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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查63 二项式定理


开卷速查(六十三)

二项式定理

A 级 基础巩固练 1.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若 a1+a2+…+an=63,则展开 式中系数最大项是( A.15x2 C.21x3 ) B.20x3 D.35x3

解析:令 x=0,得 a0=1,再令 x=1,得 2n=64,∴n=6,故展
3 3

开式中系数最大项是 T4=C6 x =20x3.

答案:B 1 ? ? ? x+ ?n 2.已知二项式? 3 ? 的展开式中第 4 项为常数项,则 1+(1 x? ? -x)2+(1-x)3+…+(1-x)n 中 x2 项的系数为( A.-19 C.20 B.19 D.-20 )

1 ? ? ? 1 ? 5r ? x+ ?n ?r r n-r ? r n 解析:? ? 3 ? =Cnx2- 6 ,由 3 ? 的展开式 Tr+1=Cn( x) · x? ? ? x? n 5×3 2 题意知2- 6 =0,得 n=5,则所求式子中的 x2 项的系数为 C2 2+C3+
2 C2 4+C5=1+3+6+10=20.

答案:C 3. 设 a∈Z, 且 0≤a<13, 若 512 012+a 能被 13 整除, 则 a=( A.0 C.11 解析: 512
012

)

B.1 D.12 +a =a+ (1 -13×4)2
-1012 1 2 = a + 1 - C2 012 13×4 + C 2 012

012 2 (13×4)2+…+C2 2 012(13×4)

012

,又 512

012

+a 能被 13 整除,又∵0≤a

<13, ∴a+1=13,故 a=12. 答案:D a1 4.若(1-2x)2 014=a0+a1x+…+a2 013x2 013+a2 014x2 014(x∈R),则 2 a2 a2 013 a2 014 +22+…+22 013+22 014的值为( A.2 C.-1 ) B.0 D.-2

1 解析:令 x=0,则 a0=1,令 x=2, a1 a2 a2 013 a2 014 则 a0+ 2 +22+…+22 013+22 014=0, a1 a2 a2 013 a2 014 ∴ 2 +22+…+22 013+22 014=-1,故选 C. 答案:C 5.若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0 +a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数 m 的值为( A.1 或-3 C.1 B.-1 或 3 D.-3 )

解析:令 x=0,得到 a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,令 x=-2, 得到 a0-a1+a2-a3+…-a9=m9,所以有(2+m)9m9=39,即 m2+2m =3,解得 m=1 或-3,故选 A. 答案:A

-2-

1? ? 6.设 a=?2(3x2-2x)dx,则二项式?ax2-x?6 展开式中的第 4 项为
?1 ? ?

(

) A.-1 280x3 C.240 B.-1 280 D.-240
? ?

1? ? 解析:由微积分基本定理知 a=4,?4x2-x?6 展开式中的第 4 项为 1?3 2 3? 3 T3+1=C3 6(4x ) ?-x? =-1 280x ,故选 A.
? ?

答案:A 7 . [2014· 课标全国 Ⅰ](x - y)(x + y)8 的展开式中 x2y7 的系数为 __________.(用数字填写答案)
8-r r 解析:(x+y)8 中,Tr+1=Cr y ,令 r=7,再令 r=6,得 x2y7 的 8x

系数为 C7 8-C68=8-28=-20. 答案:-20 8.[2014· 课标全国Ⅱ](x+a)10 的展开式中,x7 的系数为 15,则 a =__________.(用数字填写答案) 解析: 二项展开式的通项公式为 Tr+1=Cr10x10-rar, 当 10-r=7 时, 1 3 7 3 3 r=3,T4=C3 10a x ,则 C10a =15,故 a= . 2 1 答案:2 9.若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+ a5(1+x)5,其中 a0,a1,a2,…,a5 为实数,则 a3=__________. 解析:不妨设 1+x=t,则 x=t-1,因此有(t-1)5=a0+a1t+a2t2
2 +a3t3+a4t4+a5t5,则 a3=C2 5(-1) =10.

