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江苏省苏州大学2016届高考考前指导卷数学试卷2 Word版含答案


苏州大学 2016 届高考考前指导卷(2)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上 . ........ 1.设集合 A ? {x | x ? 2} , B ? {x | x ? 4} ,则 A ? B ? 2.已知 z ? ▲ .

4 (i 是虚数单位),则复数 z 的实部为 ▲ . 1? i
. T←1 i←3 While T <10 T←T +i i←i+2 End While Print i
A F E
x ?2

3.抛物线 y ? x2 的焦点坐标为 ▲

π? ? 4.函数 y=2sin 2x-6 与 y 轴最近的对称轴方程是 ▲ .

?

?

5.一个盒子里装有标号为 1,2,3,4,5 的 5 张标签,随机地抽取了 3 张 标签,则取出的 3 张标签的标号的平均数是 3 的概率为 ▲ . 6.根据如图所示的伪代码,最后输出的 i 的值为 ▲ .

7.已知等差数列{an}的公差为 2, 且 a1,a2,a5 成等比数列, 则 a2= ▲ . 8.如图,三棱锥 A ? BCD 中, E 是 AC 中点, F 在 AD 上,且 2AF ? FD , 若三棱锥 A ? BEF 的体积是 2,则四棱锥 B ? ECDF 的体积为 ▲ . 9.平行四边形 ABCD 中,已知 AB=4,AD=3,∠BAD=60° ,点 E, → → → → → → F 分别满足AE=2ED,DF=FC,则AF· BE= ▲ . 10.在平面直角坐标系中,过原点 O 的直线 l 与曲线 y ? e
B

D

交于不
C

同的两点 A,B,分别过 A,B 作 x 轴的垂线,与曲线 y ? ln x 分别交 于点 C,D,则直线 CD 的斜率为 ▲ . 11.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点 F1 和右焦点 F2 ,上顶点为 A , AF2 的中垂线交 a 2 b2

椭圆于点 B ,若左焦点 F1 在线段 AB 上,则椭圆离心率为 ▲



12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, A ? 2C , c ? 2 , a 2 ? 4b ? 4 ,则 a = ▲ .

? ?a ? x +1 , x ≤1, 13. 已知函数 f ( x) ? ? 函数 g ( x) ? 2 ? f ( x) , 若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 恰有 4 2 ( x ? a ) , x ? 1, ? ?
个零点,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 14.数列 {an } 中,若 ai ? k 2 ( 2k ≤ i ? 2k ?1 , i ? N * , k ? N ) ,则满足 ai ? a2i ≥100 的 i 的 最小值为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必 ........
1

要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

3 已知向量 a= (sin x, ) ,b=(cos x,-1). 4
(1)当 a∥b 时,求 cos2x-sin 2x 的值; (2)设函数 f(x)=2(a+b)· b,已知 f ( ) ?

?

2

3 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin ? 的值. 4 2

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC ? 90?,AB ? BC ? BB1 ,点 D, E 分别为 的中点. BC, CC 1 (1)求证: B1 D ? 平面 ABE ; (2)若点 P 是线段 B1D 上一点且满足

B1 P PD

?

1 2

,求证: A1P ∥平面 ADE .
A1 C1

B1 P E

A D B

C

17. (本小题满分 14 分)

2

已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 与 x 轴负半轴的交点为 A,点 P 在直线 l: 3x ? y ? a ? 0 上,过 点 P 作圆 O 的切线,切点为 T. (1)若 a=8,切点 T ( 3, ?1) ,求直线 AP 的方程; (2)若 PA=2PT,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体,给人于美的享受.如图(1)为一花窗; 图(2)所示是一扇窗中的一格,呈长方形,长 30 cm,宽 26 cm,其内部窗芯(不含长方形 边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条 对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为 x cm 和 y cm,窗芯所需条形木料的长度之 和为 L. (1)试用 x,y 表示 L; (2)如果要求六根支条的长度均不小于 2 cm,每个菱形的面积为 130 cm2,那么做这 样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)?

26cm

x

y

30cm
图1 图2

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? k ? 1)e x (e 为自然对数的底数,e ? 2.71828 , k ? R ) .
3

(1)当 x ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)①若对于任意 x ?[1,2] ,都有 f ( x) ? 4 x 成立,求 k 的取值范围; ②若 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明: x1 ? x2 ? 2k .

