1997 全国文,25)已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1;③圆心到 直线 l:x-2y=0 的距离为

5 ,求该圆的方程. 5

12.(1997 全国理,25)设圆满足: (1)截 y 轴所得弦长为 2; (2)被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1.在满足 条件(1) 、 (2)的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程.

13.(2002 北京文,16)圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为



经过两已知圆的交点的圆系及应用 在高中数学第二册(上)第 82 页有这样一道题: “求经过两圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点,并 且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程。 ”同学们普遍使用下面两种方法求解: 圆心坐标及半径 r,于是可得所求圆方程。 方法—:先求出两已知圆交点 A1 ?? 1,3?, A2 ?? 6,?2?,再设圆心坐标为 B(b ? 4, b) ,根据 A 1B ? A2 B ? r ,可求出 方法二:先求出两已知圆交点 A1 ?? 1,3?, A2 ?? 6,?2?,再设所求圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,其圆心为
2 2

E x ? y ? 4 ? 0 ,再将 A1,A2 两点坐标代入所设圆的方程,可得三个关于 D,E,F 的三元一次方程组,求出 ?? D 2 ,? 2 ? ,代入

D,E,F 的值,这样便可得所求圆的方程。 但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解,可以更加方便。 弦长 【例题】 已知直线 l∶x+2y-2=0 与圆 C∶x2+y2=2 相交于 A、B 两点,求弦长 AB.

9

【例 1】 求下列各圆的圆心坐标和半径: (1)x2+y2-x=0; (2)x2+y2+2ax=0(a≠0) ; (3)x2+y2+2ay-1=0.

2. 求圆的标准方程 【例 2】 已知一个圆经过两点 A(2,-3)和 B(-2,-5) ,且圆心在直线 l:x-2y-3=0 上,求此圆的方程.

3. 求圆的一般方程 【例 3】 △ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-1,5) 、B(-2,-2) 、C(5,5) ,求其外接圆的方程.

已知两点 P1(4,9) 、P2(6,3) ,求以 P1P2 为直径的圆的方程.

在直线与圆的位置关系中,求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论: 过圆 x2+y2=r2 上一点 A(x0,y0)的切线方程为 xx0+yy0=r2,那么你知道在运用这个结论的时候要注意些什么吗? 【例题】 求过点 A(2,1)向圆 x2+y2=4 所引的切线方程.

10

例题】 求半径为 4,与圆 x2+y2-4x-2y-4=0 相切,且和直线 y=0 相切的圆的方程.

【例 1】 如果曲线 C:x2+(y+1)2=1 与直线 x+y+a=0 有公共点,那么实数 a 的取值范围是



【例 2】 直线 2x-y+1=0 与圆 O∶x2+y2+2x-6y-26=0 的位置关系是( A. 相切 B. 相交且过圆心 C. 相离 D. 相交不过圆心

).

11

求圆的切线方程的几种方法 在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题:求过已知圆上一点的切线方程,除了用斜率和 向量的方法之外还有几种方法,现将这些方法归纳整理,以供参考。 例:已知圆的方程是 x2 + y2 = r2,求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线的方程。 解法一:利用斜率求解
? kOM ? y0 ,? x0

如图 1 ,设切线

经过点M的切 x y ? y0 ? ? 0 ( y0

整理得x0 x ? y

因为点M在圆

所求的直线方

当点M在坐标

如图2,设切线上的任意一点 p的坐标? x, y ? ∵ OM ? P M , OM ? (x0 , y0 ), P M ? ( x0 ? x, y0 ? y ) ? OM ? P M ? 0 ? x0 ? (x0 ? x) ? y0 ? ( y0 ? y ) ? 0
2 2 整理得:x0 x ? y0 y ? x0 ? y0 . 2 2 因为点M在圆上,所以 x0 ? y0 ? r 2.

解法二: 利用向量 求解

所求的直线方程为: x0 x ? y0 y ? r 2 .

(这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在) 解法三:利用几何特征求解 图2

如图2,设直线上不同于 M ( x0 , y0 )的一点P ( x, y ) ∵ OM ? PM ? OM ? x0
2 2

? PM
2

2

? OP

2

? y0

? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? x 2 ? y 2

2 2 整理得: x0 x ? y0 y ? x0 ? y0 . 2 2 因为点M在圆上,所以 x0 ? y0 ? r 2.

