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2.2 平面向量的线性运算(四人)


2.2 平面向量的线性运算
一、加法
1、向量( AB + MB )+( BO + BC )+ OM 等于 ( A: BC B: AB C: AC ) D: AM )

2、已知向量 a 表示“向东航行 1km”向量 b 表示“向南航行 1km”则 a + b 表示向 ( A:东南航行 3 km B:东南航行 2km C:东北航行 2 km D:东北航行 2km

→ → → → 3、在平行四边形 ABCD 中,设AB= a ,AD= b ,AC= c ,BD= d ,则不成立的是 ( A: a + b = c B: a + d = b C: b + d = a D:︱ a + b ︱=︱ c ︱

)

4、若 a 、 b 为非零向量,则下列说法中不正确的是 (

)

A:若向量 a 与 b 方向相反,且︱ a ︱>︱ b ︱,则向量 a + b 与 a 的方向相同 B:若向量 a 与 b 方向相反,且︱ a ︱<︱ b ︱,则向量 a + b 与 a 的方向相同 C:若向量 a 与 b 方向相同,则向量 a + b 与 a 的方向相同 D:若向量 a 与 b 方向相同,则向量 a + b 与 b 的方向相同 5、若 a 、 b 、 a + b 为非零向量,且 a + b 平分 a 与 b 的夹角,则 ( A: a = b B: a ⊥ b C:︱ a ︱=︱ b ︱ D:以上都不对 )

6、△ABC 中,D、E、F 分别是边 AB、BC、AC 的中点,则下面结论正 确的是 ( ) B: DE + AF = 0 D: AB + BC + AC ≠ 0

A: AE = AD + FA C: AB + BC + CA ≠ 0

7、 已知下列各式: ① AM + MB + BA ; ② AB + CA + BD + DC ; ③ OA + OC + BO + CO ,其中结果为零向量的个数为 ( A:0 B:1 C:2 ( ) A:0 B:3 C: 2 D:2 2 ) D:3

8、已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB = a 、 BC = b 、 AC = c ,则︱ a + b + c ︱等于

9、在四边形 ABCD 中, AC = AB + AD ,则四边形 ABCD 一定是( A:矩形 B:菱形 C:正方形
1

)

D:平行四边形

10、下列命题中正确的个数为 (

)

①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,那么 a + b 的方向必与 a 、 b 之一的方向相同; ②在△ABC 中,必有 AB + BC + CA = 0 ; ③若 a 、 b 均为非零向量,则︱ a + b ︱与︱ a ︱+︱ b ︱一定相等; ④若 AB + BC + CA = 0 ,则 A,B,C 为一个三角形的三个顶点; A:0 B:1 C:2 D:3

11、根据右图填空: b + c =________;

a + d =________; e + g =________。

f + e =________; b + c + d =________;

12、如图右所示,已知梯形 ABCD,AD∥BC,则 OA + AB + BC = ________。 → 0 13 、已知︱ OA ︱=︱ a ︱= 3 ,︱ OB ︱=︱ b ︱= 3 ,∠ AOB = 90 ,则︱ a + b ︱= ________。

14、已知在菱形 ABCD 中,∠DAB=60 ,若︱ AB ︱=2,则︱ BC + DC ︱=_______。

0

15、在三角形 ABC 中,D 是边 BC 上的一点,在以下条件下,把 AD 表示成 AC , AB 。 (1)若 D 是边 BC 的中点,则 AD =_______________; (2)若 D 满足 BD=

1 DC,则 AD =________________。 3

16、已知任意平面四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点. 求证: EF =

1 ( AB + DC )。 2

D E A

C F B

2

二、减法
1、设 e1 、 e2 是两个单位向量,则下列结论中正确的是 ( A: e1 = e2 B: e1 ∥ e2 C: e1 =- e2 )

D:︱ e1 ︱=︱ e2 ︱

2、若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式成立的是 ( A: EF = OF + OE C: EF =- OF + OE B: EF = OF - OE D: EF =- OF - OE

)

3、下列各式中不能化简为 PQ 的是 ( A: AB +( PA + BQ ) C: QC - QP + CQ

)

B: PA + AB - BQ D:( AB + PC )+( BA - QC )

4、如右图,正六边形 ABCDEF 中, BA + CD + EF = ( A: 0 B: BE C: AD

) D: CF

5、如右图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是 ( A: AB = DC C: AB - AD = BD B: AD + AB = AC D: AD + CB = 0

)

→ 6、 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O, 设 OA = a , 用a 、 OB = b , b 表示向量BC为 ( A: a + b B:- a - b C:- a + b D: a - b

)

7、设 a 、 b 为非零向量,且满足︱ a - b ︱=︱ a ︱+︱ b ︱,则 a 与 b 的关系是 ( A:共线 B:垂直 C:同向 D:反向

)