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? , ?bn ? 分别满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2 , 且 b1 ?? 1 , 设数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn . (1)若数列 ?an ? , ?bn ? 都为递增数列,求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?cn ? 满足:存在唯一的正整数 k ( k ≥ 2 ),使得 ck ? ck ?1 ,称数列 ?cn ? 为 “ k 坠点数列”. ①若数列 ?an ? 为“5 坠点数列”,求 Sn ; ②若数列 ?an ? 为“ p 坠点数列”,数列 ?bn ? 为“ q 坠点数列”,是否存在正整数 m , 使得 Sm?1 ? Tm ?若存在,求 m 的最大值;若不存在,说明理由.

bn?1 * 其中 n ? N , ?2 , bn

苏州大学 2016 届高考考前指导卷(2)参考答案
(2, 4) . 1.
9.-6. 2. 2. 10.1. 3. (0, ) . 11.

1 4

4.x ? ? . 12. 2 3 .
4

? 6

5. .

1 5

6. 9.

7. 3. 14.128.

8. 10.

3 . 3

13. 2 ? a ≤3 .

解答与提示 1. A ? B ? (2, 4) . 2.由题意 z =

p 1 4 ? 2 ? 2i ,所以其实部为 2. 3. 2 p ? 1 , ? ,所 2 4 1? i

以抛物线的焦点坐标为 (0, ) .4.由 2 x ? 当 k ? ?1 时,直线 x ? ?

1 4

? ? k? ? ? k ? ? ( k ? Z )时, x ? ? ;因此, 6 2 2 3

?
6

是与 y 轴最近的对称轴. 5.从 1,2,3,4,5 这五个数中任取

3 个数,用列举法可知,共有 10 种情况,而其中三个数的平均数是 3 的只有 1,3,5 和 2, 3 ,4 两种情况,所以所求概率为 p ?

2 1 ? . 6 . T ? 1, i ? 3; T ? 4, i ? 5; T ? 9, i ? 7; 10 5

T ? 16, i ? 9. 则最后输出的 i 的值为 9. 7.由 a22 ? a1a5 可知 (a1 ? 2)2 ? a1 (a1 ? 8) ,解得

a1 ? 1 ,即 a2 ? 3 . 8.因为
1 S? AEF S? ACD ? 2 1 2
为 AE ?

AE ? AF ? sin A ? AC ? AD ? sin A

1 6

, V总 = 6VA? BEF ? 12 ,则四棱锥 B ? ECDF 的体积为 10. 9.因

???

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ??? ??? ??? 2 ??? ? ??? 2 ??? AD , AF ? AD ? DF ? AD ? AB ; BE ? BA ? AE ? AD ? AB ,那么 3 2 3 ? 2 1 ??? 2 2 ??? ??? ? ? 1 ??? ? ? 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? AB ? ? ? AD ? AB ? ? AD ? AB ? AB ? AD ? 6 ? 8 ? 4 ? ?6 . 3 2 3 2 ? ? ?3 ?
x1 ? 2 x2 ? 2

??? ? ???

AF ? BE ? ? AD ?

10. 设 A( x1, e ) ,B ( x2 , e

则由点 O, A, B 共线可知 ),

e x ?2
1

x1

?

e x ?2
2

x2

, 可化为 e

x1 ? x2

?

x1 x2



得到 x1 ? x2 ? ln

ln x1 ? ln x 2 x2 x1 ? ,故有 kCD ? ? 1 . 11 .由题意知 AB ? BF2 ,设 x2 x1 ? x 2 x1 ? x 2

ln

x1

BF1 ? x ,则 x ? x ? a ? 2a ,所以 x ?

a 3c b , ? ) ,代入椭圆 ,故 AF 1 ? 2F 1B ,易求得 B ( ? 2 2 2

9c2 b2 c2 1 3 4 4 方程得 2 ? 2 ?1 ,解得 2 ? ,所以 e ? . 12 . 在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 a 3 3 a b
4b ? 4 ? 4 ? b2 ? 4b cos 2C ,即 b2 ? 4b(1 ? cos2C) ? 8 ? 0 ,故 b2 ? 8b cos 2 C ? 8 ? 0 ,由正弦
定理得