所求的直线方程为: x0 x ? y0 y ? r 2 . 当P和M重合时上面方程同样适 用。
解法四:用待定系数法求解 1、 利用点到直线的距离求解

12

设所求直线方程的斜率 为 k , 则直线方程为: y ? y0 ? k ( x ? x0 ),即:kx ? y ? y0 ? kx0 ? 0   ⑴ 原点O(0 ,0)到切线的距离等于半径 y0 ? kx0 1? k 2 因为x0
2

? r    
2 2

化简整理得: ( r 2 ? x0 ) k 2 ? 2 x0 y0 k ? r 2 ? y0 ? y0
2

? 0   ⑵

?r

2 2 2

所以⑵式可化为: y0 k 2 ? 2 x0 y0 k ? x0 x 解得:k ? ? 0   代入⑴式 y0
2 2 整理得x0 x ? y0 y ? x0 ? y0 . 2 2 因为点M在圆上,所以 x0 ? y0 ? r 2.

?0

所求的直线方程为: x0 x ? y0 y ? r 2 . 当斜率不存在时上面方 程同样适用。

2、 利用直线与圆的位置关系求解:
设所求直线方程的斜率 为 k , 则直线方程为: y ? y0 ? k ( x ? x0 ),即:kx ? y ? y0 ? kx0 ? 0   ( 1 ) ?kx ? y ? y0 ? kx0 ? 0 由? 2   消去y得 2 2 ? x ? y ? r      (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k ( y0 ? kx0 ) x ? y0 ? k 2 x0 ? 2ky0 x0 ? r 2 ? 0 ? ? 4k 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 4(1 ? k 2 )( y0 ? k 2 x0 ? 2ky0 x0 ? r 2 ) ? 0 整理得: ( r 2 ? x0 ) k 2 ? 2 x0 y0 k ? r 2 ? y0 ? 0   ⑵ 因为x0 ? y0 ? r 2 所以⑵式可化为 y0 : k 2 ? 2 x0 y0 k ? x0 ? 0 解得: k ?? x0   代入⑴式 y0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 整理得 x0 x ? y0 y ? x0 ? y0 . 2 2 2 因为点 M在 圆 上 , 所x 以 0 ? y0 ? r .

所求的直线方程为 x0 x : ? y0 y ? r 2 . 当 斜 率 不 存 在 时 上程 面同 方样 适 用 。

这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法,若圆心不在原点,也可以用这些方法求解。 同样一道题,思路不同,方法不同,难易程度不同。显然在以上的几种解法中,用向量法和几何特征求解相 对来说简单一些。实际上在圆这一章,很多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法,同学们下 来可以尝试。

《圆的方程》的经典问题聚焦 1 直线和直线的位置关系问题

1 1 ? 的值等于 . a b 2(上海) 已知两条直线 l1 : ax ? 3 y ? 3 ? 0, l2 : 4x ? 6 y ?1 ? 0. 若 l1 // l2 ,则 a ? ____.
1(北京 )若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab ? 0)共线,则

1(江苏)圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 1 的切线方程中有一个是 (A)x-y=0 (B)x+y=0 (C)x=0 (D)y=0 2(湖南)若圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的
2 2

13

取值范围是

(

) A.[

? ?
12 4 ,

]

B.[

3(江西) 已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1,直线 l:y=kx,下面四个命题: A 对任意实数 k 与 ?,直线 l 和圆 M 相切;B 对任意实数 k 与 ?,直线 l 和圆 M 有公共点; C 对任意实数 ?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切 D 对任意实数 k,必存在实数 ?,使得直线 l 与和圆 M 相切其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代 号)

? 5? , ] 12 12

C.[

? ?

, ] 6 3

D. [0,

?
2

]

(四川) 已知两定点 A? ?2,0? , B ?1,0? , 如果动点 P 满足 PA ? 2 PB , 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于

3 圆的第二定义的应用

(A)

9?

(B) 8?

(C) 4?

(D) ?

4 直线和圆有关的信息迁移问题 1(上海) 如图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O ,对于平面上任意一点 M ,若 p, q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距离, 则称有序非负实数对 ? p, q ? 是点 M 的“距离坐标” ,根据上述定义, “距离坐标”是(1,2)的点的个数是____________. 2(重庆)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象 是

D

【实战演练】 1 (全国 2) 过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) ? y ? 4 分成两段弧, 当劣弧所对的圆心角最小时, 直线 l 的斜率 k ? ____ .
2 2

2(湖北 )已知直线 5 x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切,则 a 的值为
2 2

。 )

3(重庆) 以点(2,-1)为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( (A) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

(B) ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 3
2 2

(C) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

(D) ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 3
2 2 2 2

4 设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a ? ____________ 5.(陕西)设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( ) A.± 2 B.±2 B.±2 2 D.±4
14

6(湖南文)圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 A.36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2

直线和圆的方程 一、选择题(每题 3 分,共 54 分) 1
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在直角坐标系中,直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角是( )

