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2015届高考数学(新课标 理)一轮复习辅导第18讲 圆锥曲线新题赏析 精品讲义


圆锥曲线 2014 新题赏析
引入
x2 ? y 2 ? 1 上的三个点, O 是坐标原点. 4 (Ⅰ)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积;
从一道题谈起:已知 A , B , C 是椭圆 W : (Ⅱ)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

新题赏


题一: 已知 C , D 及 A(1, 1)是抛物线 y 2 ? x 上的点, 直线 AC , AD 的倾斜角互补, 求直线 CD 的斜率.

题二:已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F (0, 2) ,且长轴长与短轴长的比是 2 :1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1 ,过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直 线 PA , PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A , B ,求 ?PAB 面积的最大值.

y2 ? 1 短轴的左右两个端点分别为 A, B ,直线 l : y ? kx ? 1 与 x 4 轴、 y 轴分别交于两点 E , F ,与椭圆交于两点 C , D .设直线 AD, CB 的斜率分别为 k1 , k2 , 若 k1 : k2 ? 2 :1 ,求 k 的值.
题三:如图,椭圆 C : x ?
2

y

l D F

A E C O

B

x

引入
题一: (Ⅰ)

(Ⅱ)不可能 3;

新题赏析

题一: ?

1 2

详解:设直线

AC 的倾斜角为 α ,直线 AD 的倾斜角为 β ,由直线 AC, AD的倾斜角互补,所以 tan? ? ? tan( ? ? ? )? ? tan ? ,于是得: k AC ? k AD ? 0 .

y1 ? 1 y2 ? 1 ? ? 0. x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 1 y2 ? 1 y1 ? 1 y2 ? 1 1 1 又点 C、D 在抛物线上 ∴ ? ? 2 ? 2 ? ? ? 0, x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 1 y2 ? 1 y1 ? 1 y2 ? 1 y1 ? y2 ? 2 1 1 将 通分,得: ? ? 0 …………………………① y1 ? 1 y2 ? 1 y1 y2 ? y1 ? y2 ? 1
设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y2 ) ,则 k AC

? k AD ?

? kx ? b ,与抛物线联立,得: ky 2 ? y ? b ? 0 , 1 ?2 1 1 b 1 ? 2k k 于是 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? .代入①式,得: ? ? 0 ,解得: k ? ? . b 1 2 k k k ? b ?1 ? ?1 k k 2 2 x y ? ? 1; 题二: (Ⅰ) (Ⅱ) 2 2 4 x2 y 2 详解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) b a 2 2 2 ?a ? b ? c ? x2 y 2 ? 2 2 ? ? 1. 由题意 ? a : b ? 2 :1 ,解得 a ? 4, b ? 2 .所以,椭圆的方程为 2 4 ? ? ? c? 2 x2 y 2 ? ? 1 ,得: P(1, 2) . (Ⅱ)由椭圆的方程 2 4 由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k,则 PB 的直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) .
由于直线 CD 存在斜率,设 lCD :y

? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 由? 得: (2 ? k ) x ? 2k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k ) ? 4 ? 0 . x2 y 2 ? ?1 ? ? 2 4

k 2 ? 2 2k ? 2 k 2 ? 2 2k ? 2 x ? ,同理可得 A 2 ? k2 2 ? k2 8k 4 2k 则 xA ? xB ? , y A ? yB ? ? k ( x A ? 1) ? k ( xB ? 1) ? . 2 2 ? k2 2?k
设 A(xA, yA),B(xB, yB),则 xB

? 1 ? xB ?

所以直线 AB 的斜率 k AB

?

y A ? yB ? 2 为定值. xA ? xB

? y ? 2x ? m ? 2 2 设 AB 的直线方程为 y ? 2x ? m ,由 ? x 2 ,得 4 x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 . y2 ? ?1 ? ? 2 4
由△ ? (2

2m)2 ? 16(m2 ? 4) ? 0 ,得 m 2 ? 8 .

m2 ? 4 2m x ? x ? 此时, x A ? xB ? ? , A . B 4 2
由椭圆的方程可得点 P(1,

2) ,根据点到直线的距离公式可得 P 到 AB 的距离为 d ?

|m| 3



由两点间距离公式可得 |
PAB ?

3 AB |? ( xA ? xB )2 ? ( yA ? yB )2 ? ? m2 ? 12 , 2

故S

1 1 3 | m| 1 m4 | AB | ?d ? ? m2 ? 12 ? ? ? ? 4m2 2 2 2 2 3 2

?

1 1 2 1 1 m2 ? (8 ? m2 ) m (?m2 ? 8) ? ? ? 2. 2 2 2 2 2
2.

因为 m2=4 使判别式等于零,所以当且仅当 m=±2 时取等号,所以△PAB 面积的最大值为 题三:3


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