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福建省福州八中2014届高三毕业班第一次质检数学理试题


福州八中 2014 届高三毕业班第一次质检数学理试题
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 P={m|-3<m<1 } , Q={m∈R|(m-1)x2+(m-1)x-1<0 对任意实数 x 恒成立 } , 则下列关系中成立的是 C.P=Q D.P∩Q=Q 1 2. 已知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(6, ),即 P(ξ=2)等于 3 3 1 13 80 A.16 B.243 C.243 D.243 3. 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友, 每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 4.过点(-1,0)作抛物线 y ? x 2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为 A. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. 3x ? y ? 3 ? 0 1 5. 函数 y=ln 的图像为 |2x-3| C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 A.P Q B.Q P

6. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物 线准线的距离之和的最小值为 17 9 A. 2 B.3 C. 5 D.2 7. “ a ? 2 ” 是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 [2, ??) 上为增函数”的 A.充分条件不必要 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 8. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),以 O 为圆心,短半轴长为半径作圆 O,过椭圆的长 a b 轴的一端点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A、B,若四边形 PAOB 为正方形,则椭圆的 离心率为 A.

1 2

B.

3 2

2 C. 2

D. 2

9.已知 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? a x ? | log a x | 的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.2 或 3 或 4

10. 若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

二、填空题:5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在相应的位置上. 11. 我校在科艺节时进行高一数学竞赛, 将考生的成绩分成 90 分以下、 90~120 分、 120~150 分三种情况进行统计,发现三个成绩段的人数之比依次 5∶3∶1,现用分层抽 样的方法抽出一个容量为 m 的样本,其中分数在 90~120 分的人数是 45,则此样本的 容量 m=________ 12. 已 知 命 题 p : 不 等 式 | x ? 1 |? m 的 解 集 是 R , 命 题 q : f ( x) ? 范围是 _______. 13. 如图,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形.将一颗豆子 随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,B 表示事件“豆子 落在扇形 OHE(阴影部分)内”,则(1)P(A)=________;(2)P(B|A)=_______. 14. 某市交警部门计划对二环路段进行限速,为调查限速 70km/h 是否合理,对通过该路段的 300 辆汽车的车速进行检测,将所得数据 按[40,50),[50,60),[60,70),[70,80)分组,绘制成如图所示的频率分布 直方图.则这 300 辆汽车中车速低于限速的汽车有_____辆. 15. 已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图像与 x 轴相切于(1,0),则该函 数的极小值为_______. 三、解答题:本大题六个小题,共 80 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16. (本小题 13 分) 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 A∪B=A,求实数 m 的取值范围.

(0,??) 上是减函数,若命题“ p 或 q ”为真,命题“ p 且 q ”为假,则实数 m 的取值

2?m 在区间 x

17. (本小题 13 分) 设 m=?π(sint+cost)dt, 求二项式(m x-

?0

1 6 ) 展开式中含 x2 项的系数及各项系数之 x

和.

18. (本小题 13 分) 某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验,准备用 A、B、C 三种人工降雨方式 分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其试验数据统计如下: 方式 A B 实施地点 甲 乙 大雨 4次 3次 中雨 6次 6次 小雨 2次 3次 模拟实验总次数 12 次 12 次

C 计数据.



2次

2次

8次

12 次

假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响,请你根据人工降雨模拟试验的统 (1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率; (2)考虑到各地的旱情和水土流失情况不同, 如果甲地恰需中雨即达到理想状态, 乙 地必须是大雨才达到理想状态,丙地只需小雨或中雨即达到理想状态,记“甲、乙、丙 三地中达到理想状态的个数”为随机变量 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和均值 Eξ.

19. (本小题 13 分) 已知函数 f(x)=alnx-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; 3 1 m (2)函数 y=f(x)的图像在 x=4 处的切线的斜率为2,若函数 g(x)=3x3+x2[f′(x)+ 2 ] 在区间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围. 20. (本小题 14 分) x2 已知椭圆 C: 2+y2=1(a>1)的上顶点为 A,左、右焦点 F1、F2,直线 AF2 与圆 M: a x2+y2-6x-2y+7=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆内存在动点 P, 使|PF1|, |PO|, 2|成等比数列(O 为坐标原点). PF1 ? PF2 |PF 求 的取值范围.

