当前位置:首页 >> 数学 >>

4.1.2圆的一般方程教学设计


4.1.2 圆的一般方程教学设计
三维目标:
知识与技能 :
(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方 程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方 程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件.

(2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方 程.能用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法:通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发 现及分析解决问题的实际能力。 情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励 学生创新,勇于探索。

教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据
已知条件确定方程中的系数,D、E、F.

教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用
教 具:多媒体、实物投影仪
新疆

新疆

王新敞
学案

王新敞
学案

教学过程:
课题引入:
问题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦, 得用直线的知识解决又有其简单的局限性, 那 么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形 式——圆的一般方程。

探索研究:
请同学们写出圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理: x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
取 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a ? b ? r 得
2 2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
这个方程是圆的方程.



反过来给出一个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗? 把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得

(x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

② ( 配方过程由学生去完成 ) 这个方程是不

是表示圆? (1)当 D2+E2-4F>0 时,方程②表示(1)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示以(1 E )为圆心, D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; 2 2
2 2 (2)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ?

D , 2

D E , y ? ? ,即只表示一个 2 2

点(-

E D ,- ); 2 2
2 2
新疆

(3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 综上所述,方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆
2 2
新疆 学案

王新敞
学案

王新敞

只 有 当 D ? E ? 4F ? 0 时 , 它 表 示 的 曲 线 才 是 圆 , 我 们 把 形 如

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的表示圆的方程称为圆的一般方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4
2
新疆

王新敞
学案

我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系 数,圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征 明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 知识应用与解题研究:

例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆 心及半径。

?1? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ? 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0
学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的 一般方程的判断方法求解。但是,要注意对于 ?1? 4x2 ? 4 y2 ? 4x ?12 y ? 9 ? 0 来说,这 里的

9 D ? ?1, E ? 3, F ? 而不是D=-4,E=12,F=9 . 4
例 2:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆 心坐标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而 条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程
新疆

王新敞
学案

解:设所求的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ∵ A(0,0), B(11 , ),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上 面的方程,可以得到关于 D, E, F 的三元一次方程组,

?F ? 0 ? 即 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?
解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0
2 2
新疆

王新敞
学案

∴所求圆的方程为: x ? y ? 8x ? 6 y ? 0

新疆

王新敞
学案

r?

1 D F D 2 ? E 2 ? 4 F ? 5 ; ? ? 4,? ? ?3 2 2 2
2 2

新疆

王新敞
学案

得圆心坐标为(4,-3). 或将 x ? y ? 8x ? 6 y ? 0 左边配方化为圆的标准方程, ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 ,从
2 2

而求出圆的半径 r ? 5 ,圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤: ①、根据提议,选择标准方程或一般方程; ②、根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; ③、解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。
新疆

王新敞
学案

2 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4 运动, 2

求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

分析:如图点 A 运动引起点 M 运动,而点 A 在已知圆上运动,点 A 的坐标满足方程

? x ? 1?

2

? y 2 ? 4 。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建立点 M 的坐标满足的条
A 的 坐 标 是

件,求出点 M 的轨迹方程。 解 : 设 点 M 的 坐 标 是 ( x,y ) , 点

3? 且M是线段AB的重点,所以 ? x0 , y0 ?.由于点B的坐标是? 4,
x0 ? 4 y ?3 ,y? 0 , 2 2 于是有x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 x?
2



因为点A在圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 上运动,所以点 A 的坐标满足方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 ,
2 2 即 ? x0 ? 1? ? y0 ? 4 2

? x0 ? 1?

2

? y0 2 ? 4



把①代入②,得

p130
2 2 3? ? 3? ? 2 x ? 4 ? 1? ? ? 2 y ? 3? ? 4, 整理,得 ? ? x- ? ? ? y ? ? ? 1 2? ? 2? ?

2

2

?3 3? 所以,点M的轨迹是以? , ? 为圆心,半径长为1的圆 ?2 2?
6

y
4

A
2 -5

M

B
5

O
-2

x

-4

课堂练习:课堂练习 p130 第 1、2、3 题 小结 :

1.对方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆) 2.与标准方程的互化 3.用待定系数法求圆的方程 4.求与圆有关的点的轨迹。
新疆

新疆

王新敞
学案

王新敞
学案

新疆

王新敞
学案

课后作业: p130 习题 4.1 第 2、3、6 题


相关文章:
4.1.2圆的一般方程 课堂教学设计表
4.1.2圆的一般方程 课堂教学设计表_数学_高中教育_教育专区。课 堂 教 学 设 计 表 章节名称 人教 A 版高中一年级必修二第四章第一节第二课时 《圆的一般...
必修二 4.1.2 圆的一般方程教案
必修二 4.1.2 圆的一般方程教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。人教A版必修二圆的一般方程教案 必修二 4.1.2 圆的一般方程一、教学分析 2 2 D 2 F )...
高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程教案新人教A...
高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程教案新人教A版必修2_数学_初中教育_教育专区。4.1.2 圆的一般方程 1.在掌握圆的标准方程的基础上 ,理解记忆圆的一般...
圆的一般方程教学设计
圆的一般方程教学设计_中职中专_职业教育_教育专区。圆的一般方程 数学基础模块 下册 8.3.2 圆的一般方程【教学目标】 1.掌握圆的一般方程,能判断一个二元二次...
4.1.2 圆的一般方程 教案(人教A版必修2)
4.1.2 圆的一般方程 教案(人教A版必修2)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。4.1.2 ●三维目标 1.知识与技能 圆的一般方程 (1)掌握圆的一般方程及一般方程的...
4.1.2圆的一般方程说课稿
根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构和心理特征,我制定如下教 学目标: 3.教学目标 知识与技能:(1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点 (2)....
《圆的一般方程》教学设计与反思
《圆的一般方程》教学设计与反思一、 教材分析: 《圆的一般方程》是解析几何的...圆的一般方程教学设计 5页 免费 4.1.2圆的一般方程教学反... 1页 2下载券...
2014年人教A版必修二教案 4.1.2 圆的一般方程
2014年人教A版必修二教案 4.1.2 圆的一般方程_数学_高中教育_教育专区。4.1....那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般 方程”呢? (书写...
圆的一般方程教学设计
圆的一般方程教学设计三都民族中学、高一数学备课组 、潘洪存 1.教材所处的地位和作用:《圆的一般方程》安排在高中数学必修 2章第节第课时。圆作为...
...下学期数学人教A版必修2教案 4.1.2圆的一般方程
【名师课堂 备课包】2013-2014学年高一下学期数学人教A版必修2教案 4.1.2圆的一般方程_高中教育_教育专区。【名师课堂 备课包】2013-2014学年高一下学期数学人教...
更多相关标签: