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1.3.1二项式定理(一)


1.3.1二项式定理(一)

展开下面式子 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b2

(a+b)3 =a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3

那么将(a+b)4 ,(a+b)5 . 各项是什么呢?



. .展开后,它们的

对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2= (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为:a2 , ab , b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数. 考虑b: 每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种,则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种,则b2前的系数为C22

(a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3

(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=?
问题
1).(a+b)4展开后各项形式分别是什么? a4 a3b a 2b 2 ab3 b4 2).各项前的系数代表着什么?

各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现 的次数

3).你能分析说明各项前的系数吗?

a4

a3b

a2b2

ab3

b4

每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种,则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种,则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种,则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种,则b4前的系数为C44 则 (a+b)4 =C40 a4 +C41 a3b +C42 a2b2 +C43 ab3 +C44 b4

二项展开式定理
1 n ?1 k n?k k ?a ? b ?n ? Cn0 a n ? Cn a b ? ? ? Cn a b n ?n ? N *? ? ? ? Cn b n

每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0 恰有1个取b的情况有Cn1种,则an-1b前的系数为Cn1 恰有2个取b的情况有Cn2 种,则an-2b2前的系数为Cn2 ...... 恰有k个取b的情况有Cnk 种,则an-kbk前的系数为Cnk ...... 恰有n个取b的情况有Cnn 种,则bn前的系数为Cnn

右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnk an-kbk:二项展开式的通项,记作Tk+1 Cnk : 二项式系数
注 ①二项展开式共有n+1项

②各项中a的指数从n起依次减小1,到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1,到n为此 如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2+ … +Cnk xk +…+ xn

1 ? ? 例1 求? 2 x ? ? 的展开式. x? ?

6

分析:先化简再运用公式 解
1 6 1 5 2 4 3 3 = 3 [(2x) ? C6 (2 x) ? C6 (2 x) ? C6 (2 x) x
1 1 ? ? 2x ?1 ? ? 6 ? ? ? 2 x ? 1 ?2 x ? ? ?? ? 3 x x? ? x ? ?
6 6

?C (2 x) ? C (2 x) ? C ]
4 6
3

2

60 12 1 =64 x ? 192 x ? 240 x ? 160 ? ? 2? 3 x x x
2

5 6

6 6

1? 练习 展开? ?1 ? ? ? x?
4

4

? 1? 1? 1 ? 2? 1 ? 3? 1 ? 4? 1 ? 解 : ?1 ? ? ? 1 ? C 4 ? ? ? C 4 ? ? ? C 4 ? ? ? C 4 ? ? ? x? ? x? ? x? ? x? ? x?

2

3

4

4 6 4 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? 4 x x x x

例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项 第4项的二项式系数 第4项的系数 注:1)注意对二项式定理的灵活应用 2)注意区别二项式系数与项的系数的概念 二项式系数:Cnr; 项的系数:二项式系数与数字系数的积 3)求二项式系数或项的系数的一种方法是 将二项式展开

例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数
1? ? ?2?求? x ? ? 的展开式中x 3的系数. x? ?
9

解 (1) (1+2x)7的展开式的第4项是

T3+1=C73?17-3?(2x)3
=35×23×x3

=280x3

例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项
1? ? ?2?求? x ? ? 的展开式中x 3的系数. x? ?
9

分析: 先求出x3是展开式的哪一项,再求它的系数
1? ? ?2?? x ? ? 的展开式的通项是 x? ? r 1? r r 9?r ? C9 x ? ? ? ? ?? 1? C9r x 9? 2 r ? x?
9

9-2r =3 r =3 x3系数是 (-1)3C93=-84

练习 求(x+a)12的展开式中的倒数第4项

解: (x+a)12的展开式有13项,倒数第4 项是它的第10项

T9?1 ? C x

9 12 ?9 9 12

a ? 220 x a .
3 9

练习

?x 3 ? 求? ? ? 的展开式常数项 x? ?3
r 9 1 9? r ? r 2

9

x 9?r 3 r r 1 9?r r 解: Tr ?1 ? C ( ) ( ) ? C9 ( ) 3 x 3 3 x

1 由9-r- r ? 0得r ? 6. 2 6 1 9?6 6 T7 ? C9 ( ) 3 ? 2268 3

练习

x 3 9 ) 的展开式的中间两项 求 ( ? 3 x
x 9? 4 3 4 3 T5 ? T4?1 ? C ( ) ( ) ? 42 x 3 x
4 9

解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。

x 9 ?5 3 5 T6 ? T5?1 ? C ( ) ( ) ? 42 x 3 x
5 9

3 2

小结

1)注意二项式定理中二项展开式的特征 2)区别二项式系数,项的系数 3)掌握用通项公式求二项式系数,项的系 数及项


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