2 b?1 2 b ?1 b(b ? 1) ? ,即 cosC ? ,所以 b2 ? ? 8 ? 0 ,解得 b ? 4 ,所以 sin 2 C sin C 2 2

a 2 ? 4b ? 4 ? 12 , a ? 2 3 .
13 .由题意当 y ? f ( x) ? g( x) ? 2 ? f (x )? 1 ? ? 0时,即方程 f ( x) ? 1 有 4 个解 . 又由函数 直 y ? a ? x ? 1 与函数 y ? ( x ? a) 2 的大致形状可知,

5

?a ? x +1 , x ≤1, ? 线 y ? 1 与函数 f ( x) ? ? 的左右两支曲线都有两个交点,如下图示. 那么,有 2 ? ?( x ? a) , x ? 1,

?(1 ? a ) 2 ? 1, ? ? f ( ?1) ? 1, ? f (1) ≤1, ?

?a ? 2或a ? 0, ? 即 ?a ? 1, 解得 2 ? a ≤ 3 . 14.由 2k ≤ i ? 2k ?1 ,得 2k ?1 ≤2i ? 2k ? 2 , ai ? k 2 ,则 ?a ? 2 ≤1, ?
a2i ? (k ? 1) 2 ,所以又 ai ? a2i ≥100 可 得 k 2 ? (k ? 1)2 ≥100 , 解 得 k 的 最 小 值 是 7 , 即 i≥27 ? 128 .

cos2x-2sin xcos x 3 3 15. (1) 因为 a∥b, 所以 cos x+sin x=0, 所以 tan x=- . 故 cos2x-sin 2x= 4 4 sin2x+cos2x 1-2tan x 8 3 = = . (2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2a ? b ? 2b2 ? 2sin x cos x ? ? 2(cos2 x ? 1) 1+tan2x 5 2

? sin 2 x ? cos2 x ?

3 ? 3 ? 3 ? 2 sin(2 x ? ) ? .因为 f ( ) ? ,所以 4 2 2 2 4

? 3 2 ? ? 3 3 , f ( ) ? 2 sin(? ? ) ? ? ,即 sin(? ? ) ? ? 4 8 2 4 2 4
又 ? ? ( , ?) ,所以

? 2

? 3 2 2 46 3? ? ?? ,故 cos(? ? ) ? ? 1 ? ( , ) ?? ?? ? ? 4 8 8 4 4 4
A1 C1

? ? 2 ? ? (sin(? ? ) ? cos(? ? )) 所以 sin ? ? sin[(? ? ) ? ] ? 4 4 2 4 4 ? 2 3 2 46 ?3 ? 23 (? ? )? . 2 8 8 8

B1 E

P

16 . ( 1 ) 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , BB1 ? 面ABC ,

G F A D B C

AB ? 面ABC , 所以 BB1 ? AB , 因为 ?ABC ? 90? , 所以 BC ? AB ,
又 BC ? BB1 =B ,所以 AB ? 面BCC1B1 ,因为 DB1 ? 面BCC1 B1 ,所 以 AB ? DB1 , 因为在平面 BCC1 B1 中, 所以四边形 BCC1 B1 BC ? BB1 ,

为 正 方 形 , 因 为 点 D, E 分 别 为 B C , C 1C的 中 点 , 所 以 ?BCE ∽ ?B1 BD , 所 以

?C B E ? ? B B, D 所 以 ?CBE +?B1 DB = 1

? 2

= B, 所 以 , 即 B1 D ? BE, 又 因 为 BA? BE

B1D ? 面ABE . (2)连接 PC 交 DE 于点 F ,连接 A1C 交 AE 于点 G ,连接 FG ,在正方
形 BCC1 B1 中 利 用

B1 P PD

?

1 2

及平面几何知识可得

PF FC

? 2 , 在 正 方 形 ACC1 A1 中 利 用

6

CE ∥ AA1 且 CE =

1 2

AA1 可得

A1G GC

? 2 ,所以在 ?CA1 P 中,

A1G GC

?

