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第七讲 分式方程和无理方程的解法(选上)


晋江二中初高衔接教材

第七讲 分式方程和无理方程的解法
初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法.本讲将要学习可化为一元二次 方程的分式方程的解法以及无理方程的解法.并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程 的解法,会用”去分母”或”换元法”求方程的根,并会验根;(2)了解无理方程概念,掌握可化为一 元二次方程的无理方程的解法,

会用”平方”或”换元法”求根,并会验根.

一、可化为一元二次方程的分式方程
1.去分母化分式方程为一元二次方程 【例 1】解方程

1 4x 2 ? 2 ? ?1. x?2 x ?4 x?2

分析:去分母,转化为整式方程. 解:原方程可化为:

1 4x 2 ? ? ?1 x ? 2 ( x ? 2)( x ? 2) x ? 2
方程两边各项都乘以 x ? 4 :
2

( x ? 2) ? 4x ? 2( x ? 2) ? x2 ? 4
即 3x ? 6 ? x ? 4 , 整理得: x ? 3x ? 2 ? 0
2 2

解得: x ? 1 或 x ? 2 .
2 检验:把 x ? 1 代入 x ? 4 ,不等于 0,所以 x ? 1 是原方程的解; 2 把 x ? 2 代入 x ? 4 ,等于 0,所以 x ? 2 是增根.

所以,原方程的解是 x ? 1 . 说明: (1) 去分母解分式方程的步骤: ①把各分式的分母因式分解; ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母; ③去括号,把 所有项都移到左边,合并同类项; ④解一元二次方程; ⑤验根. (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验,但代入原方程计算量较大.而分式方程可能产 生的增根,就是使分式方程的分母为 0 的根.因此我们只要检验一元二次方程的根,是否使分式 方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0.若为 0,即为增根;若不为 0,即为原方程的解. 2.用换元法化分式方程为一元二次方程 【例 2】解方程 (

x 2 2 3x 2 ) ? ?4?0 x ?1 x ?1

分析:本题若直接去分母,会得到一个四次方程,解方程很困难.但注意到方程的结构特点,

x2 ? y ,即得到一个关于 y 的一元二次方程.最后在已知 y 的值的情况下,用去分母的方法 设 x ?1

1

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解方程

x2 ? y. x ?1 x2 ? y ,则原方程可化为: y 2 ? 3 y ? 4 ? 0 x ?1
解得 y ? 4 或 y ? ?1 .

解:设

(1)当 y ? 4 时,

x2 ? 4 ,去分母,得 x2 ? 4( x ? 1) ? x2 ? 4x ? 4 ? 0 ? x ? 2 ; x ?1

x2 ?1 ? 5 (2)当 y ? ?1 时, . ? ?1 ? x 2 ? ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 ? 0 ? x ? x ?1 2
检验:把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为 0. 所以, x ? 2 , x ?

?1 ? 5 都是原方程的解. 2

说明:用换元法解分式方程常见的错误是只求出 y 的值,而没有求到原方程的解,即 x 的值. 【例 3】解方程

8( x 2 ? 2 x) 3( x 2 ? 1) ? 2 ? 11 . x2 ? 1 x ? 2x x2 ? 2 x x2 ? 1 与 互为倒数.因此,可以设 x2 ? 1 x2 ? 2 x

分析:注意观察方程特点,可以看到分式

x2 ? 2 x ? y ,即可将原方程化为一个较为简单的分式方程. x2 ? 1 x2 ? 2 x x2 ? 1 1 ? y ,则 2 解:设 2 ? x ?1 x ? 2x y
原方程可化为: 8 y ?

3 3 ? 11 ? 8 y 2 ? 11y ? 3 ? 0 ? y ? 1或y ? . y 8

(1)当 y ? 1 时, (2)当 y ?

x2 ? 2 x 1 ? 1 ? x2 ? 2 x ? x2 ? 1 ? x ? ? ; 2 2 x ?1

3 x2 ? 2 x 3 1 时, 2 ? ? 8 x 2 ? 16 x ? 3x 2 ? 3 ? 5 x 2 ? 16 x ? 3 ? 0 ? x ? ?3或x ? ? . 8 5 x ?1 8 1 1 , x ? ?3 , x ? ? . 2 5

检验:把把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为 0. 所以,原方程的解是 x ? ?

说明:解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法,将分式方程转化为整式方程,体现 了化归思想.

2

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二、可化为一元二次方程的无理方程
根号下含有未知数的方程,叫做无理方程. 1.平方法解无理方程 【例 4】解方程

x ? 7 ? x ?1

分析:移项、平方,转化为有理方程求解. 解:移项得: x ? 7 ? x ? 1 两边平方得: x ? 7 ? x ? 2 x ? 1
2

移项,合并同类项得: x ? x ? 6 ? 0
2

解得: x ? ?3 或 x ? 2 检验:把 x ? ?3 代入原方程,左边 ? 右边,所以 x ? ?3 是增根. 把 x ? 2 代入原方程,左边 = 右边,所以 x ? 2 是原方程的根. 所以,原方程的解是 x ? 2 . 说明:含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤: ①移项,使方程的左边只保留含未知数的二次根式,其余各项均移到方程的右边;②两边同 时平方,得到一个整式方程;③解整式方程;④验根. 【例 5】解方程

3x ? 2 ? x ? 3 ? 3

分析:直接平方将很困难.可以把一个根式移右边再平方,这样就可以转化为上例的模式, 再用例 4 的方法解方程. 解:原方程可化为: 3x ? 2 ? 3 ?

x?3

两边平方得: 3x ? 2 ? 9 ? 6 x ? 3 ? x ? 3 整理得: 6 x ? 3 ? 14 ? 2 x ? 3 x ? 3 ? 7 ? x 两边平方得: 9( x ? 3) ? 49 ? 14x ? x
2

2 整理得: x ? 23x ? 22 ? 0 ,解得: x ? 1 或 x ? 22 .

