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辽宁省实验中学2013届高三上学期期末考试理科数学试卷


辽宁省实验中学 2013 届高三上学期期末考试 数学试卷(理) 第 I 卷 (客观题 共 60 分)
一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求.) 1.若复数 z ? A.1 B.2

3 ? 4i ,则 z ? 2?i

[ D.5

]

2.已知集合 M ? x y ? A. ?x |1 ? x ? 3?

?

C.

5

? x 2 ? 3x , N ? ?x || x |? 2? ,则 M ? N ? [

?

]

B. ?x | 0 ? x ? 3? 考 C. ?x | 2 ? x ? 3?

D. x 2 ? x ? 3

?

?

3. 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 , AB / / DC ,AB=2DC=2, ?DAB ? 60? ,E 是 AB 的 中 点 , 将

三角形ADE, 三角形BEC 分别沿 ED,EC 向上折起,使 A.B 重合于点 P, 则三棱锥 P- DCE 的外
接球的体积为[ ] 开始

A.

4 3 ? 27

B.

6 ? 2

C.

6 ? 8

D.

17 ? 24

输入 x

4 .给出一个如图所示的程序框图, 若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等, 则这样的 x 值的个数是[ ] A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



x ? 2?




y ? x2

x ? 5?



y ? 2x ? 3

y?

1 x

输出 y 结束 5.设 a.b.c 是空间三条不同的直线, ? , ? 是空间两个不同的平面, 则下列命题中,逆命题不成立的是[ ]

A.当c ? ?时, 若c ? ? , 则? // ? B.当b ? ?时, 若b ? ? , 则? ? ? ;

C.当b ? ? , 且c是a在?的射影时, 若b ? c,则a ? b; D.当b ? ? , 且c ? ?时, 若c // ? , 则b // c;
6.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等 a 2 b2
]w。w-w*k&s%5¥u

于 5 ,则该双曲线的方程为[ A. 5 x ?
2

4 y2 x2 y2 ?1 ? 1 B. ? 5 4 5

C.

y2 x2 ? ?1 5 4

D. 5 x ?
2

5y2 ?1 4
]

7.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? a3 ?

?

1 S (2 x ? )dx ,则 9 =[ 0 2 S5
2

25 9 C.2 D. 9 25 8.已知 A、B 是直线 l 上任意两点,O 是 l 外一点,若 l 上一点 C 满足 uuu uur r uur u ] O C? O Ao ? ? O B o? ,则 sin ? ? sin 2 ? ? sin 4 ? ? sin 6 ? 的最大值是[ c s c2 s
A.9 B. A. 2 B. 3
2

C. 5
2

D. 6

9.设随机变量 ? 服从正态分布 N ( ? , ? ) ,函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? ? 没有零点的概率是 A. 1 B. 4

1 ?? 2,
C. 2

[

] D. 不能确定

10.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有 两位女生相邻,则不同排法的种数是 [ ] A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 3 11.已知函数f ( x) ? ? x ? sin x ( x ? R), 对于任意的x1 ? x 2 ? 0, x 2 ? x3 ? 0, x3 ? x1 ? 0,

下面对f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x3 )的值,其中正确的是 [ A.零 B.负数 C.正数

]

D.以上答案均可能

12.定义在 R 上函数 f(x)满足 f(0)= 0,f(x)+ f(1-x)=1,且 f ( ) ?

x 5

1 f ( x) 当 2

0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (
A.

1 ) ?[ 2011
D.

]

1 2

B.

1 32

C.

1 16

1 64

第 II 卷 (主观题 共 90 分)
二. 填空题 (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.) 13. 一个几何体的三视图如图所示,

则该几何体的体积为

14 . 设命题 p : lg(2x 2 ?3x ? 2) ? 0 , 命题 q : 2 分条件, 则实数 a 的取值范围

x 2 ?( 2 a ?1) x ? a ( a ?1)

? 1 ,若 ? p 是 ? q 的必要不充

15.已知(x 2 ?

1
3

5x 当x ? [0,1]时,f ( x) ? x, 若在区间 ?1,3]内,函数g ( x) ? f ( x) ? kx ? k有四个零点, [ 则实数k的取值范围

) 5 的展开式中的常数项为 ,f ( x)是以T为周期的偶函数, T

16.设a ? b ? c ? 0, 则2a 2 ?

1 1 ? ? 12ac ? 36c 2 最小值为 ab a(a ? b)



三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17 .(本题满分 12 分) 在三角形 ABC 中,角 A.B.C 成公差大于 0 的等差数列,

u r r C?A C?A m ? (sin A cos ,cos 2 A), n ? (2cos A,sin ) 2 2 u r r (1) 求 m ? n 的取值范围;
(2) 若设 A.B.C 的对应边分别为 a.b.c,求

a?c 的取值范围; b

18.(本题满分 12 分) 如图,二面角 P-CB-A 为直二面角, ?PCB ? 90 , ?ACB ? 90 ,PM//BC,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 ,又 AC=1,BC=2,PM=1. (1) 求证:AC ? BM; (2) 求二面角 M—AB—C 的正切值;
?

?

?

19 .(本题满分 12 分) 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康, 要求产品在进入市场前必须进行两轮 核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格 的概率为

1 1 ,第二轮检测不合格的概率为 ,两轮检测是否合格相互没有影响. 6 10

(Ⅰ)求该产品不能销售的概率; (Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利 40 元;如果产品不能销售,则每件产品亏损 80 元 (即获利-80 元) .已知一箱中有产品 4 件, 记一箱产品获利 X 元, X 的分布列, 求 并求出均值 E(X).

x2 y 2 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左.右焦点分别为 F1、F2,离 a b
心率 e ?

2 , 点 D(0,1)在椭圆 E 上。 2

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

(I)求椭圆 E 的方程; (II)设过点 F2 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 E 于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线 与 x 轴交于点 G(t,0) ,求点 G 横坐标 t 的取值范围。 (III)试用 t 表示 ?GAB 的面积,并求 ?GAB 面积的最大值。

21. (本小题满分 12 分)已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 m ;

1 2 x ? 6 x ? m ln x 的一个极值点。 2

(Ⅱ)若直线 y ? n 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 n 的取值范围;

1 2 x +(6- b) x +2( a ? 0 ) G( x) ? f ( x) ? g ( x) , , 2 x ? x2 若 G (x) =0 有两个不同零点 x1 , x2 ,且 x 0 ? 1 ,试探究 G '( x0 ) 值的符号 2
(Ⅲ)设 g (x) =( ? 5 ? a ) ln x +

请考生在第 22.23.24 三题中任选一题作答,如果多作,则按所作的第一题记分. 22.(本题满分 10 分) 选修 4- 1:几何证明选讲. 如图,直线 AB 经过圆 O 上的点 C,并 OA=OB,CA=CB, 圆 O 交直线 OB 于 E.D,连结 EC.CD. (1) 求证:直线 AB 是圆 O 的切线; (2) 若 tan ?CED ?

1 ,圆 O 半径为 3,求 OA 的长. 2

23. (本题满分 10 分) 选修 4- 4: 坐标系与参数方程. 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的直角坐标为(1,-5),点 M 的极坐标为(4,

? ? ),若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径。 2 3

(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系。

24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲中学 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 4 . (1)解不等式 f(x)>0; (2)若 f(x)+ 3 x ? 4 >m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.
m

2012~2013 学年(上)期末考试

高三数学试卷(理)参考答案
一.CDCCB , DACBB ,BB . 二.

