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山西省忻州一中等2014届高三第一次四校联考数学(理)试题


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山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三 第一次四校联考理数试题

(满分 150 分,考试时间 120 分) 一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请 将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号

) 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x ? Z y ? x ? 3 B ? ?x x ? 5? ,则 A ? (CU B) ? A. ?3,5? 2.复数 z ? A. 2 B. ?3,5? C.

?

?

?4,5?

D.

?3, 4,5?

3?i 的虚部为 1? i
B.

?2

C. 2 i

D. ? 2i

x2 y2 6 ? ? 1 的离心率为 ,则该双曲线的渐近线方程为 3.若焦点在 x 轴上的双曲线 2 2 m
开始

A. y ? ?

2 x 2

B.

y ? ?2 x

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? 2 x

输入 x

4.按照如图的程序运行,已知输入 x 的值为 2+log23,则输出 y 的值为 A.

x≥4? 是

否 x=x+1

1 12

B.

1 8

C.

1 24

D.

3 8

5.已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1, 公比 q ? 2 ,则

1 y=( )x 2
输出 y

log2 a1 ? log2 a2 ? ?? log2 a11 ?
A.50 B.35 C.55 D.46

结束

6.已知 (1 ? 2 x) n 展开式中,奇数项的二项式系数之和为 64,则 (1 ? 2x) n (1 ? x) 展开式中含

x 2 项的系数为
A. 71 B. 70 C.21 D. 49
2 3 主视图

3 3 2 2

侧视图

7.如图是一几何体的三视图,则该几何体的体积是 A.9 B.10 C.12 D. 18
俯视图 4

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? y?x ? 8.设 m ? 1 ,当实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 2 x 时,目标函数 z ? x ? my 的最大值等于 2, ?x ? y ? 1 ?
则 m 的值是 A. 2 B.3 C.

3 2

D.

5 2

9.已知函数 f ( x) ? ?

? x, x ? [?1,0) 1 , 若方程 f ( x) ? kx ? k ? 0 有两个实数根,则 ? 1, x ? [0,1) ? ? f ( x ? 1) ? ?

k 的取值范围是

1? ? A. ? ?1, ? ? 2? ?

? 1 ? B. ? ? , 0 ? ? 2 ?

C. ? ?1, ???

? 1 ? D. ? ? , ?? ? ? 2 ?

10.已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, SC 为球 O 的直径,且 SC ? OA ,
SC ? OB , ?OAB 为等边三角形,三棱锥 S ? ABC 的体积为

4 3 ,则球 O 的半径为 3

A.3

B. 1

C. 2

D. 4

11.抛物线 y 2 ? 12x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,当

?FPM 为等边三角形时,则 ?FPM 的外接圆的方程为
A.. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5 ) 2 ? 5 C. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 B. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4 3) 2 ? 48 D. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2 7 ) 2 ? 28

12. 已知函数 y ? f ( x) 定义域为 (?? , ? ) ,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? ?1 对 称,当 x ? (0, ? ) 时, f ( x) ? ? f ?( ) sin x ? ? ln x , (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) ,若

?

2

1 a ? f (30.3 ), b ? f (log ? 3), c ? f (log 3 ) ,则 a, b, c 的大小关系是 9
A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. c ? a ? b 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , (a ? b ) ? a ,则向量 a 与向量 b 的夹角为 14.已知数列{ an }满足 a1 ? 2, a n ?1 ? 15.设 ? 为第四象限角, tan(? ?

?

?

? ?

?

?

?



1 ? an (n ? N * ) ,则 a2014 的值为 1 ? an
1 ,则 sin ? ? cos ? ? 2




?
4

)?

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16.已知数列{ an }的前 n 项和 sn 满足 an ? 3sn sn?1 ? 0(n ? 2, n ? N * ) , a1 ? 值为 .

1 ,则 nan 的最小 3

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(2x ? ) ? 2cos2 x ? 1( x ? R) . 6 (1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,三内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,已知 f ( A) ? 的值. 18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中,PA ? 底面ABCD ,

?

1 , 2 a ? b ? c , bc ? 18 .求 a 2

AB ? AD , AC ? CD , PA ? AB ? BC ? AC , E 是 PC 的中点.
(1)求证: PD ? 平面ABE ;

P

E

(2)求二面角 A ? PD ? C 的平面角的正弦值.
A C B D

19.(本小题满分 12 分)在一次数学考试中,第 22,23,24 题为选做题,规定每位考生必须且 只须在其中选做一题, 设 5 名考生选做这三题的任意一题的可能性均为 的选择是相互独立的,各学生的选择相互之间没有影响. (1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率; (2)设选做第 23 题的人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.