检验:把 x ? 1 代入原方程,左边=右边,所以 x ? 1 是原方程的根. 把 x ? 22 代入原方程,左边 ? 右边,所以 x ? 22 是增根. 所以,原方程的解是 x ? 1 . 说明:含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤: ①移项,使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式;②两边平方,得到含未知数的二次 根式恰有一个的无理方程;③一下步骤同例 4 的说明. 2.换元法解无理方程 【例 6】解方程 3x2 ? 15x ? 2 x2 ? 5x ? 1 ? 2 分析:本题若直接平方,会得到一个一元四次方程,难度较大.注意观察方程中含未知数的

3

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二次根式与其余有理式的关系,可以 发现: 3x2 ? 15x ? 3 ? 3( x2 ? 5x ? 1) .因此,可以设

x2 ? 5x ? 1 ? y ,这样就可将原方程先转化为关于 y 的一元二次方程处理.
解:设 x 2 ? 5x ? 1 ? y ,则 x2 ? 5x ? 1 ? y 2 ? 3x2 ? 15x ? 3( y 2 ? 1) 原方程可化为: 3( y 2 ? 1) ? 2 y ? 2 , 即 3 y 2 ? 2 y ? 5 ? 0 ,解得: y ? 1 或 y ? ?

5 . 3

(1)当 y ? 1 时, x2 ? 5x ? 1 ? 1 ? x 2 ? 5x ? 0 ? x ? ?1或x ? 0 ; (2)当 y ? ?

5 时,因为 x 2 ? 5x ? 1 ? y ? 0 ,所以方程无解. 3

检验:把 x ? ?1, x ? 0 分别代入原方程,都适合. 所以,原方程的解是 x ? ?1, x ? 0 . 说明:解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法,将根式方程转化为有理方程,体现了 化归思想.


A 1.解下列方程:




4

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(1)

2x ? 1 x ?5 ? ( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 2)( x ? 3)

(2)

x x?7 ? 2 2 x ? 11x ? 21 x ? 12 x ? 35
2

(3)

2 1 ? ?1 y ?4 y?2
2
2

(4)

15 2 ? ?1 x ?4 2? x
2

2.用换元法解方程: x ? 3.解下列方程: (1)

4 ?4 x2
(2)

x ? 2 ? ?x

x ?5 ? x ? 7

(3)

x?3 ?2 ? x

4.解下列方程: (1)

3x ? 1 ? x ? 4 ? 1

(2)

2x ? 4 ? x ? 5 ? 1

5.用换元法解下列方程: (1) x ? 12 ?

x ?0
B

(2) x2 ? 3x ? 组

x2 ? 3x ? 6

1.解下列方程: (1)

2x ? 5 4 1 ? 2 ? x ? 3x ? 2 x ? 4 x ? 2
2

(2)

x?4 1 x?6 ? ? 2 x ? x ? 2 x ?1 x ? 4
2

(3)

1 x ?1 1 ? ? 2 x ? 7 (2 x ? 1)( x ? 7) 2 x ? 3x ? 1

(4)

x ? 1 2x 4x ? ? 2 ?0 x ?1 x ?1 x ?1

2.用换元法解下列方程: (1)

x 2 ? 5 x 24( x ? 1) ? ? 14 ? 0 x ?1 x( x ? 5)
x4 ? 2x2 ? 1 x2 ? 1 ? ?2 x x2

(2)

2( x 2 ? 1) 6( x ? 1) ? 2 ?7 x ?1 x ?1

(3)

3.若 x ? 1 是方程 4.解下列方程: (1)

x 1 ? ? 4 的解,试求 a 的值. x?a x?a

3 ? 2x2 ? 4x ? 1 2 x ? 2x ? 3

(2)

3x 6 x2 a?x ? 2 ? 2 x?a a ?x x?a

5.解下列方程: (1) x2 ?

x2 ? 1 ? 3

(2)

x ? 10 ?

6 x ? 10

?5

(3) 2x2 ? 4x ? 3 x2 ? 2x ? 6 ? 15

5

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第七讲 分式方程和无理方程的解法答案
A 组 1. (1) x ? ?1 ,(2) x ? ?1, x ? ?21,(3) y ? 0, y ? 1,(4) x ? 3, x ? ?5 2. x ? ? 2 3. (1) x ? ?1, (2) x ? 6, (3) x ? 4.(1) x ? 5 .(2) x ? 20 . 5. (1) x ? 9,(2) x ? 1, x ? ?4 B 组 1. (1) x ? ?1 ? 13, (2) x ? 3, (3) x ? 5, x ? ?1, (4) x ?

5 ?3 2

1 3

2. (1) x ? 1, x ? 2, x ? ?3, x ? ?4,(2) x ? 1 ? 2, x ?

3 ? 17 ,(3) x ? ?1 4

3. ?

2 2 2?3 2 1 , (2) x ? ? a 2 2

4. (1) x ? 0, x ? 2, x ?

5. (1) x ? ? 2,(2) x ? 26,(3) x ? 3, x ? ?1

6


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