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广西柳州铁路第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


柳州铁一中学 2015-2016 学年第一学期高二年级期考 数学(文)科试卷
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 全卷满分 15 0 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ? 3,x ? R ,B ? x x ? 1

? 0,x ? N ,则 A ? B ? ( A.{0,1} B.{0,1,2} C.{2,3}

?

?

?

?



D.{1,2,3} ) D.1 ) D.

2 2.若复数 a ? 1 ? ? a ? 1? i (i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a=(

?

?

A. ?1 B.-1 C.0 3.设向量 a,b 均为单位向量,且|a+b|=1,则向量 a 与 b 的夹角为( A.

? 3
?
6

B.

? 2

C.

4.设命题 p:函数 y ? cos 2 x 的最小正周期为 是x? 对称.则下列判断正确的是( B. ? q 为假 )

? ? ;命题 q:函数 f ( x ) ? sin( x ? ) 的图象的一条对称轴 3 2
C. p ? q 为真 D. p ? q 为假

2? 3

3? 4

A.p 为真

5.如图,设 D 是图中边长为 1 的正方形区域,E 是分别以 B、D 为圆心,1 为半径的圆的公共部分,向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的概率为( )

? ?1 4 ? ?2 C. 4
A.

B.

? ?1 2 ? ?2 D. 2


6.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的 S 为( A. a1 ? x0 (a3 ? x0 (a0 ? a2 x0 )) 的值 B. a3 ? x0 (a2 ? x0 (a1 ? a0 x0 )) 的值 C. a0 ? x0 (a1 ? x0 (a2 ? a3 x0 )) 的值 D. a2 ? x0 (a0 ? x0 (a3 ? a1x0 )) 的值

开始

输入 a0,a1,a2,a3,x0 k=3,S=ak k>0 是 k=k -1 否 输出 S

S ? ak ? S ? x0

结束

2 7.等差数列{an}中,an≠0,且 2a3 ? a7 ,则 ? 2a11 ? 0 a7 的值为( A.8 B.4 C.2

) D.0

8.过点(4,0)且斜率为 ?

3 2 2 的直线交圆 x ? y ? 4 x ? 0 于 3
) C.2 D.4
1

A,B 两点,则弦长|AB|等于(
A. 2 3 B. 3

9.一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的外接球的表面积为( A.32 ? B.34 ? C.36 ? D.38 ?



10. 如图, 有四个平面图形分别是三角形、 平行四边形、 直角梯形、 圆. 垂直于 x 轴的直线 l : x ? t (0 ? t ? a) 从原点 O 开始向右平行移动,l 在移动过程中扫过平面图形(图中阴影部分)的面积为 y,若函数 y=f(x) 的大致图象如下右侧图,则平面图形的形状不可能是( )

11.定义在 R 上的函数 y=f(x),满足 f (1 ? x) ? f ( x), ( x ? ) f '( x) ? 0 ,若 x1<x2 且 x1+x2>1,则有( A.f(x1)<f(x2) 12.如图,已知双曲线 B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.不能确定

1 2



x2 y2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的左右焦点 a 2 b2

分别为 F1、F2,|F1F2|=8,P 是双曲线右支上的一点,直线 PF2 与 y 轴交于点 A,△APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q, 若|PQ|=2,则该双曲线的离心率为( ) A.3 B.2 C. 3 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. D. 2

? x ? y ?1 ? 13.已知 x,y 满足 ?2 x ? y ? 4 ,则函数 z =x+3y 的最大值是________. ? x ?1 ?
14.设函数 f ( x ) ? ?

?log 3 x, (x ? 0) 1 ,则 f ( ? ) 的值为 9 ? ? f (? x ), ( x ? 0)

. . .

15.等比数列{an}的前项和为 Sn,a1=1,若 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 S4 等于 16.已知 a,b 都是正实数,且满足 log9 (9a ? b) ? log3 ab ,则 3a+b 的最小值为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算 步 骤) 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a+c =2,△ABC 的面积为

cos B b ?? . cos C 2a ? c

3 ,求边 b 的值. 4

18. (本小题满分 12 分) 已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表,
2

x
人数 A l4 B 40 36 8 C 10

y
A B C

a
28

b
34

若抽取学生 n 人,成绩分为 A(优秀)、B(良好)、C(及格)三个等级,设 x,y 分别表示数学成绩与地理成绩. 例如:表中地理成绩为 A 等级的共有 14+40+10=64 人,已知 x 与 y 均为 A 等级的概率是 0.07. (Ⅰ)设在该样本中,数学成绩优秀率是 30%,求 a,b 的值; (Ⅱ)在地理成绩为 B 等级的学生中,已知 a ? 8, b ? 6 ,求数学成绩为 A 等级的人数比 C 等级的人数多的概 率.

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,E、F 分别为 PC、BD 的中点,平面 PAD⊥平面 ABCD, 且 PA=PD=

2 AD. 2

(Ⅰ)求证:平面 PAB⊥平面 PCD; (Ⅱ)若 AD=2,求三棱锥 F-BEC 的体积.