1 , 每位学生对每题 3

x2 y2 2 20.(本小题满分 12 分)设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,离心率为 ,过点 a b 2
F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 2 .
(1) 求椭圆方程. (2) 过点 P(0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B ,当 ?OAB 面积最大时,求 AB . 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x (e ? 1) ? ax
2 x 3

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(1) 当 a ? ?

1 时,求 f ( x) 的单调区间; 3

(2) 若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A ,直径 BC ? OP ,连接 AB 交 PO 于点 D . (Ⅰ)证明: PA ? PD ; (Ⅱ)求证: PA AC ? AD OC . O C D P A

B 23.(本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,
2 ? ? x ??2? 2 t 过点 P (?2, ?4)的直线 l 的参数方程为 ? y ??4? 2 t ( t 为参数) , 直线 l 与曲线 C 相交于 A, B ? ? 2

两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 PA PB ? AB ,求 a 的值.
2

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 1 . (Ⅰ)求使不等式 f ( x) ? 6 成立的 x 的取值范围; (Ⅱ) ?xo ? R , f ( xo ) ? a ,求实数 a 的取值范围.

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201 4 届 高 三 年 级 第 一 次 四 校 联 考 数 学 试 题 答 案 ( 理 )
1-12 题答案:1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.B 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 60
?

14. ? 3

15. ?

1 2 10 16. ? 3 5

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上) 17.解析.解:(1)f(x)= sin(2x ? = 3 1 ? 2 )+2cos x-1= sin2x- cos2x+cos2x 6 2 2

3 1 ? sin2x+ cos2x= sin(2x + )………………………………………3 分 2 2 6 ? ? ? ? ? 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,(k?Z)得 kπ - ≤x≤kπ + ,(k?Z)…………5 分 2 6 2 3 6 ? ? ∴f(x)的单调递增区间为[kπ - ,kπ + ](k?Z).………………………6 分 3 6 1 ? 1 (2) 由 f(A)= , 得 sin(2A + )= 2 6 2 ? ? ? ? 5? ? ∵ <2A+ <2π + , ∴2A+ = ,∴A= ……………………………8 分 6 6 6 6 6 3 由余弦定理得 a =b +c -2bccosA=(b+c) -3bc………………………10 分 又 2a=b+c,bc=18. ∴a =18, ∴a=3 2………………………………………………………………12 分
2 2 2 2 2

18.(1)证明: PA ? 底面 ABCD ,? CD ? PA 又 CD ? AC , PA ? AC ? A , 故 CD ? 面 PAC

AE ? 面 PAC , 故

CD ? AE …………………………………………
又 PA ? AC , E 是 PC 的中点,故 AE ? PC 从而 AE ? 面 PCD ,故 AE ? PD 易知 BA ? PD ,

4分

故 PD ? 面 ABE ………………………………

z
6分 、P(0 , 0 , a) 、

0 ,0,0 ) (2) 如图建立空间直角坐标系, 设 AC ? a , 则 A(

? a 3a ? 2a ? 2a ? , ? a) , ,0? B(a , 0, 0) 、 D ? 0 , , 0 ? ,C ? , ,从而 PD ? (0 , ? ? 3 3 ? ? ?2 2 ?
x
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y

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?a 3a ? ,…………………………………………………9 分 DC ? ? ? 2 , ? 6 , 0? ? ? ?
设 n1 ? ( x , y , z ) 为平面 PDC 的法向量,

2a ? ?n1 ? PD ? 3 y ? az ? 0 ? ? 可以取 n1 ? (1, 3 , 2) 则? ?n ? DC ? a x ? 3a y ? 0 1 ? 2 6 ?

……………………11 分

又 n2 ? (1, 0 , 0) 为平面 PAD 的法向量,若二面角 A ? PD ? C 的平面角为 ? 则 cos? ?

1 n1 ? n2

?

1 8

……………………11 分

因此 sin ? ?

14 。……………………12 分 4

19.解:(1)设事件 A1 表示甲选 22 题, A2 表示甲选 23 题, A3 表示甲选 24 题,

B1 表示乙选 22 题, B2 表示乙选 23 题, B3 表示乙选 24 题,
则甲、乙两人选做同一题事件为 A 1B 1 ? A2 B2 ? A 3 B3 , 且 A1与B1,A2与B2,A3与B3 相互独立,所以

P? A1 B1 ? A2 B2 ? A3 B3 ? ? P? A1 ?P?B1 ? ? P? A2 ?P?B2 ? ? P? A3 ?P?B3 ? ? 3 ?

1 1 ? 9 3

…………………………………………………………4 分 (2)设 ? 可能取值为 0,1,2,3,4,5. ? ~ B? 5, ?

? 1? ? 3?