21. (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的部分图象如下图所示:

(1)求函数 f (x) 的解析式并写出其所有对称中心; (2)若 g (x) 的图象与 f (x) 的图象关于 点 P (4, 对称,求 g (x) 的单调递增区间. 0)

福州八中 2013—2014 高三毕业班第一次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准

17. (本小题 13 分)解析 ∵m=?π(sint+cost)dt=(sint-cost)| π=2.…………4 分 0 ?
0

1 1 ∴(m x- )6=(2 x- )6, x x - r - 又 Tr+1=C626 r(-1)rx3 r,……………………………………………8 分 令 3-r=2,∴r=1, ∴x2 项的系数为-192. ………………………………………………10 分 令 x=1 知各项系数之和为 1.……………………………………13 分

1 2)设甲、乙、丙三地都达到理想状态的概率分别为 P1,P2,P3,则 P1=P(A2)= ,P2 2 1 5 =P(B1)= ,P3=P(C2)+P(C3)= . 4 6 ξ 的可能取值为 0,1,2,3. 1 3 1 1 P(ξ=0)=(1-P1)(1-P2)(1-P3)= × × = ;………………………………4 分 2 4 6 16 1 3 1 1 1 1 1 3 P(ξ=1)=P1(1-P2)(1-P3)+(1-P1)P2(1-P3)+(1-P1)(1-P2)P3= × × + × × + × 2 4 6 2 4 6 2 4 5 19 × = ;……………………………………6 分 6 48 P(ξ=2)=(1-P1)P2P3+P1(1-P2)P3+P1P2(1-P3) 1 1 5 1 3 5 1 1 1 7 = × × + × × + × × = ;………………………………………………8 分 2 4 6 2 4 6 2 4 6 16 1 1 5 5 P(ξ=3)=P1P2P3= × × = .…………………………10 分 2 4 6 48 所以随机变量 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 1 19 7 5 P 16 48 16 48 1 19 7 5 19 所以,均值 Eξ= × 0+ × 1+ × 2+ × 3= .……………………13 分 16 48 16 48 12 19. (本小题 13 分)解析:(1)f′(x)=

a (1 ? x) (x>0),…………3 分 x

当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为[1,+∞);…………4 分 当 a<0 时,f(x)的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为(0,1];…………5 分 当 a=0 时,f(x)不是单调函数.……………………6 分 3a 3 (2)由 f′(4)=- = ,得 a=-2,则 f(x)=-2lnx+2x-3, 4 2 1 3 m ∴g(x)= x +( +2)x2-2x,…………………………………………8 分 3 2 2 ∴g′(x)=x +(m+4)x-2. ∵g(x)在区间(1,3)上不是单调函数,且 g′(0)=-2<0, ∴?

? g ?(1) ? 0 ……………………………………11 分 ? g ?(3) ? 0

?m<-3, ? 19 ∴? 故 m 的取值范围是(- ,-3).……………………13 分 19 3 ?m>- 3 , ?

(2)由(1)知 F1(- 2,0)、F2( 2,0),设 P(x,y),由题意知|PO|2=|PF1|· 2|, |PF 得 x2-y2=1,则 x2=y2+1≥1.………………………………9 分 x2 3 因为点 P 在椭圆内,故 +y2<1,即 x2< . 3 2 又 PF1 ? PF2 =x2-2+y2=2x2-3, ∴-1≤ PF1 ? PF2 <0.…………………………14 分 21. (本小题 14 分)解: (1)由图可得。A= 2 , 所以, T ? 16, ? ? 则此时 f ( x) ? ∴ f ( x) ? 3 ∴1≤x2< . 2 ……………………12 分

?
8

T ? 6 ? (?2) ? 8 , 2

,………………………………2 分

2 sin( x ? ? ) ,将点 2, 2 代入,可得 ? ? .…………4 分 4 8

?

?

?

?

2 sin( x ? ) ; 8 4

?

?

对称中心为 (8k ? 2,0)(k ? Z ) ………………………………7 分


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