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河北省石家庄市2016届高三下学期复习教学质量检测(二)数学(文)试题


2016 年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二)

高三数学(文科)
(时间 120 分钟,满分 150 分)

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的两个选项中,只有一项是符合题目 要求的.

, 1.设集合 M ? ??11 ? , N ? x | x 2 ? x ? 6 ,则下列结论正确的是
A. N ? M B. N ? M ? ?
2

?

?

C.

M?N

D. M ? N ? R

?1-i ? 2.已知 i 是虚数单位,则复数
A.第一象限 B. 第二象限

1? i

在复平面内对应的点在 C.第三象限 D.第四象限

3.下列函数中,既是偶函数又在区间 ? 0, +? ? 上单调递增的是

1 A. y ? x

B. y ? lg x

C. y ? x ?1

?1? D. y ? ? ? ?2?

ln x

4.已知数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,若 S n =2an -4,n ? N A. 2
n ?1

?

?

? ,则 a =
n

B.

2n

C. 2

n -1

D. 2

n -2

5.设 m, n 是两条不同的直线, ?,?,? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n / /? ,则 m / / n ; ②若 ? / / ? , ? / /? , m ? ? ,则 m ? ? ; ③若 ? ? ? =n,m / / n ,则 m / /? 且 m / / ? ; ④若 ? ? ? ,? ? ? ,则 ? / / ? ; 其中真命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.执行如图所示的程序框图,则输出的实数 m 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

? x ? 1, ? y ? ?1, ? 7.已知 x, y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z ? y ? mx? m ? 0? 4 x ? y ? 9, ? ? ? x ? y ? 3,
的最大值为 1,则 m 的值是

A.

-

20 9

B. 1

C. 2

D. 5

3 2 8.若 a ? 0, b ? 0 ,且函数 f ? x ? =4x ? ax ? 2bx ? 2 在 x ? 1 处有极值,若 t ? ab ,则 t 的最大值为

A. 2

B. 3

C. 6

D. 9

9.如右图,圆 C 内切于扇形 AOB, ?AOB ? 点的个数估计值为

?
3

,若向扇形 AOB 内随机投掷 600 个点,则落入圆内的

A. 100 B. 200 C. 400 D. 450 10.一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示,则该三棱锥的侧视图可能为

11.设 ? , ? ??0,? ? ,且满足 sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 1, , 则s i n2 ? 围为 A.

? ?? ?? s i n

? ? 2? ?

? 的取值范

?-1,1?

B. ?-1, 2 ?

?

?

C. ? - 2,1?

?

?

D. ?1, 2 ?

?

?

12.设抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F,过 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,M 为抛物线 C 的准线与
2

x 轴的交点,若 tan ? AMB ? 2 2 ,则 AB ?
A. 4 B. 8 C.

3 2

D. 10

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.将高三(1)班参加体检的 36 名学生,编号为:1,2,3,? ,36,若采用系统抽样的方法抽取一个

容量为 4 的样本,已知样本中含有编号为 6 号、24 号、33 号的学生,则样本中剩余一名学生的编号 是 . 14.已知数列 ?an ? 满足 an?2 ? an?1 ? an ,且 a1 =2,a2 =3 ,则 a2016 的值为 15.在球 O 的内接四面体 A ? BCD 中, AB ? 6,AC ? 10,?ABC ? 最大值为 200,则球 O 的半径为 . .

?
2

, 且四面体 A ? BCD 体积的

16.设 f ? ? x ? 是奇函数 f ? x ?? x ? R ? 的导函数, f ? -2? =0, 当 x ? 0 时, xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则使得

f ? x ? ? 0 成立的 x 的取值范围是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 2bc cos C ? 2a.
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 cos A ?

1 c ,求 的值. 7 a

18.(本小题满分 12 分) 为了解某地区某种农产品的年产量 x (单位:吨)对价格 y (单位:千元/吨)和利润 z 的影响, 对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表:

x
y

1 7.0

2 6.5
? ?

3 5.5
?

4 3.8

5 2.2

(Ⅰ)求 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)若每吨该农产品的成本为 2 千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量为多少时, 年利润 z 取到最大值?(保留两位小数)

? 参考公式: b ?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( xi ? x)2
i ?1

n

?