?1? ? 2? ? P?? ? k ? ? C5k ? ? ? ? ? 3? ? 3?

k

5? k

? C5k

25? k , k ? 0,1,2,3,4,5 35

? 分布列为

?
P

0

1
80 243

2
80 243

3
40 243

4
10 243

5
1 243

32 243 1 5 ? E ?? ? ? np ? 5 ? ? 3 3
20.解:(1)

………………………………………12 分

x2 ? y2 ? 1 2

…………(4 分)
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(2) 根据题意可知,直线 l 的斜率存在,故设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) ,

? y ? kx ? 2 ? 消去 y 得关于 x 的方程 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 (6 分) B?x2 , y2 ? 由方程组 ? x 2 2 ? y ? 1 ? ?2
由直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点,则有 ? ? 0 , 即 64k 2 ? 24(1 ? 2k 2 ) ? 16k 2 ? 24 ? 0 得 k ?
2

3 2

8k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 由根与系数的关系得 ? ?x ? x ? 6 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
故 AB ? x1 ? x2 ? 1 ? k
2

?

16k 2 ? 24 1 ? k 2 ………………… (9 分) 2 1 ? 2k 2 1? k 2
, 故 ?O A B 的 面 积

又 因 为 原 点 O 到 直 线 l 的 距 离 d ?

1 16k 2 ? 24 2 2 ? 2k 2 ? 3 S ? AB ? d ? ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
令 t ? 2k 2 ? 3 ? 0 则 2k ? t ? 3
2 2

所以 S ?AOB ?

2 2t 2 ? 当且仅当 t ? 2 时等号成立, 2 t ?4 2

即k ? ?

3 14 时, AB ? ……………………………………(12 分) 2 2

21、解: (1)当 a ? ?

1 1 3 2 x 时, f ( x) ? x (e ? 1) ? x 3 3

f ' ( x) ? 2 x(e x ? 1) ? x 2 e x ? x 2 ? (2x ? x 2 )(e x ? 1)
' ' 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 ? 2 ? x ? 0 ;令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?2

? f ( x) 的单调递增区间为 (?2 , 0) , (0 , ? ?)
f ( x) 的单调递减区间为 (?? , ? 2)
2 x 3 2 x

………………………………………4 分

(2) f ( x) ? x (e ? 1) ? ax ? x (e ? 1 ? ax)

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令 g ( x) ? e x ? 1 ? ax

x ? [0 ,??)

g ' ( x) ? e x ? a

当 a ? ?1 时, g ' ( x) ? e x ? a ? 0, g ( x) 在 [0, ? ?) 上为增函数. 而 g (0) ? 0, 从而当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 恒成立. 若当 a ? ?1 时,令 g ' ( x) ? e x ? a ? 0 ,得 x ? ln(?a) 当 x ? (0, ln(?a)) 时, g ' ( x) ? 0, g ( x) 在 (0, ln(?a)) 上是减函数, 而 g (0) ? 0, 从而当 x ? (0, ln(?a)) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 综上可得 a 的取值范围为 [?1,??) . …………………………………………………12 分

22.证明:(1)∵直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A ∴∠PAB=∠ACB…………………………………………2 分 ∵BC 为圆 O 的直径,∴∠BAC=90° ∴∠ACB=90°-B ∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B……………………………4 分 又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B ∴PA=PD…………………………………………………5 分 (2)连接 OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO ∵∠OAC=∠ACO ∴Δ PAD∽Δ OCA………………………………………8 分 PA AD ∴ = OC AC ∴PA?AC=AD?OC………………………………………10 分
2 2 2

C D O

A P

B

23.解:(1) 由 ρ sin θ =2acosθ (a>0)得 ρ sin θ =2aρ cosθ (a>0) ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax(a>0)………………………2 分 直线 l 的普通方程为 y=x-2…………………………………4 分 (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y =2ax 中, 得 t -2 2(4+a)t+8(4+a)=0 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2 则有 t1+t2=2 2(4+a), t1t2=8(4+a)……………………………6 分 ∵|PA|?|PB|=|AB|
2 2 2 2 2

∴t1t2=(t1-t2) , 即(t1+t2) =5t1t2………………………………8 分 ∴[2 2(4+a)] =40(4+a)
2

2

a +3a-4=0

2

解之得:a=1 或 a=-4(舍去)

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∴a 的值为 1…………………………………………………10 分 24. 解:(1) 由绝对值的几何意义可知 x 的取值范围为(-2,4) (Ⅱ) ? x0?R,f(x0)<a,即 a>f(x)min ………5 分

……………………………………7 分

由绝对值的几何意义知:|x-3|+|x+1|可看成数轴上到 3 和-1 对应点的距离和. ∴f(x)min=4 ∴a>4 所求 a 的取值范围为(4,+∞) …………………………………………10 分 …………………………………………………9 分

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