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课时提能演练(四十七) 7.6


世纪金榜 圆您梦想

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课时提能演练(四十七)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( (A)y 轴上 (C)xOz 平面上 (B)xOy 平面上 (D)yOz 平面上 ) 100 分)

2.在空间直角坐标系中,点 P(1, 2, 3),过点 P 作平面 xOy 的垂线 PQ,则 Q 的坐标为( ) (B)(0, 2, 3) (D)(1, 2,0)

(A)(0, 2,0) (C)(1,0, 3)

3.以棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB,AD,AA1 所在的直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系, 如图所示, 则正方形 AA1B1B 的对角线交点的坐标为( )

1 1 (A)(0, , ) 2 2 1 1 (C)( , ,0) 2 2

1 1 (B)( ,0, ) 2 2 1 1 1 (D)( , , ) 2 2 2

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4.到点 A(-1, -1, -1), B(1,1,1)的距离相等的点 C(x, z)的坐标满足( y, (A)x+y+z=-1 (C)x+y+z=4 (B)x+y+z=1 (D)x+y+z=0

)

5.(2012·龙岩模拟)在空间直角坐标系中,点 M(-2,4,-3)在 xOz 平面上的射 影为 M′,则点 M′关于原点对称的点的坐标为( (A)(-2,0,-3) (C)(2,0,3) (B)(-3,0,-2) (D)(-2,0,3) )

6.若两点的坐标是 A(3cosα ,3sinα ,1),B(2cosβ ,2sinβ ,1),则|AB|的 取值范围是( (A)[0,5] (C)(0,5) ) (B)[1,5] (D)[1,25]

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为 30, 则该点的坐标为 .

8.已知三角形的三个顶点 A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2).则过 A 点的中 线长为 .

9.(2012·厦门模拟)如图所示,正方体的棱长为 1,M 是所在棱上的中点,N 是 所在棱上的四分之一分点,则 M、N 之间的距离为 .

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三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.如图,在四面体 ABCD 中,点 A(0,0,a),AB⊥平面 BCD,BC=CD,∠BCD= 90°,∠ADB=30°,E、F 分别是 AC、AD 的中点,求 D、C、E、F 四点的坐标.

11.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1),B(1,0,-3). (1)在 y 轴上是否存在点 M,使|MA|=|MB|成立? (2)在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由. 【探究创新】 (16 分)解答下列各题: (1)已知实数 x,y,z 满足(x-3)2+(y-4)2+z2=4,求 x2+y2+z2 的最小值. (2)已知空间四个点 O(0,0,0),A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),求三棱锥 O-ABC 的体积.

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答案解析
1.【解析】选 C.由点的坐标的特征可得该点在 xOz 平面上. 2.【解析】选 D.由于点 Q 在 xOy 内,故其竖坐标为 0,又 PQ⊥xOy 平面,故点 Q 的横坐标、纵坐标分别与点 P 相同.从而点 Q 的坐标为(1, 2,0). 3.【解析】选 B.由题意知所求点即为 AB1 的中点,由于 A(0,0,0),B1(1,0,1), 1 1 所以 AB1 的中点坐标为( ,0, ). 2 2 4.【解析】选 D.到点 A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点 C 应满足 | CA |2=| CB |2, 即(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2,化简得 x+y+z= 0. 5.【解析】选 C.由题意得,点 M′的坐标为(-2,0,-3),故点 M′关于原点对 称的点的坐标为(2,0,3). 【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧 (1)关于哪个轴对称,对应轴上的坐标不变,另两个坐标变为原来的相反数; (2)关于坐标平面对称,另一轴上的坐标变为原来的相反数,其余不变; (3)关于原点对称,三个坐标都变为原坐标的相反数; (4)空间求对称点的坐标的方法,可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记 忆. 6.【解题指南】利用两点间距离公式求出|AB|,然后结合三角函数知识求范围. 【解析】选 B. ∵|AB|= (3cosα-2cosβ)2+(3sinα-2sinβ)2+(1-1)2
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??? ?

??? ?

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= 13-12(cosαcosβ+sinαsinβ) = 13-12cos(α-β). ∴ 13-12≤|AB|≤ 13+12, 即 1≤|AB|≤5. 7.【解析】设点 P 的坐标是(x,0,0), 由题意得,|P0P|= 30, 即 (x-4)2+12+22= 30, ∴(x-4)2=25. 解得 x=9 或 x=-1. ∴点 P 坐标为(9,0,0)或(-1,0,0). 答案:(9,0,0)或(-1,0,0) 【误区警示】解答本题时容易忽视解的讨论而造成结果不全. 【变式备选】在 z 轴上与点 A(-4,1,7)和点 B(3,5,-2)等距离的点 C 的坐标 为 .

【解析】设点 C 的坐标为(0,0,z), 由条件得|AC|=|BC|, 即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2 = (3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2, 14 解得 z= . 9 答案:(0,0, 14 ) 9

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8.【解析】由题意知 BC 的中点为 D(4,1,-2), 故|AD|= (2-4)2+(-1-1)2+(4+2)2=2 11. 答案:2 11 9.【解析】由题意可知 1 1 M(1,0, ),N( ,1,0), 2 4 所以|MN|= 答案: 29 4 1 1 29 (1- )2+(0-1)2+( -0)2= . 4 2 4

10.【解析】由题意知,在 Rt△ABD 中,AB=a,∠ADB=30°, ∴BD= 3AB= 3a, ∴D(0, 3a,0). 1 ∵BC=CD,∠BCD=90°,从 C 点向 x 轴、y 轴作垂线,则垂线段的长度都为 BD 2 = 3 a, 2 3 3 a, a,0), 2 2

∴C(

又 A(0,0,a), 3 3 0+ a 0+ a 2 2 0+a ∴点 E 坐标为( , , ) 2 2 2 =( 3 3 a a, a, ), 4 4 2

0+0 0+ 3a 0+a 3a a 点 F 坐标为( , , )=(0, , ). 2 2 2 2 2
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11.【解题指南】(1)先假设点 M 存在,然后利用两点间距离公式作出判断. (2)先假设点 M 存在,然后利用两点间的距离公式及等边三角形的三边相等列方 程求解. 【解析】(1)假设在 y 轴上存在点 M, 满足|MA|=|MB|,可设点 M(0,y,0),则 32+(-y)2+12= 12+(-y)2+(-3)2, 由于上式对任意实数都成立,故 y 轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立. (2)假设在 y 轴上存在点 M(0,y,0),使△MAB 为等边三角形. 由(1)可知 y 轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立, 所以只要再满足|MA|=|AB|, 就可以使△MAB 为等边三角形. 因为|MA|= 32+(-y)2+12= 10+y2, |AB|=2 5. 于是 10+y2=2 5, 解得 y=〒 10. 故 y 轴上存在点 M,使△MAB 为等边三角形,此时点 M 的坐标为(0, 10,0)或 (0,- 10,0). 【探究创新】 【解析】(1)由已知得,点 P(x,y,z)在以 M(3,4,0)为球心,2 为半径的球面上, x2+y2+z2 表示原点 O 与点 P 的距离的平方,显然当 O,P,M 共线且 P 在 O 与 M 之间时,|OP|最小. 此时|OP|=|OM|-2= 32+42-2=3. ∴|OP|2=9.
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即 x2+y2+z2 的最小值是 9. (2)由题意可知,O,A,B,C 为一正方体中的四个顶点,且该正方体的棱长为 1, 4 1 其中 VO-ABC=V 正方体-4V 三棱锥=1- = . 6 3

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