? ( x y ) ? nx y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

2

i

? nx

2

? ? ,a ? y -b x

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥中 P ? ABCD ,底面 ABCD 为边长为 2 的正方形, PA ? BD. (Ⅰ)求证: PB ? PD;

(Ⅱ)若 E,F 分别为 PC,AB 的中点, EF ? 平面 PCD, 求三棱锥的 D ? ACE 体积.

20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 过点 M ?1 , 0? 的直线 l 交椭圆 C 与 A,B 两 a b 2
点, MA ? ? MB , 且当直线 l 垂直于 x 轴时, AB ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 ? ? ? , 2 ? ,求弦长 AB 的取值范围. 2

2.

?1 ?

? ?

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? =a x ?

x2 ? x ? 0 ? ,其中 e 为自然对数的底数. ex

(Ⅰ)当 a ? 0 时,判断函数 y ? f ? x ? 极值点的个数; (Ⅱ)若函数有两个零点 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,设 t ?

x2 , 证明: x1 +x2 随着 t 的增大而增大. x1

请考生在 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)[选修 4—1,几何证明选讲] 如图, ? O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P . (Ⅰ)若 PD ? 8,CD ? 1,PO ? 9 ,求 ? O 的半径; (Ⅱ)若 E 为上 ? O 的一点, ? AE ? ? AC ,DE 交 AB 于点 F,求证: PF ?PO ? PA?PB.

23.(本小题满分 10 分)【选修 4-4,坐标系与参数方程】

? 2 t, ?x ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),在以 O 为极点, x 轴 ? y ? 3 ? 2 t, ? ? 2
正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ? 2cos ? . (Ⅰ)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴的交点为 P,直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求 PA PB 的值.

24.(本小题满分 10 分)【选修 4-5,不等式选讲】 设 f ? x ? = ax ?1. , (Ⅰ)若 f ? x ? ? 2 的解集为 ?-6,2? ,求实数 a 的值; (Ⅱ)当 a =2 时,若存在 x ? R ,使得不等式 f ? 2x ?1? ? f ? x ?1? ? 7 ? 3m 成立, 求实数 m 的取值范围.

2015-2016 质检二数学(文科)答案
一、选择题 1-5CCCAB 二、填空题 6-10CBDCD 11-12 AB

13 15 15 13 三、解答题 17 解: (Ⅰ) 2b cos C ? c ? 2a ,

14 -1 16

? ?2,0? ? ? 2, ???

由正弦定理,得 2 sin B cos C ? sin C ? 2 sin A ,------------2 分

? A? B ?C ??
?sin A ? sin(B ? C ) ? sin B cosC ? cos B sin C …………………4 分
2 sin B cosC ? sin C ? 2(sin B cosC ? cos B sin C )

sin C ? 2 cos B sin C
因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 , 所以 cos

B?

1 , 2
? ?
3 3
.------------6 分 , cos A ?

因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? (Ⅱ)三角形 ABC 中, B ? 所以 sin A ?

1 , 7

4 3 , -------------8 分 7
5 3 …………………10 分 14

sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
c sin ?ACB 5 ? ? .------------12 分 a sin ?BAC 8
18.解:(Ⅰ) x ? 3 , y ? 5

,…………………2 分

? xi ? 15
i ?1

5



? yi ? 25
i ?1

5



?x y
i ?1 i

5

i

? 62.7

?x
i ?1

5

2

i

? 55
, ………………4 分

? ? ?1.23 , a ? ? 8.69 解得: b

? ? 8.69 ? 1.23x .…………………6 分 所以: y

(Ⅱ)年利润 z ? x(8.69 ? 1.23x) ? 2 x …………………8 分

? ?1.23x2 ? 6.69 x …………………10 分
所以 x ? 2.72 时,年利润 最大.…………………12 分
19 解: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于点 O , 因为底面 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD 且 O 为 BD 的中点. 又 PA ? BD, PA ? AC ? A, 所以 BD ? 平面 PAC , 由于 PO ? 平面 PAC ,故 BD ? PO . 又 BO ? DO ,故 PB ? PD . -------------2 分 ---------------4 分

