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棱柱和棱锥


棱柱和棱锥
基本概念
棱柱的有关概念: 直棱柱; 正棱柱;平行六面体; 长方体; 正方体; 正四棱柱. 判断 1.侧面都是矩形的四棱柱是长方体( )2.直平行六面体是长方体 () 3.对角面是全等矩形有四棱柱是长方体 ( ) 棱椎:正棱锥:底面____________② 顶点________________ 叫正棱锥 1.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面都可能是直角三角形 2.相邻两侧面所成角相等的棱锥是正棱锥 3.侧棱长相等,各侧面 与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥 4.三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥

选择填空
1、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对” .在一个正方体中,由两个顶 点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 . (06 上海理)
V

2、在正四棱锥 P—ABCD 中,若侧面与底面所成二面角的大小为 60°,则异面直线 PA 与 BC 所成角的大小等于 .(结果用反三角函数值表示)(03 上海理)
?VAE 的面积是
A

3、如图,在底面边长为 2 的正三棱锥 V ? ABC 中, E 是 BC 的中点,若

1 ,则侧棱 VA 与底面所成角的大小为___________(结果用反三角函数值表示). (04 上海) 4
4、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是??????????( ) (A)三棱锥 (B)四棱锥 (C)五棱锥 (D)六棱锥 5、将正方体纸盒展开,直线 AB、CD 在原正方体中的位置关系是?????( ) (A)平行 (B)垂直 (C)相交成 60
?

C E

C A B

B

D

(D)异面成 60

?

6、如图长方体的三条棱长分别为 3、4、5,那么沿长方体的表面从 A 到 C1 的最 短距离为 . 7.已知 EF 是边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,没 DE、EF、FD 折 成一个四面体,则所得四面体的体积是________ 8.一个封闭锥形容器中装有一部分液体,容器的高为 h 当容器正放时,液面与容器 底部之间距离为 h/2,求当容器倒放时液面与容器底部之间的距离__________ 9.如图, 在多面体 ABCDEF 中, 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, 且 ?ADE 、?BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为

D1 A1 D A B B1

C1

C

解答题
1、 已知正三棱锥 P ? ABC 的体积为 72 3 ,侧面与底面所成的二面角的
P

大小为 60 ? .(1)证明: PA ? BC ; (2)求底面中心 O 到侧面的距离.
A O B C

2、 (06 上海理)在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对 角线 AC 与 BD 相交于点 O, PO⊥平面 ABCD, PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 .(1) 求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的 大小(结果用反三角函数值表示) . A B E
?

?

P

D O C

3 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD=2a, △PDC 是正三角形,BC ⊥PD P (1)求证:平面 PBD⊥平面 ABC; (2)求二面角 C-PD-B 的正切值; (3)求点 B 到平面 PAD 的距离.。

D A

C B

4. 斜三棱柱的底面的边长是 4cm 的正三角形,侧棱长为 3cm,侧棱 AA1 与底面相邻两边都成 60 角.(1)求证:侧面

0

CC1B1B 是矩形;(2)求这个棱柱的侧面积;(3)求棱柱的体积.

C A C A1 O1 B
1

B

5. 棱长为 a 的正方体 OABC ? O?A?B?C ? 中,E , F 分别为棱 AB, BC 上的动点,
A'

O' B'

C'



AE ? BF ? x(0 ? x ? a) ,

(1)求证: A?F ? C ?E ;
O
M

(2)当 ?BEF 的面积取得最大值时,求二面角 B? ? EF ? B 的大小.
A

C F B E

例 2 一个长方体全面积是 20cm ,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长.

2

例 3 如图,正三棱锥 S—ABC 的侧棱和底面 边长相等,如果 E、F 分别为 AB、SC 的中点,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( ) 例 4 设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 5 ,那么它的体 积为( )

例 5 如果三棱锥 S—ABC 的底面是不等边三角形,侧 面与 底面所成的二面角都相等, 且顶点 S 在底面的射影 O 在△ABC 内,那么 O 是△ABC 的( ) 例 6 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 和 CN 所成角的 余弦值是( ) 3 例 11 侧棱长为 3cm,底面边长为 4cm 的正四棱锥的体积为_______cm . 圆柱圆锥球 例 14 长方体一个顶点上三条棱的长度分别为 3,4,5,且它的 8 个顶点都在 同一球面上,这个球的 表面 积是 例 15 若母线长为 4 的圆锥的轴截面的面积为 8,则圆锥的侧面积为_____(结果中保留). 例 17 圆柱轴截面的周长 1 为定值,那么圆柱体积的最 大值是( ) 例 18 设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2,圆锥 顶点到 直线 AB 的距离为 3 ,AB 和圆锥的轴的距 )

离为 1,则该圆锥的体积为________. 例 20 圆锥母线长为 l,侧面展开圆心角为 240°,该 圆锥的体积是(


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