8、边长为 1 的正三角形 ABC 中,︱ AB - BC ︱的值为 ( A:1 B:2 C:

) D: 3

3 2

9、在平行四边形 ABCD 中,若︱ AB + AD ︱=︱ AB - AD ︱,则必有 ( A: AD = 0 C: AB = 0 或 AD = 0 B:四边形 ABCD 是矩形 D:四边形 ABCD 是正方形

)

3

10、化简: (1)OA - OD + AD =________; (2) AB - AC + BD - CD =________; (3) AB - AD - DC =________; (4) AB + DA + BD - BC - CA =________。

11、给出下列命题,其中所有正确命题的序号为______________: → ①若 OD + OE = OM ,则OM- OE = OD ; ②若 OD + OE = OM ,则 OM + DO = OE ; ③若 OD + OE = OM ,则 OD - EO = OM ; ④若 OD + OE = OM ,则 DO + EO = MO 。 12、若非零向量 a 与 b 互为相反向量,则下列说法中正确命题的序号为_____________。 ① a ∥b ; ②a ≠b ; ③︱ a ︱≠︱ b ︱; ④ b =- a

13、在边长为 1 的正方形 ABCD 中,设 AB = a , BC = b , AC =c,︱ c - a - b ︱= ________。 14、已知︱ OA ︱=︱ OB ︱= 2 ,且∠AOB=120° ,则︱ OA + OB ︱=________。

15、已知非零向量 a ,b 满足︱ a ︱= 7 +1,︱ b ︱= 7 -1, 且︱ a - b ︱=4, 则 ︱ a + b ︱=_______。 16、已知等腰直角△ABC 中,∠C=90° ,M 为斜边中 点,设 CM = a ,CA = b ,试用向量 a 、b 表示 AM 、

C

MB 、 CB 、 BA 。

B

M

A

17、如图所示,P、Q 是△ABC 的边 BC 上的两点,且 BP = QC ,求证: AB + AC = AP + AQ 。

4

三、数乘
1、 (1) (?3) ? 4a =___________; (2) 3(a ? b) ? 2(a ? b) ? a =___________; (3) (?2a ? b ? 2c) ? (?2a ? 3b ? 2c) =___________; (4)8(2 a - b + c )-6( a - b + c )-2(2 a + c )=___________。 2、

1 (2 a +8 b )-(4 a -2 b )]的结果是 2
B:2 b - a

(

) D: a - b

A:2 a - b

C: b - a

3、若 a = b +c,化简 3( a +2 b )-2(3 b + c )-2( a + b )= A:- a B:- b C:- c D:以上都不对

(

)

4、设 a 是非零向量, ? 是非零实数,下列结论中正确的是( A: a 与- ? a 的方向相反 C: a 与 ? a 的方向相同
2



B: ? ? a ? a D: ? ? a ? ? a
?

5、

1 ×[2(2 a +8 b )-(4 a -2 b )]化简成最简式为( ) 12
B :2 b - a C: a - b D: b - a

A:2 a - b

6、已知向量 e1 、 e2 是不共线向量,则下列各组向量中,是共线向量的是( ) ① a =5 e1 , b =7 e1 ; ③ a = e1 + e2 ; b =3 e1 -2 e2 A:①② B:①③ C:②③ D:①②③ ②a =

1 1 e1 - e2 , b =3 e1 -2 e2 ; 2 3

7、设 a 、 b 是两个非零且不共线向量,若 8 a -k b 与-k a + b 共线,则 k=( ) A:2 2 B: -2 2 C: ± 2 D: 8

8、若 AB = e1 + e2 , BC =2 e1 +8 e2 , CD =3 e1 -3 e2 ,则下列说法正确的是(
5



A: A、B、C 三点共线、 C: A、C、D 三点共线、

B: A、B、D 三点共线、 D: B、C、D 三点共线

9、已知向量 a 、 b 反向,且| a |=2,| b |=7,则 a =____ b 。 10、已知向量 e1 , e2 是不共线向量,实数 x,y 满足(3x-4y) e1 +(2x-3y) e2 =6 e1 + 3 e2 ,则 x-y=_________。 11、在四边形 ABCD 中, AB = a +2 b , BC =-4 a -2 b , CD =-5 a -3 b 是两个非零不共线的向量) ,求证:四边形 ABCD 是梯形。 ( a 、b

12、已知平行四边形 ABCD 的边 BC、CD 的中点分别为 K、 L,且 AB = e1 , AD = e2 ,试用 e1 , e2 表示 AK , LK 。

13*、如图,平行四边形 ABCD 中,E 是 DC 中点,AE 交 BD 于 M,试用向量的方法证明: M 是 BD 的一个三等分点。

6


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