(Ⅱ)设 PD 的中点为 Q ,连接 AQ, EQ , EQ ∥ = CD , 所以 AFEQ 为平行四边形, EF ∥ AQ , 因为 EF ? 平面 PCD , 所以 AQ ? 平面 PCD ,所以 AQ ? PD , PD 的中点为 Q , 所以 AP ? AD ? 2 . ---------------6 分

1 2

由 AQ ? 平面 PCD ,又可得 AQ ? CD , 又 AD ? CD ,又 AQ ? AD ? A 所以 CD ? 平面 PAD 所以 CD ? PA ,又 BD ? PA , 所以 PA ? 平面 ABCD ---------------8 分 (注意:没有证明出 PA ? 平面 ABCD ,直接运用这一结论的,后续过程不给分)

VD ? ACE ? VE ? ACD 1 1 ? ? PA ? S ?ACD 3 2
………………………10 分

1 1 1 ? ? ? 2? ? 2? 2 3 2 2 ? 2 6

故三棱锥 D-ACE 的体积为

2 .……………………12 分 6

20 解:(Ⅰ)由已知: e ?

2 c 2 ,? ? ,……………2 分 2 a 2 2 ), 2

又当直线垂直于 x 轴时, AB ? 2 ,所以椭圆过点 (1, 代入椭圆:

1 1 ? 2 ? 1, 2 a 2b

在椭圆中知: a 2 ? b2 ? c 2 ,联立方程组可得: a2 ? 2, b2 ? 1 , 所以椭圆 C 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1.……………………4 分 2

(Ⅱ)当过点 M 直线斜率为 0 时,点 A 、 B 分别为椭圆长轴的端点,

??

| PA | 2 ?1 | PA | 2 ?1 1 ? ? 3? 2 2 ? 2 或 ? ? ? ? 3 ? 2 2 ? ,不合题意. | PB | | PB | 2 2 ?1 2 ?1

所以直线的斜率不能为 0.…………………………(没有此步骤,可扣 1 分) 可设直线方程为: x ? my ? 1 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 将直线方程代入椭圆得:

(m2 ? 2) y 2 ? 2my ?1 ? 0 ,由韦达定理可得:
2m ? y1 ? y2 ? ? 2 ? ? m ?2 ? ?y y ? ? 1 1 2 ? m2 ? 2 ? (1)
,……………………6 分

(2)

将(1)式平方除以(2)式可得: 由已知 MA ? ? MB 可知,

y1 ? ?? , y2

y1 y2 4m2 , ? ?2?? 2 y2 y1 m ?2
4m 2 所以 ?? ? ? 2 ? ? 2 ,……………………8 分 ? m ?2 1
又知 ? ? ? , 2 ? ,??? ? ? 2 ? ? ? , 0 ? , 2 ? 2

?1 ?

? ?

1

? 1 ?

? ?

1 4m 2 ? 2? ?? ? ? 2 ? 0 ,解得: m2 ? ?0, ? .……………………10 分 2 m ?2 ? 7?

AB ? (1 ? m 2 ) y1 ? y2

2

2

2 ? (1 ? m 2 ) ? ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? ? ? 8(

m2 ? 1 2 1 2 ) ? 8(1 ? 2 ) 2 m ?2 m ?2

1 ? 2? ? 7 1? ? m2 ? ?0, ? ,? 2 ?? , ?, m ? 2 ?16 2 ? ? 7?
? 9 2? ? AB ? ? 2, ? .…………………12 分 8 ? ?
21 解:
(Ⅰ)当 a ? 0 时, f ? x ? ? ?

x2 ( x ? 0) ex ,

f ?? x? ?