20.(本小题满分 12 分) 已知 F1、F2 是椭圆

x2 y 2 2 ? 2 = 1 (a > b > 0)的两个焦点,O 为坐标原点,点 P(-1, )在椭圆上,且 2 a b 2 uuu r uuuu r PF1 ? F1F2 ? 0, e O 是以 F1F2 为直径的圆,直线 l :y=kx+m 与⊙O 相切,并且与椭圆交于不同的两点 A、B.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)当 OA ? OB ? ? ,且满足

uur uu u r

2 3 ? ? ? 时,求弦长|AB|的取值范围. 3 4

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 1 x ? (a ? ) x ? ln x ,其中 a>0. 2 a

(Ⅰ)当 a =2 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的方程; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间.

3

22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程.

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xOy ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为: ? ? 2 5 sin ? . (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于 A,B.若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求|PA|+|PB|.

4

1.D 13.

2.B 7

3.C

高二数学期考文科答案 4.B 5.D 6.C 7.B 14. 2 15. 15

8.A

9.B

10.C

11.A

12.B

16. 12 ? 6 3

17. 解: (1)由正弦定理可得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ,代入已知得

cos B sin B ?? cos C 2sin A ? sin C

即 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 ∵ A? B ?C ?? ∴ sin( B ? C ) ? sin A

即 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0

故 2sin A cos B ? sin A ? 0 ,即 sin A(2 cos B ? 1) ? 0 ∵ sin A ? 0 ∴ cos B ? ?

1 2? ,又 B ? ? 0, ? ? ∴ B ? 2 3

………………6 分

(2)因为 S ?ABC ?

3 1 3 ? ac sin B ? ac ,∴ac=1 4 2 4

∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c)2 ? ac =3 ∴b ? 3 . ………………12 分

19.解: (1)连接 AC ,则 F 是 AC 的中点,又? E 为 PC 的中点,

? 在 ?CPA 中, EF ? PA ,
又? EF ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD ,

? EF ?平面 PAD ;
(2)? 平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,

CD ? 平面 ABCD , CD ? AD , ? CD ? 平面 PAD ,又? PA ? 平面 PAD ,? CD ? PA ,

? PA ? PD ?
且 ?APD ?

2 AD ,? ?PAD 是等腰直角三角形, 2

,即 PA ? PD , 2 又? CD ? PD ? D ,? PA ? 平面 PCD , 又? PA ? 平面 PAB , ? 平面 PAB ? 平面 PCD .
5

?

1 uuu r uuuu r 1 2 2 20. 解: (Ⅰ) 由 PF1 .F 得 PF1 ? F1 F2 , 可得 c ? 1 。 将点 P(-1, )代入椭圆方程得 2 ? 2 ? 1 , 1 2F ? 0 2 a b 2 2 2 2 2 又因为 a ? b ? c ? 1 ,联立解得 a ? 2, b ? 1 , x2 ? y2 ? 1 。 故椭圆方程为 2 |m| (Ⅱ)直线 l :y=kx+m 与⊙O 相切,则 ? 1 ? m2 ? k 2 ? 1 。 2 k ?1 2 ?x ? ? y2 ? 1 由? 2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ? y ? kx ? m ? 因为直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、 B.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
?4km 2m 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 m 2 ? 2k 2 y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k 2 x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2 ? 1 ? 2k 2 uur uu u r 1? k 2 2 1? k 2 3 1 ??? ? ? ? ? k2 ?1 ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 2 1 ? 2k 3 1 ? 2k 4 2
2 ∴ ? ? 0 ? k ? 0 ? k ? 0 , x1 ? x2 ?

∴ AB ? 1 ? k 设u ? k4 ? k2 ?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 2

4 ? k 4 ? k 2 ? ?1

2?k 4 ? k 2 ?

3 ?1 ? ? k 2 ? 1? ,则 ? u ? 2 , 4 ?2 ? 2u 1 1 3 AB ? 2 ?2 ? , u ? [ , 2] 4u ? 1 2 2 ? 4u ? 1? 4

6 4 ? AB ? 。 2 3 1 5 21.解: (Ⅰ)当 a=2 时, f ?( x) ? x ? ? x 2 1 f ?(1) ? ? f (1) ? ?2 2
在 ? , 2 ? 上单调递增 4 ∴ 切线方程为:x+2y+3=0 ------------5 分

?3 ?

? ?

6

-----12 分 22 . (Ⅰ )由 ? ? 2 5 sin ? ,可得 ? 2 ? 2 5? sin ? , ∴ x2 ? y 2 ? 2 5 y ,则圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5 . (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ? 即 t ? 3 2t ? 4 ? 0 .
2

……4 分

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 , 2 2

由于 ? ? (?3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 △=.故可设 t1、t2 是上述方程的两个实根, 所以 ,又直线 l 过点 P (3, 5) ,

故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=| t1|+|t2|= t1+t2= 3 2 .

7


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