PF FC

=2 ,所以 A1 P ? GF ,

又 A1P ? 平面 ADE , GF ? 平面 ADE ,所以 A1P ? 平面 ADE .17. (1)由题意,直线 PT 切于点 T,则 OT⊥PT,又切点 T 的坐标为 (4, ?3) ,所以 kOT ? ? 3 , k PT ? ? 故 直 线 PT 的 方 程 为 y ? 1 ?
3 (x ? 3

1 3 ? , kOT 3

3 ), 即 3x ? y ? 4 ? 0 . 联 立 直 线 l 和 PT ,

? 3x ? y ? 4 ? 0, ?x ? 2 3 , ? ? 解 得 ? 即 P(2 3, 2) , 所 以 直 线 ? ? ? ? y ? 2, ? 3x ? y ? 8 ? 0,
k? 2?0 2 3?2 ? 1 3 ?1 ? 3 ?1 , 故 直 线 2

AP

的 斜 率 为

AP

的 方 程 为 y?

3 ?1 ( x ? 2) , 即 2

(

3 ? x1 ? )y? 2

? 2 ?( ,即 3 x1 ?( ) 3? 01)y ? 2 ? 0 . ( 2 )设 P ( x, y ) ,由 PA = 2PT ,可得

( x ? 2)2 ? y 2 ? 4(x2 ? y 2 ? 4),即 3x2 ? 3 y 2 ? 4 x ? 20 ? 0 ,即满足 PA=2PT 的点 P 的轨迹是
一个圆 ( x ? )2 ? y 2 ?

2 3

64 2 64 , 所以问题可转化为直线 3x ? y ? a ? 0 与圆 ( x ? )2 ? y 2 ? 有 9 3 9

公共点,所以 d ?

8 2 3 16 ? a |≤ ,解得 ≤ ,即 | 3 3 ( 3) 2 ? 1 3

2 3? ?a 3

?16 ? 2 3 16 ? 2 3 ≤a≤ . 18 .( 1 ) 由 题 意 , 水 平 方 向 每 根 支 条 长 为 3 3
m? 3 0? x 2 2 ? 15 ? x cm , 竖 直 方 向 每 根 支 条 长 为 n ?
x2 ? y 2 2
y

26 ? y 2

? 13 ?

y 2

cm , 菱 形 的 边 长 为 的 长 度
1 2

x y ( )2 ? ( )2 ? 2 2

cm





















L ? 2(15 ? x) ? 4(13 ? ) ? 8 ?
2

x2 ? y 2 2

= 82 ? 4 x 2 ? y 2 ? 2( x ? y) cm. (2)由题意,

xy ? 13 ,

?15 ? x ≥ 2, 260 2 260 130 ? 2 ) ? 2( x ? ). 即y? ,又由 ? 可得 ≤x≤13 .所以 L ? 82 ? 4 x ? ( y x x x 11 13 ? ≥ 2, ? ? 2
260

令t ? x?

260 x

,其导函数 1 ?
372 11

260 x
2

?0在

130 11

≤x≤13 上恒成立,故 t ? x ?
260 x ) 2 ? 520 ? ( x ?

260

130 在[ ,13] 上 x 11

单调递减,所以可得 t ? [33,

] .则 L ? 82 ? 2[2 ( x ?

260 x

)]

2 ? 82 ? 2[ t 2 ? 520 ? t 2 ? 520 ? t ] = 82 ? 2[ t ? 520 ?

?520 t ? 520 ? t
2

].

因 为 函 数 y ? t 2 ? 520 和 y ?

?520 t 2 ? 520 ? t

在 t ? [33,

372 11

] 上均为增函数,所以

7

L ? 82 ? 2[ t 2 ? 520 ?

?520 t ? 520 ? t
2

] 在 t ? [33,

372 11

, y? 20 时 ] 上为增函数,故当 t ? 33 ,即 x ? 13

L 有最小值 16 ? 4 569 . 答: 做这样一个窗芯至少需要 16 ? 4 569 cm 长的条形木料. 19. (1)
(0, +? ) ∵ f ?( x) ? ( x ? k )e x , x ? 0 . (i)当 k ≤ 0 时, f ?( x) ? 0恒成立 ,∴ f ( x) 的递增区间是 ,

无递减区间;无极值. (ii)当 k ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得, x ? k ;由 f ?( x) ? 0 得, 0 ? x ? k ; ∴ f ( x) 的递减区间是 (0,k ) ,递増区间是 (k , +? ) , f ( x) 的极小值为 f (k ) ? ? ek ,无极大 值. (2)①由 f ( x) ? 4 x ,可得 ( x ? k ? 1)ex ? 4x ? 0 ,因为 e x ? 0 ,所以 x ? k ? 1 ? 即

4x , ex

k ? x ?1?