4? 1 ? 8 ;. [0, ]; 3 2

1 (0, ] ;4 ; 4

三.17.A.B.C 成公差大于 0 的等差数列,所以 A<B<C 且 B=

? , 3

?? ? C?A C?A C?A C?A () ? n ? sin A cos 1m ? 2 cos A ? cos 2 A sin ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin 2 2 2 2 3A C ? ? sin( ? ) ? sin( A ? ) 2 2 3 ? ?? ? 3 ? 0 ? A ? ? m ? n ? ( ,1]......7分 3 2

(2) A ? sin C ? sin A ? sin sin (

2? 3 3 ? ? A) sin A ? ? cos A ? 3 sin A ? ) ( 3 2 2 6

? 3 ? 0〈A〈 ? sin A ? sin C ? ( ,3) 3 2
? sin B ? 3 a ? c sin A ? sin C ? ? ? 1, ( 2).......12分 2 b sin B

18.(1) ? 平面PCBM ? 平面ABC,AC ? BC,AC ? 平面ABC, 平面ABC ? 平面PCBM ? BC, AC ? 平面PCBM , ? ? BM ? 平面PCBM, AC ? BM。 ?
(2)建立空间直角坐标系 C—xyz,设 P(0,0,z), (z>0), 则 B(0,2,0),A(1,0,0),M(0,1,z)
? ? 由直线 AM 与 PC 所成的角为 60 ,得 AM ? CP ? AM CP cos 60 解得 z=

?

?

?

?

6 3

? ? 6 ? AM ? (?1,1, ), AB ? (?1,2,0) , 3

设 平面 MAB 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z )

?

求得 n1 = (4,2, 6 ) , 取平面 ABC 的一个法向量 n2 =(0,0,1)

?

?

? ? n1 ? n2 39 ? ? 则 cos ? n1 , n2 ?? ? ? ? , 由图知二面角为锐二面角, n1 n2 13
故二面角 M—AB—C 的正切值为

30 . 3

19.(Ⅰ)记“该产品不能销售”为事件 A,则

1 1 1 1 P( A) ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? .所以,该产品不能销售的概率为 . 6 10 4 4
(Ⅱ)由已知,可知 X 的取值为 ?320, ?200, ?80, 40,160 .

1 1 1 3 3 1 P( X ? ?320) ? ( ) 4 ? P( X ? ?200) ? C4 ? ( )3 ? ? , , 4 256 4 4 64 1 3 27 3 3 27 2 3 1 P( X ? ?80) ? C4 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? , P ( X ? 40) ? C4 ? ? ( ) ? , 4 4 128 4 4 64 3 81 P( X ? 160) ? ( ) 4 ? . 4 256
所以 X 的分布列为

X P

-320

-200

-80

40

160

1 256

3 64

27 128

27 64

81 256

E(X) ? ?320 ?

1 1 27 27 81 ? 40 ? 200 ? ? 80 ? ? 40 ? ? 160 ? 256 64 128 64 256

所以,均值 E(X)为 40. 20. 解: (I) b ? 1, e ?
2

c 2 a 2 ? b2 ? ,? a 2 ? 2, a ? 2, a2 a2

x2 ? 椭圆 E 的方程为 ? y 2 ? 1 2
(II)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,代入 整理得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0
2 2 2 2

x2 ? y 2 ? 1, 2

? 直线 AB 过椭圆的右焦点 F2,? 方程有两个不等实根。
记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,AB 中点 N ( x0 , y0 ) ,则 x1 ? x1 ?

4k 2 , 2k 2 ? 1

1 2k 2 k x0 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 , y0 ? k ( x0 ? 1) ? ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1
1 ? AB 垂直平分线 NG 的方程为 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ). k
令 y=0,得 t ? x0 ? ky0 ?

2k 2 k2 k2 1 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 . 2 2k ? 1 2k ? 1 2 k ? 1 2 4 k ? 2

1 ? k ? 0,? 0 ? t ? . 2

?t 的取值范围为 (0, )
(III) S?GAB ?

1 2

1 1 ? | F2G | ? | y1 ? y2 |? | F2G || k | ? | x1 ? x2 | . 2 2

而 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?