?2 x ? e x ? (? x 2 ) ? e x x( x ? 2) ? (e x )2 ex
…………………2 分

令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x ? 2 则 x ? (0, 2), f ? ? x ? ? 0 , y ? f ? x ? 单调递减

x ? (2, ??), f ? ? x ? ? 0 , y ? f ? x ? 单调递增
所以 x ? 2 是函数的一个极小值点,无极大值点。…………………4 分 (Ⅱ)令 f ? x ? ? a x ?

x2 ? 0, 则 x 2 ? ae x ex

3

因为函数有两个零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 所以 x1 = ae , x2 = ae x2 ,可得
3 2 x1 3 2

3 3 ln x1 = ln a + x1 , ln x2 = ln a + x2 . 2 2
…………………6 分

故 x2 - x1 =

3 3 3 x ln x2 - ln x1 = ln 2 . 2 2 2 x1

3 3 ì x2 = tx1 , ? ln t t ln t ? x2 2 2 设 解得 , . = t ,则 t > 1 ,且 ? x = x = í 3 1 2 ? x1 t- 1 t- 1 x2 - x1 = ln t , ? ? 2 ?
所以: x1 + x2 =

3 (t + 1) ln t . 2 t- 1



…………………8 分

令 h ( x) =

( x + 1)ln x
x- 1

, x ? (1, ?

),

则 h? ( x) =

- 2ln x + x -

( x - 1)

2

1 x.
2

…………………10 分

1 令 u ( x ) = - 2ln x + x ,得 u ? ( x) = x
当 x ? (1, ?

骣 x - 1÷ ? ÷. ? ? 桫x ÷

) 时, u?(x) > 0 .因此, u (x)在 (1, + ? ) 上单调递增, ) , u(x) > u(1) = 0 , ) 上单调递增.
…………………12 分

故对于任意的 x ? (1, ?

由此可得 h? (x)> 0 ,故 h(x)在 (1, + ?

因此,由①可得 x1 + x2 随着 t 的增大而增大. 选做题 22. 证明 (Ⅰ)∵PA 交圆 O 于 B,A PC 交圆 O 于 C,D,

? PD?PC ? PB?PA ………………2 分

PD?PC ? ? PO ? r ?? PO ? r ? …………………3 分
8 ? 9 ? 92 ? r 2 r2 ? 9 r ?3
---------------5 分 (Ⅱ)连接 EO CO ∵? AE = ? AC ∴ ?EOA ? ?COA

?EOA ? ?COA ∵ ?EOC ? 2?EDC ∴ ?EDC ? ?AOC ∴ ?COP ? ?FDP …………………7 分
?P ? ? P

?PDF ? ?POC ---------------9 分

? PF ?PO ? PD?PC PD?PC ? PB?PA
? PF ?PO ? PA?PB ---------------10 分
23. 解析:(Ⅰ)直线错误!未找到引用源。的普通方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,…………………2 分

? 2 ? 4? sin ? ? 2? cos? ,…………………3 分

曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 .………………5 分

? 2 t ?x ? ? 2 (Ⅱ)将直线的参数方程 ? 错误!未找到引用源。( t 错误!未找到引用源。为参数)代入曲 ? y ? 3+ 2 t ? ? 2
线 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ,得到: t ? 2 2t ? 3 ? 0 ,…………7 分
2

t1t2 ? ?3 ,…………………9 分

PA PB ? t1t2 ? 3 .………………10 分
24. 解:(Ⅰ)显然 a ? 0 ,…………………1 分

1 3 1 3 , ] , ? ? ?6, ? 2 ,无解;……………………3 分 a a a a 3 1 1 1 3 当 a ? 0 时,解集为 [ , ? ] ,令 ? ? 2, ? ?6 , a ? ? , a a 2 a a 1 综上所述, a ? ? .……………………5 分 2
当 a ? 0 时,解集为 [ ? (Ⅱ) 当 a ? 2 时,令 h (x ) ? f (2x ?1) ? f (x ?1) ? 4x ?1 ? 2x ? 3

1 ? ? ?2 x ? 4, x ? ? 4 ? 1 3 ? ? ?6 x ? 2, ? ? x ? 4 2 ? 3 ? ? 2 x ? 4, x ? 2 ?
………………7 分

h (x ) 在 (??, ? ) 单调减, 由此可知, 在 (?
取到最小值 由题意知, ?

1 4

1 3 3 1 , ) 单调增, h (x ) 在 ( , ??) 单调增, 则当 x ? ? 时, 4 2 2 4

?

7 ,………………8 分 2

7 7? ? ? 7 ? 3m ,则实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ……………10 分 2 2? ?


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