4x ex

对 任 意
x

x ?[ 1 , 恒 2 成 ] 立 , 记

g( x ? )

4x ? x 1x? , 则 e

4 ( ? x1 g ?( x ? ) ? 1 x ? e

) ? e
x

xe ?

4 ( 1 ) ,因为 x ?[1,2] ,所以 g ?( x ) ? 0 ,即 g ( x) 在 x ?[1,2] 上单 8 e2 ? 8 e2 ? 8 ? ( , ??) .②由已 .所以实数 k 的取值范围为 e2 e2 e2

调递增,故 g ( x) max ? g (2) ? 1 ?

知 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) ,结合(1)可知, k ? 0 , f ( x) 在 (??, k ) 上单调递减,在 (k , +?) 上 单调递增,又 f (k ? 1) ? 0 , x ? k ? 1 时, f ( x) ? 0 .不妨设 x1 ? k ? x2 ? k ? 1 ,此时 x2 ? k ,
2k ? x1 ? k ,故要证 x1 ? x2 ? 2k ,只要证 2k ? x1 ? x2 ,只要证 f (2k ? x1 ) ? f ( x2 ) ,

因 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即证 f (2k ? x1 ) ? f ( x1 ) .设
h( x) ? f (2k ? x) ? f ( x) ?

(? x ? k ? 1)e2k ? ( x ? k ? 1)ex ( x ? k ) , ex

h?( x) ?

( x ? k )(e 2 k ? e 2 x ) ( x ? k )e2k x ? , ? ( x ? k )e ex ex

∴ 当 x ? k 时 , h?( x )? 0, h( x) 在 (??, k ) 上 单 调 递 减 , ∴ x ? (??, k ) 时 ,
f x) f x1)成 立 , , 即 f (2k ? x1 ) ? ( h( x )? h k( ?) ?ek ? ek ? , 0 故 当 x ? k 时 , f ( 2k ? x )? (

∴ x1 ? x2 ? 2k .20.(1)数列 ?an ? , ?bn ? 都为递增数列,∴ an?1 ? an ? 2 , b2 ? ?2b1 ,

??1, n ? 1, (2)①∵数列 ?an ? 满足: bn?2 ? 2bn?1, n ? N? ,∴ an ? 2n ? 1, bn ? ? n ?1 ?2 , n≥ 2.
存 在 唯 一 的 正 整 数 k =5 , 使 得 ak ? ak ?1 , 且 an?1 ? an ? 2 , ∴ 数 列 ?an ? 必 为 ,即前 1 , 3 , 5 , 7 , 5 , 7 ??? ,9 , 1 1 , 4 项为首项为 1,公差为 2 的等差数列,从第 5 项开始为首项 5, 公差为 2 的等差数列,
2 ? n ≤ 4, ?n , 故 Sn ? ? 2 ? ?n ? 4n ? 15, n≥5.

2 2 ② ∵ bn | bn |? 2n?1 . 而数列 ?bn ? 为“ q 坠点数列”且 ?1 ? 4bn ,即 bn ?1 ? ?2bn , ?

b1 ? ?1 ,∴数列 ?bn ? 中有且只有两个负项.假设存在正整数 m ,使得 Sm +1 ? Tm ,显

8

然 m ? 1 , 且 Tm 为 奇 数 , 而 ?an ? 中 各 项 均 为 奇 数 , ∴ m 必 为 偶 数 .

Sm?1 ? 1? 3 ????? ? 2m ? 1? ? (m ? 1)2 .
i.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 21 ???? ? 2m?2 ? 2m?1 ? 2m ? 3. 当 m≥6 时, 2m ? 3 ? (m ? 1)2 ,故不存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立. ii.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 21 ???? ? 2m?2 ? 2m?1 ? ?3 ? 0 , 显然不存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立. iii.当 q ? m 时, Tm ≥ ? 1 ? 21 ? ??? ? +2m ?3 ? ?2m ? 2 ? 2m ?1 ? 2m ?1 ? 3 , 当 2m?1 ? 3≤(m ? 1)2 时,才存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立,所以 m≤6 . 当 m ? 6 时, q ? 6 ,构造: ?an ? 为 1,3,1,3,5, 7,9, ??? , ?bn ? 为 ?1, 2, 4,8, ?16,32, ??? 此时 p ? 3 , q ? 5 ,所以 m 的最大值为 6 .

?

? ?

?

9


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