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2014届高三数学一轮复习《二项式定理》理 新人教B版


[第 59 讲

二项式定理]

(时间:35 分钟 分值:80 分)

基础热身 9 ? 1? 1.[2013·焦作质检] 二 项式?x- ? 的展开式的第 3 项是(

?

x?

)

A.-84x B.84x 5 5 C.-36x D.36x 7 2 2.[2013·四川卷] (1+x) 的展开式中 x 的系数是( ) A.42 B.35 C.28 D.21 4 2 3 4 3.若(x-1) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ,则 a0+a2+a4 的值为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 6 ? 2? 4.[2013·上海卷] 在?x- ? 的二项展开式中,常数项等于________.

3

3

?

x?

能力提升 1?4 ? 5.[2013·北京东城区二模] ?2x- ? 的展开式中的常数项为( x

?

?

)

A.-24 B.-6 C. 6 D.24 10 7 6.在(x-a) 的展开式中,x 的系数是-15,则实数 a=( ) 1 1 A. B.- 8 8 1 1 C.- D. 2 2 20 ?3 1? 7.[2013·湖北重点中学联考] 在? x+ ? 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共

?

x?

有(

) A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项 n n 8.[2013·厦门质检] 设(1+x) =a0+a1x+…+anx ,若 a1+a2+…+an=63,则展开 式中系数最大的项是( ) 2 3 A.15x B.20x 3 2 C.21x D.35x 4 3 9.[2013·福建卷] (a+x) 的展开式中 x 的系数等于 8,则实数 a=________. 5 4 10.[2013·浙江重点中学联考] (1-2x) (1-3x) 的展开式中按 x 的升幂排列的第 2 项等于________. 2 6 8 11. [2013·保定八校联考] 已知(1+kx ) (k 是正整数)的展开式中 x 的系数小于 120, 则 k=________.

?3 3 ?n ? ? 的展开式中,第 6 项为常数项. x - 12.(13 分)已知在 ? 3 ? x? ?
(1)求 n; 2 (2)求含 x 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

难点突破

n ?1 ? 13.(12 分)已知? +2x? . ?2 ? (1)若其展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项 式系数最大项的系数; (2)若其展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.

课时作业(五十九) 【基础热身】 12 2 7 5 1.D [解析] 由二项式定理,得展开式的第 3 项是 T3=C9x ·- =36x ,故选 D.

x
2

2. D [解析] 根据二项展开式的通项公式 Tr+1=C7x , 取 r=2 得 x 的系数为 C7= 21. 3.B [解析] 令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4=0, 令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4=16, 则 a0+a2+a4=8,故选 B. 4.-160 [解析 ] 考查二项式定 理,主要是二项式的通项公式的运用. 由通项公式得 Tr+1=C6x
3 3

r r

2

7× 6 = 2

r 6-r

?-2? =(-2)rCrx6-2r,令 6-2r=0,解得 r=3,所以第 4 项 ? x? 6 ? ?
1r r r 4-r 4-2r ·- =(-1) C4·2 ·x ,令 4-2r

r

为常数项,T4=(-2) C6=-160. 【能力提升】 5.D [解析] 展开式的 通项是 Tr+1=C4(2x)
r
4-r

x

=0,得 r=2, 2 2 2 ∴展开式中的常数项为(-1) C4·2 =24,故选 D. r 10 -r r 3 6.D [解析] 展开式的通项是 Tr+1=C10x ·(-a) ,令 10-r=7,得 r =3,∴C10(- 1 a)3=-15,解得 a= ,故选 D. 2 1 r r 40-5r r 120-r 7.B [解析] 展开式的通项是 Tr+1=C20x ·(x- ) =C20x , 3 2 6 因为 x 的幂指数是整数,则必需 40-5r 是 6 的倍数,所以 r=2,8,14,20,即 x 的 幂指数是整数的项共 4 项,故选 B. n 8.B [解析] 令 x=1,得 2 =a0+a1+a2+…+an, 0 ∵ a0=Cn=1,且 a1+a2+…+an=63, n ∴ 2 =64,即 n=6, n 则(1+x) 的展开式有 7 项,展开式中系数最大的项是第 4 项, 3 3 T4=C6x =20x3,故选 B. 9.2 [解析] 本题考查二项展开式特定项的系数问题,解题关键是正确写出展开式的 r 4-r r, 3 3 1 通项,该二项式的通项是 Tr+1=C4a x x 的系数为 8,即令 r=3,所以 C4a =8,所以 4a =8,所以 a=2. 5 4 1 1 10.-22x [解析] (1-2x) (1-3x) =[1+C5(-2x)+…][1+C4(-3x)+…], 1 1 按 x 的升幂排列的第 2 项为 x 的一次项,它的系数为 C5(-2)+C4(-3)=-22,即展开 式中按 x 的升幂排列的第 2 项等于-22x. r 2 r 11.1 [解析] 展开式的通项是 Tr+1=C6(kx ) , 8 4 4 令 2r=8,得展开式中 x 的系数为 C6·k , 4 4 4 ∴C6·k <120,即 k <8, 又 k 是正整数,故 k=1. 1r r 1n-r r r n-2r 12.解:展开式的通项公式为 Tr+1=Cnx ·-3x- =(-3) Cnx , 3 3 3 (1)∵第 6 项为常数项, n-2r ∴r=5 时,有 =0,解得 n=10. 3 n-2r 1 (2)令 =2,得 r= (n-6)=2, 3 2 2 2 2 ∴x 的项的系数为 C10(-3) =405.

10-2r ? ? 3 ∈Z, (3)由题意知? 0≤r≤10, ? ?r∈Z. 10-2r 3 =k(k∈Z),则 10-2r=3k,即 r=5- k, 3 2 ∵r∈Z,∴k 应为偶数,k=2,0,- 2,即 r=2,5,8. 2 -2 ∴第 3 项,第 6 项,第 9 项为有理项,它们分别为 405x ,-61 236,295 245x . 【难点突破】 4 6 5 2 13.解:(1)∵Cn+Cn=2Cn,∴n -21n+98=0, ∴n=7 或 n=14. 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5, 35 314 3 ∴T4 的系数=C7 2 = , 2 2 13 4 T5 的系数=C4 7 2 =70; 2 当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8. 7 17 7 ∴T8 的系数=C14 2 =3 432. 2 0 1 2 2 (2)∵Cn+Cn+Cn=79,∴n +n-156=0. ∴n=12 或 n=-13(舍去). 设 Tk+1 项的系数最大, 1 112 12 12 ∵ +2x = (1+4x) , 2 2 k k k-1 k-1 ? ?C124 ≥C12 4 , ? ∴ k k k+1 k+1 ?C124 ≥C12 4 , ? ∴9.4<k<10.4,∴k=10. ∴展开式中系数最大的项为 T11 , 12 10 10 10 T11=C10 12· ·2 ·x =16 896x . 2 令


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