8(k 2 ? 1) , 2k 2 ? 1

1 k2 0 ? t ? ,由t ? 2 , 2 k ?2
可得 k ?
2

t 1? t 1 , k 2 ?1 ? , 2k 2 ? 1 ? . 1 ? 2t 1 ? 2t 1 ? 2t

所以 | x1 ? x2 |? 2 2(1 ? 2t )

1? t . 又|F2G|=1-t, 1 ? 2t


1 t 1? t 1 S?GAB ? (1 ? t ) ? 2 2(1 ? 2t ) ? 2 (1 ? t )3 t (0 ? t ? ). 2 1 ? 2t 1 ? 2t 2

f (t ) ? t (1 ? t )3 , 则 f '(t ) ? (1 ? t )2 (1 ? 4t ).
1 1 4 2 1 1 27 . 所以,当 t ? 时, f (t ) 有最大值 f ( ) ? 4 4 256
所以,当 t ? 可知 f (t ) 在区间 (0, ) 单调递增,在区间 ( , ) 单调递减。

1 4

1 3 6 时, ?GAB 的面积有最大值 . 4 16

解法二: (II)设直线 AB 的方程为 x ? my ? 1,

? x ? my ? 1, ? 2 2 由 ? x2 可得 (m ? 2) y ? 2my ?1 ? 0 , 2 ? ? y ? 1, ?2
记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点 N ( x0 , y0 ),

?2m 1 , y1 y2 ? ? 2 . 2 m ?2 m ?2 y ? y2 ?m 2 ? 2 . 可得 y0 ? 1 , x0 ? my0 ? 1 ? 2 2 m ?2 m ?2
则 y1 ? y2 ?

? AB 垂直平分线 NG 的方程为 y ? y0 ? ?m( x ? x0 ).
令 y=0,得 t ? x0 ?

y0 2 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 . m m ?2 m ?2 m ?2

1 ? m ? 0,? 0 ? m ? . 2 1 ?t 的取值范围为 (0, ). 2 1 (III) S ?GAB ? ? | F2G | ? | y1 ? y2 | 2
而 | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ?

8(m2 ? 1) , m2 ? 2
1 8( ? 1) t ? 8t (1 ? t ). 1 t2

1 1 , 而得m2 ? 2 ? . 所以 | y1 ? y2 |? 由t ? 2 m ?2 t

又|F2G|=1-t,所以 S ?MPQ ?

2t (1 ? t )3 .
3

所以 ?MPQ 的面积为 2 t (1 ? t ) (0 ? t ? ). 下同解法一: 设 f (t ) ? t (1 ? t )3 , 则 f '(t ) ? (1 ? t )2 (1 ? 4t ).

1 2

1 1 4 2 1 1 27 . 所以,当 t ? 时, f ( x) 有最大值 f ( ) ? 4 4 256
所以,当 t ?

可知 f (t ) 在区间 (0, ) 单调递增, 在区间 ( , ) 单调递减。

1 4

1 3 6 时, ?GAB 的面积有最大值 . 4 16
'

21. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) = x ? 6 ?
'

m x

所以 f (1) ? 1 ? 6 ? m =0,? m =5 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

1 2 x ? 6 x ? 5 ln x ( x ? 0 ) 2 5 x 2 ? 6 x ? 5 ( x ? 1)( x ? 5) = ? f ' ( x) = x ? 6 ? = x x x ' 当 x ? (1,5) 时, f ( x) <0, f (x) 单调递减;
' 当 x ? (5,??) 或 x ? (0,1) 时, f ( x) >0, f (x) 单调递增.

? f (x) 的极大值为 f (1) = ? 6 = ?

11 , 2 1 35 ? 5 ln 5 , 极小值为 f (5) = ? 25 ? 30 ? 5 ln 5 = ? 2 2 又 x ? 0 时, f (x) ? ?? , x ? ?? 时, f (x) ? ?? 结合图像可知:当且仅当 f (5) ? n ? f (1) 时

1 2

直线 y ? n 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点

35 11 ? 5 ln 5 < n ? ? 2 2 (III) G '( x0 ) 的符号为正. 证明如下: 1 2 1 2 因 为 G( x) ? f ( x) ? g ( x) = x ? 6 x ? 5 ln x + ( ? 5 ? a ) ln x + x + 2 2 2 (6- b) x +2= x ? 2 ? a ln x ? bx 有两个零点 x1 , x2 ,则有

??

? x12 ? 2 ? a ln x1 ? bx1 ? 0 ? , ? 2 ? x2 ? 2 ? a ln x2 ? bx2 ? 0 ?
两式相减得 x22 ? x12 ? a(ln x2 ? ln x1 ) ? b( x2 ? x1 ) ? 0

a(ln x2 ? ln x1 ) , x2 ? x1 a 2a 于是 G '( x0 ) ? 2 x0 ? ? b ? ( x1 ? x2 ? b) ? x0 x1 ? x2 a(ln x2 ? ln x1 ) x 2( x2 ? x1 ) 2a a ? ? ? [ln 2 ? ] x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1 x1 x1 ? x2 x 2( 2 ? 1) x x1 a ? [ln 2 ? ] x x2 ? x1 x1 1? 2 x1 x a 2(t ? 1) ①当 0 ? x1 ? x2 时,令 2 ? t ,则 t ? 1 ,且 G '( x0 ) ? (ln t ? ). x2 ? x1 1? t x1 2(t ? 1) (t ? 1) , 设 u (t ) ? ln t ? 1? t 1 4 (1 ? t )2 则 u '(t ) ? ? ? ? 0, t (1 ? t )2 t (1 ? t )2 2(t ? 1) 则 u (t ) ? ln t ? 在 (1, ??) 上为增函数.而 u(1) ? 0 ,所以 u(t ) ? 0 , 1? t 2(t ? 1) ? 0 . 又因为 a ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,所以 G '( x0 ) ? 0 . 即 ln t ? 1? t ②当 0 ? x2 ? x1 时,同理可得: G '( x0 ) ? 0 .
即 x2 ? x1 ? b ?
[来源:Z&xx&k.Com]

综上所述: G '( x0 ) 的符号为正 22. (1)连接 OC,? OA ? OB, CA ? CB,? OC ? AB,? AB 是圆 O 的切线

(2)?E ? ?EDC ? 90? 又?BCD ? ?OCD ? 90?,?OCD ? ?ODC ? ?BCD ? ?E ? ?BCD ? ?BEC ? BC 2 ? BD ? BE, 1 CD 1 BD CD 1 ? tan ?CED ? ? ? ? ? ? 2 EC 2 BC EC 2 2 设BD ? x,则BC ? 2 x,又BC 2 ? BD ? BE, (2 x) ? (x ? 6) x ? 2 ? x ? ? OA ? OB ? BD ? OD ? 5.......10分
23.

解:

1 ? ? x ? 1? 2 t ? (1)由题意可得,直线 l 的参数方程是 ? ,(t 是参数), ? y ? ?5 ? 3 t ? 2 ?
圆 C 的极坐标方程是 ? ? 8 sin ? . (2)由题意可得,圆心的直角坐标是(0,4),直线 l 的直角坐标方程是 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 ,

圆心到直线的距离 d=

| 0?4?5? 3 | 9? 3 ? ? 4 ,所以直线 l 和圆 C 相离. 2 3 ?1

24.解: (1)当 x ? 4 时 f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0 得 x>-5 所以 x ? 4 成立 当?

1 ? x ? 4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0 得 x>1,所以 1<x<4 成立 2 1 当 x ? ? 时 f(x)=-x-5>0 得 x<-5 所以 x<-5 成立 2

综上,原不等式的解集为{x|x>1 或 x<-5} (2)f(x)+ 3 x ? 4 =|2x+1|+2|x-4| ?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9 当?

1 ? x ? 4时等号成立 2

所以 m<9


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