-3-

答案:10 1? ?16 2 10. 已知(a2+1)n 展开式中的各项系数之和等于? 5 x + ?5 的展开 x? ? 式的常数项,而(a2+1)n 的展开式的系数最大的项等于 54,求正数 a 的 值. 1? ?16 2 ?16 2?5 r ? 1 ?r ?16?5 -· ? ? =? ? 解析:? 5 x + ?5 展开式的通项为 Tr+1=Cr 5? 5 x ? x? ? ? ? ? x? ? 5 ?
20-5r 2 -r r

C5x

16 4 ,令 20-5r=0,得 r=4,故常数项 T5=C5 × 5 =16.又(a2

+1)n 展开式的各项系数之和为 2n,由题意得 2n=16,∴n=4.
2 2 2 ∴(a2+1)4 展开式中系数最大的项是中间项 T3,从而 C4 (a ) =54,

解得 a= 3. B 级 能力提升练 11.[2014· 浙江]在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( A.45 C.120 B.60 D.210 )

3 0 2 1 2 解析:由题意知 f(3,0)=C6 C4,f(2,1)=C6 C4,f(1,2)=C1 6C4,f(0,3) 0 3 =C6 C4,因此 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120,选 C.

答案:C 1? ?? ?x- ?6,x<0, 12.设函数 f(x)=?? x? ?- x,x≥0, 的展开式中常数项为( A.-20
-4-

则当 x>0 时,f[f(x)]表达式

) B.20

C.-15

D.15

解析:当 x>0 时,f(x)=- x<0,则 f[f(x)]=?- x+
? ?

1 ?6 ? 1? ? =? x- ?6. x? ? x?
6-r 2 r r r - 2

1? 6-r ? ?- ?r=(-1) C6x Tr+1=Cr · 6( x) x? ?

· x

3-r =(-1)rCr .令 3- 6x

r=0,得 r=3,此时 T4=(-1)3C36=-20. 答案:A 1 ? ? ? x+ ?n 13.已知? 4 ? 的展开式中,前三项系数成等差数列. 2 x? ? (1)求 n; (2)求第三项的二项式系数及项的系数; (3)求含 x 项的系数. 1 1 2 解析:(1)∵前三项系数 1,2C1 n, Cn成等差数列. 4 1 1 1 2 2 ∴2· C n=1+ Cn,即 n -9n+8=0. 2 4 ∴n=8 或 n=1(舍). (2) 由 n = 8 知其通项公式
3 4- r 4

Tr + 1 =Cr ( 8·

x)

8-r

? 4 ? 1? r r ?1 1? r = ? ? ?· · C8· x ? ? 2 ? ? x? ?2

,r=0,1,…,8. ∴第三项的二项式系数为 C2 8=28.
?1? 第三项系数为?2?2· C2 8=7. ? ?

-5-

3 (3)令 4-4r=1,得 r=4,
?1? 35 ∴含 x 项的系数为?2?4· C4 8= 8. ? ?

14.若某一等差数列的首项为

-2n -2 C11 -A2n 5n 11-3n,公差为?

?5

2 3 2? ?m - x ?2x 5 ?

的展开式中的常数项,其中 m 是 7777-15 除以 19 的余数,则此数列 前多少项的和最大?并求出这个最大值. 解析:设该等差数列为{an},公差为 d,前 n 项和为 Sn.

?11-2n≤5n, 由已知得? ?2n-2≤11-3n,
又 n∈N*,∴n=2.
7 2 -2n-A2n- -2 ∴C11 5n 11 3n=C10-A5

2 =C3 10-A5=

10×9×8 -5×4 3×2

=100, ∴a1=100. ∵7777-15=(76+1)77-15
1 =7677+C77 · 7676+…+C76 76+1-15 77·

=76(7676+C1 7675+…+C76 77· 77)-14 =76M-14(M∈N*), ∴7777-15 除以 19 的余数是 5,即 m=5.

-6-

?5 2 ? ? 5 ?5 r? 2 3 2?r ? ? - ?- ∴? - 3 x2?m 的展开式的通项是 Tr+1=Cr x ? =(- 5· ?2x? ?2x 5 ? ? 5 ?
r-5r r r ?5?5-2r 3 1) C5?2? x (r=0,1,2,3,4,5), ? ? 5

5 令3r-5=0,得 r=3,代入上式,得 T4=-4,即 d=-4, 从而等差数列的通项公式是 an=100+(n-1)×(-4)=104-4n.

?104-4k≥0, 设其前 k 项之和最大,则? ?104-4?k+1?≤0,
解得 k=25 或 k=26, 故此数列的前 25 项之和与前 26 项之和相等 且最大, a1+a25 100+104-4×25 S25=S26= 2 ×25= ×25=1 300. 2

-7-


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