2

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3

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4

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5 6 7 8

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? 5? 2? C. D. 6 3 3 2 2 若圆 C 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 关于原点对称,则圆 C 的方程是( ) 2 2 2 2 A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 2 2 2 2 C. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 D. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 直线 ax ? by ? c ? 0 同时要经过第一 第二 第四象限,则 a、b、c 应满足( ) A. ab ? 0, bc ? 0 B. ab ? 0, bc ? 0 C. ab ? 0, bc ? 0 D. ab ? 0, bc ? 0 1 ? 已知直线 l1 : y ? x ? 2 ,直线 l 2 过点 P(?2,1) ,且 l1 到 l 2 的夹角为 45 ,则直线 l 2 的方程是( ) 2 1 3 A. y ? x ? 1 B. y ? x ? C. y ? ?3x ? 7 D. y ? 3x ? 7 3 5 不等式 2 x ? y ? 6 ? 0 表示的平面区域在直线 2 x ? y ? 6 ? 0 的( )
A. B.
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? 6

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A.左上方
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B.右上方
2 2

C.左下方

D.左下方 ) D.相交但不过圆心 ) D.不存在

直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 x ? y ? 4 的位置关系是( A.相交且过圆心 B.相切 C.相离
2 2

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已知直线 ax ? by ? c ? 0(abc ? 0) 与圆 x ? y ? 1 相切,则三条边长分别为 a 、 b、 c 的三角形( A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 过两点 (?1,1)和(3,9) 的直线在 x 轴上的截距是( )

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9

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3 2 B. ? 2 3 点 (0,5) 到直线 y ? 2 x 的距离为(
A. ? A.

C. ) C.

2 5
3 2

D.2

5 2

B. 5

D.

5 2

10

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下列命题中,正确的是( ) A.点 (0,0) 在区域 x ? y ? 0 内 C.点 (1,0) 在区域 y ? 2 x 内 由点 P(1,3) 引圆 x ? y ? 9 的切线的长是 (
2 2

B.点 (0,0) 在区域 x ? y ? 1 ? 0 内 D.点 (0,1) 在区域 x ? y ? 1 ? 0 内 )

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A.2 B. 19 C.1 D.4 12 三直线 ax ? 2 y ? 8 ? 0,4 x ? 3 y ? 10,2 x ? y ? 10 相交于一点,则 a 的值是( )
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A. ? 2

B. ? 1

C.0

D.1
15

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已知直线 l1 : 3x ? y ? 0, l2 : kx ? y ? 1 ? 0 ,若 l1 到 l 2 的夹角为 60 ,则 k 的值是
?

A. 3或0 B. ? 3或0 C. 3 D. ? 3 14 如果直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0与直线x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于( )
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1 2 C. ? D. ? 2 3 3 15 若直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a 等于( ) 3 2 A. ? 3 B. ? 6 C. ? D. 3 2 2 2 16 由 y ? x 和圆x ? y ? 4 所围成的较小图形的面积是( )
A.1 B. ?
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A. 17
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3? 3? D. 4 2 2 2 动点在圆 x ? y ? 1 上移动时,它与定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是(
B. ? C.
2 2

? 4

)

A. ( x ? 3) ? y ? 4 C. (2 x ? 3) 2 ? 4 y 2 ? 1 18
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B. ( x ? 3) ? y ? 1
2 2

D. ( x ? ) ? y ?
2 2

x ? 3 ? 3 cos ? 表示的图形是( ) ? y ? ?3 ? 3 sin ? A.圆心为 (?3,3) ,半径为 9 的圆 B.圆心为 (?3,3) ,半径为 3 的圆 C.圆心为 (3,?3) ,半径为 9 的圆 D.圆心为 (3,?3) ,半径为 3 的圆
参数方程 ? ?

3 2

1 2

二、填空题(每题 3 分,共 15 分) 19 以点 (1,3)和(5,?1) 为端点的线段的中垂线的方程是
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20 21 22

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过点 (3,4)且与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行的直线的方程是 直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0在x、y 轴上的截距分别为

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23 三、解答题(第 24、25 两题每题 7 分,第 26 题 8 分,第 27 题 9 分,共 31 分) 24 若圆经过点 A(2,0), B(4,0), C (0,2) ,求这个圆的方程
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k 2 2 2 若方程 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? a ? 0 表示的曲线是一个圆,则 a 的取值范围是 (2, ? 3), (4,3)及(5, ) 在同一条直线上,则 k 的值等于 三点
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求到两个定点 A(?2,0), B(1,0) 的距离之比等于 2 的点的轨迹方程

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求点 A(3,?2) 关于直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 的对称点 A 的坐标
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已知圆 C 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相外切,并且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3,? 3) ,求圆 C 的方程

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