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【同步课件】高中数学人教A版选修2-1课件:第三章 空间向量与立体几何 本章小结


第三章 空间向量与立体几何 本章小结 知识网络建构 热点专题剖析 一、空间向量的线性运算 选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们 表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基 本要求.解题时应结合已知和所求观察图形,联想相 关的运算法则和公式等,就近表示所需向量,再对照 目标,将不符合目标要求的向量作新的调整,如此反 复,直到所有向量都符合目标要求.

【例 1】 如图 1 所示,平行六面体 → 1 → A1B1C1D1—ABCD,M 分AC成的比为 ,N 分A1D成 2 → → → 的比为 2,设AB=a,AD=b,AA1= c,试用 a、b、 → c 表示MN. 图1 → 【分析】 要用 a、b、c 表示MN,只需 结合图形,充分运用空间向量加法和数乘向量 的运算律即可. → → → 【解】 如图 1,连结 AN,则MN =MA +AN, 由已知 ABCD 是平行四边形, → → → 故AC =AB +AD= a+ b, 1→ 1 → 又MA =- AC =- (a+ b). 3 3 → 由已知, N 分A1 D成的比为 2, → → → → → 故AN=AD+DN=AD-ND= → 1→ 1 AD- A1 D= (c+ 2b). 3 3 → → → 于是MN =MA +AN= 1 1 1 - (a+ b)+ (c+ 2b)= 3 3 3 (- a+ b+ c). 【评析】 用已知向量表示未知向量,一定要结 合图形,以图形为指导是解题的关键. 二、空间向量与线面位置关系 证明平行问题,除了应用传统的线面平行的判定 定理外,还可以利用向量共线及平面的法向量进行证 明. 证明垂直问题,除了应用传统的垂直问题的判定 定理外,还可利用向量数量积进行判断,是非常有效 的方法. 【例2】 如图2,在矩形ABCD中AB=2BC,P、 Q分别为线段AB、CD的中点,EP⊥平面ABCD. (1)求证:AQ∥平面CEP; (2)求证:平面AEQ⊥平面DEP. 图2 【分析】 证明线面平行问题,可以利用与平面 内的直线平行进行判定,也可以利用直线与平面的法 向量垂直,也可用传统方法求证.面面垂直可以利用 面面垂直的判定定理求证,也可用向量法求证.同时, 也可用两平面的法向量垂直求证. 【证法一】 (1)∵EP⊥ 矩形 ABCD 所在的平面, 且P、Q均为AB,DC的中点,∴PQ⊥AB,故以P为坐 标原点,以PA,PQ,PE分别为x轴,y轴,z轴建系如 右图3. 令AB=2,PE=a,则 A(1,0,0),Q(0,1,0),E(0,0,a), C(-1,1,0). 图3 → → ∵AQ= (- 1,1,0),PC=(- 1,1,0), → → → → ∴AQ=PC,∴AQ∥PC,∴ AQ∥ PC. ∵ AQ?面 EPC, PC?面 EPC, ∴ AQ∥面 EPC. (2)∵ D(1,1,0), E(0,0, a) → → ∴PD= (1,1,0),PE=(0,0, a), → → ∴AQ· PD=(- 1,1,0)· (1,1,0)=- 1+ 1= 0, → → AQ· PE=(- 1,1,0)· (0,0, a)= 0. → → → → ∴AQ⊥PD,AQ⊥PE, 即AQ⊥PD,AQ⊥PE, ∴AQ⊥面EPD,AQ?面AEQ, ∴面AEQ⊥面DEP. 【证法二】 传统法. (1)在矩形ABCD中, AP=PB,DQ=QC,∴AP綊QC, ∴四边

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