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福建省福州三中2013届高三12月月考数学理试题


福建省福州三中 2013 届高三 12 月月考

数学(理)试题
注意事项: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ 卷

(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的。 1.设全集 ? ={1, 2,3, 4,5} ,集合 A={1,2,3},B={2,4},则图中的阴影部分表示的集合为

A.{2} C.{1,3}

( ) B.{4} D.{2,4}

“ 2.命题: ?x ? R, 2sin x ? 1" 的否定是
( A. ?x ? R, 2sin x ? 1 C. ?x ? R, 2sin x ? 1 ) B. ?x ? R, 2sin x ? 1 D. ?x ? R, 2sin x ? 1

3.已知某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的圆形,则该几何体的体积是 ( ) A. ? B.2 ? C.3 ? D.6 ? 4.计算

?

e

1

1 ( ? 1)dx 等于 ( x
B.



A. e

1 e2

C.1 D.e+1 2 5.过抛物线 y =4x 的焦点 F 作垂直于对称轴的直线交抛物线于 M,N 两点,则以 MN 为直径 的圆的方程是 ( ) A. ( x ? 1) ? y ? 4
2 2

B. ( x ? 1) ? y ? 4
2 2

C. ( x ? 2) ? y ? 4
2 2

D. ( x ? 2) ? y ? 4
2 2

6. 已知函数 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
3

), 若对任意 x ? R ,都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则

| x2 ? x1 | 的最小值等于
( A. 6 B. )

?

C.

?
2

D. (

?
3


7.在△ ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.甲、乙两个工人每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为

2 3 和 ,两个零件是否被 3 4

加工为一等品互独立,则 这两个工人加工的两个零件中至少有一个一等品的概率为 ( ) A.

11 12

B.

7 12

C.

5 12

D.

1 12


9. 已知 m、 是两条不重合的直线, , ? , r 是三个互不重合的平面, n 则下列命题正确的 ( ? A.若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? , 则 m ? ? B.若 ? ? ? , ? ∥ , m ? ? , 则 m ∥ ? ? C.若 D.若

? ∥ , m ∥ , n ∥ ,则 m ∥ n ? ? ? ? ∥ , m ∥ , n ⊥ ,则 m ⊥ n ? ? ?

10.对于函数 f ( x) ,若存在区间 M ? [a, b], (a ? b) ,使得 { y | y ? f ( x), x ? M } ? M ,则称 区间 M 为函数 f ( x) 的一个“稳定区间”,现有四个函数: ①f ( x) ? x ; ②f ( x) ? sin(
2

?
2

x); ③f ( x) ? 1nx; ④f ( x) ? x 3 ? 3 x

其中存在“稳定区间”的函数为 ( ) A.① B.① ②

C.①③ ② 共 100 分)

D.①④ ②

第Ⅱ (非选择题 卷
i 是虚数单位,计算

二、填空题;本大题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应位置。 11. 12.若 ? ? (0,

?
2

1 ? 2i 等于 2?i




), 且 cos 2 ? ? sin 2? , 则 tan ? ?

13 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? 于 。

? x 2 ? 3 x, x ? 0 ? 的 图 象 关 于 原 点 对 称 , 则 a?b 的 值 等 2 ?ax ? bx, x ? 0 ?

14.已知点 P 到△ ABC 的三个顶点的距离相等, AC ? 4 , AP ·AC 等于 且 则

????

??? ???? ?



15.如图所示,将数以斜线作如下分群: , (1)(2,3)(4,5,6)(8,12,10,7)(16, , , , 24,20,14,9) ,……并顺次称其为第 1 群,第 2 群,第 3 群,第 4 群,……, 1 3 5 7 9 … 2 4 8 16 … 6 12 24 48 … 10 20 40 80 … 14 28 56 112 … 18 36 72 144 … … … … … …

则第 n 群中 n 个数的和等于 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 13 分) 已知等差列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, S3 ? 9 (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式: (Ⅱ )若函数 f ( x) ? Asin(2 x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? ? ) 在 x ? a2,求函数 f ( x) 的解析式。

?
6

处取得最大值,且最大值为

17. (本小题满分 13 分) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐,已知一个单位的午餐和晚餐所含的蛋白质和维 生素 C 如下表: 蛋 白质 午 餐 晚 餐 该儿童这两餐需要的营养中至少 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C, 如果一个单 6 10 6 维生素 C 6

位的午餐、晚餐的费用分别是 3 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少, 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

18. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,CA=3CB,cosC= ? ,以 A,B 为焦点的椭圆 E 经过点 C。 (Ⅰ )求椭圆的离心率 e; (Ⅱ若 AB ? 2 3 , AB 的中心点 O 作任意一条直线与椭圆 E 交于 M、 两点求 AM . AN ) 过 N 的最大值。

1 3

???? ???? ?

19. (本小题满分 13 分) 如图,已知平行四边形 ABCD 中,BC=2,BD⊥ CD,四边形 ADEF 为正方形,平面 ADEF⊥ 平 面 ABCD。 (Ⅰ )求证:ED⊥ BC; (Ⅱ )记 CD=x,当三棱锥 F-ABD 的体积 V(x)取得最大值时,求直线 EB 与平面 DBF 所 成角的正弦值。

20. (本题满分 14 分)
2 x3 2 设函数 f ( x) ? , 对任意实数t , 记g1 ( x) ? t 3 x ? t. 3 3

(Ⅰ )求函数 y ? f ( x) ? g8 ( x) 的单调区间; (Ⅱ )求证:当 x ? 0时, f ( x) ? g t ( x)对任意正实数t成立 ; (Ⅲ )证明;有且仅有一个正实数 x0 , 使得g8 ( x0 ) ? g t ( x0 ) 对任意正实数 t 成立,并求 x0 的 值。 21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。如 、 、 果多做,则按所做的前两题记分,作答时,先在答题卡上把所选题目对应的题号填入括 号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ?

?

1 0

0 ?1

?, N ? ?

1 3

2 4

?。

(Ⅰ )求使得 MX=N 成立的二阶矩阵 X; (Ⅱ )求矩阵 X 的特征值以及每个特征值所对应的一个特征向量。 (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系中坐标原点重合,极轴与 x 轴正半轴重合,曲线 C 的极 坐标方程是 ? ? 2 5 sin ? ,点 P 的直角坐标为 (3, 5) ,直线

l过点p且倾斜角为 , 设直线l与 4
曲线C交于A 、B 两点。
(Ⅰ )写出直线 l 的参数方程 (Ⅱ )求 PA ? PB 的值。 (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5;不等式选讲 已知实数 a、b、c 满足 a 2 ? 2b 2 ? 3c 2 ? 24 。 (Ⅰ )求 a+2b+3c 的最值; (Ⅱ )若满足题设条件的任意实数 a、b、c、使不等式 a ? 2b ? 3c ? x ? 1 ? 14 恒成立,求 实数 x 的取值范围。

?


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