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函数的单调性讲义


函数单调性

Ⅰ基础巩固

一、用定义法求函数单调性:取值作差化积定号.(这是最基本的思路.) 1、方法与步骤:证明格式: ① 取任意两个数 x1 , x2 属于定义域 D,且令 x1 ? x2 (反之亦可) ; ② ?

?作差法,与0比较 ? 作商法,与1比较(作商时,只有同号,才能比较大小)
?若f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ? 单调递增 ? 并由此说明函数的增减性; ?若f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ? 单调递减 ?

③ ??

2、单调区间的书写要求 若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的. 但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数 f ( x) 在
B 其定义内的两个区间 A 、 上都是单调增 (减) 函数, 一般不能认简单地认为 f ( x)

在区间 A ? B 上是增(减)函数.例如 f ( x) ?

1 在区间 (??,0) 上是减函数,在区间 x

(0, ??) 上也是减函数, 但不能说它在定义域 (??,0) ? (0, ??) 上是减函数.事实上,

若取 x1 ? ?1 ? 1 ? x2 ,有 f (?1) ? ?1 ? 1 ? f (1) 。
x?2 在 ? ?1, ?? ? 上是减函数。 x ?1 1 证明:原函数可变形为 f ? x ? ? 1 ? ,设 x1, x2 ?? ?1, ??? 且x1 ? x2 ,则 x ?1

例 1 :用定义法证明函数 f ? x ? ?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 ?

x2 ? x1 1 1 ? ?1? x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?

? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ? 0

? x ? ?1,? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 2 ? 0

? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0

? f ? x1 ? ? f ? x2 ?

? f ? x? ?

x?2 在 ? ?1, ?? ? 上是减函数。 x ?1

x?2 例、已知函数 f(x)=ax+ x ? 1 (a>1).
(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

(2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根.

体验思路: 定义法来证明函数的单调性;第二问让我们温习了反证法的解题过程.
体验过程:

(1)设-1<x1<x2<+∞,则 x2-x1>0, a x2 ? x1 >1 且 a x1 >0, ∴ a x2 ? a x1 ? a x1 (a x2 ?x1 ? 1) >0,又 x1+1>0,x2+1>0 ∴

x2 ? 2 x1 ? 2 ( x2 ? 2)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 1) 3( x2 ? x1 ) ? ? ? >0, x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) x 2 ? 2 x1 ? 2 ? >0 x 2 ? 1 x1 ? 1

于是 f(x2)-f(x1)= a x2 ? a x1 +

∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数. (2)设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,则 a x0 ? ?

x0 ? 2 且由 0< a x0 <1 得 0 x0 ? 1

<-

x0 ? 2 1 <1,即 <x0<2 与 x0<0 矛盾,故 f(x)=0 没有负数根. x0 ? 1 2

练习 1:用定义法证明函数 f ? x ? ? 2x ? 3在定义域R内单调递增。

练习 2、证明函数 f ? x ? ? ?x3 ?1 在其定义域内是减函数。

例 2、用定义方法证明 f ? x ? ? 2 证 明 : 设

2 x ?1

在定义域内是单调递增函数。

x1, x2 ? R且x1 ? x2 , ? f ? x ? ? 0 ,

?

f ? x1 ? 22 x1 ?1 2 x ?x ? 2 x2 ?1 ? 2 ? 1 2 ? f ? x2 ? 2

? x1 ? x2 ,? x1 ? x 2 ? 0 ??

f ? x1 ? 2 x ?x ? 2 ? 1 2 ? ? 1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? f ? x2 ?

? f ? x ? 在定义域 R 内为减函数。
练习 3、已知f ? x ? ? log2 ? 2x ?1? , x ? 0, 用定义法证明函数在定义域内单调递增。

二、 函数的单调区间
1.一次函数 y=kx+b(k≠0). 解 当 k>0 时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间;当 k<0 时,(-∞,+∞)是这

个函数的单调减区间.

k 2.反比例函数 y= x (k≠0).
解 当 k>0 时, (-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调减区间, k<0 时,(-∞, 当 0)和(0,+∞)都是这个函数的单调增区间. 2 3.二次函数 y=ax +bx+c(a≠0).

b b 解 当 a>1 时(-∞,- 2 a )是这个函数的单调减区间,(- 2 a ,+∞)是它的单调 b b 增区间;当 a<1 时(-∞,- 2 a )是这个函数的单调增区间,(- 2 a ,+∞)是它的单调减
区间; 4.指数函数 y=ax(a>0,a≠1).? 解 当 a>1 时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间,当 0<a<1 时,(-∞,+∞) 是这个函数的单调减区间. 5.对数函数 y=logax(a>0,a≠1). 解 当 a>1 时,(0,+∞)是这个函数的单调增区间,当 0<a<1 时,(0,+∞)是它的单调 减区间.

三、用特殊方法判断函数单调性。
(1)增 (减) 函数图像上任意两点 A x1, f ? x1 ? , B x2 , f ? x2 ? 连续的斜率 K AB ? ? ? 、 ? 0 ? ( 2 ) 若 y ? f ? x ? 在 区 间 D 上 位 增 ( 减 ) 函 数 , 且 x1 , x2 ? D, x1 ? x2 , 则

?

? ?

?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?或f ? x1 ? ? f ? x2 ??
(3)复合函数的单调性为‘同增异减’ (4)若 f ? x ? 为增函数,则 ? f ? x ? 为减函数,

f ( x) 为增函数,

1 为减函数 f ( x)

(5)增函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是增函数;减函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是减函数; 增函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是增函数;减函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是减函数。 [例]若 y ? ax 与 y ? ? 确的是( )

b 在 ?0,??? 上都是减函数,对函数 y ? ax3 ? bx 的单调性描述正 x

A. 在 ?? ?,??? 上是增函数 B. 在 ?0,??? 上是增函数 C. 在 ?? ?,??? 上是减函数 D. 在 ?? ?,0? 上是增函数,在 ?0,??? 上是减函数 解析: 由函数 y ? ax 在 ?0,??? 上是减函数,得 a <0,

又函数 y ? ?

b 在 ?0,??? 上是减函数,得 b <0, x
3

于是,函数 ax , bx 在 ?? ?,??? 上都是减函数, ∴ 函数 y ? ax3 ? bx 在 ?? ?,??? 上是减函数,故选 C.

[例]求函数 f ( x) ? 解析:由 f ( x) ?

x ? 1 ? x ? 3 的最大值.
x ?1 ? x ? 3 ? 4 x ?1 ? x ? 3


知函数 f ( x) ? 所以 f ( x) ? 【技巧提示】

x ? 1 ? x ? 3 在其定义域 [3,+? ?上是减函数. x ? 1 ? x ? 3 的最大值是 f (3) ? 2 .
x ?3 ? 4 x ?1 ? x ? 3
使得问题简单化,

显然由 x ? 1 ?

当然函数定义域是必须考虑的 已知 x ? ?0,1? ,则函数 y ?

又例

x ? 2 ? 1 ? x 的值域是

.

解析:∵ ∴ 即

y ? x ? 2 ? 1 ? x 在 x ? ?0,1? 上单调递增,
函数 y ?

x ? 2 ? 1 ? x 的值域是 ? f (0), f (1)? .

? 2 ?1, 3?.

再例 求函数 y ? x ? 1? 2 x 的值域. 解析:∵

y ? x ? 1? 2x

在定义域 ??

? 1 ? ,?? ? 上是增函数, ? 2 ? ? 1 ? ?? 2 ,?? ? ? ?



函数 y ? x ? 1? 2 x 的值域为

(6)互为反函数的两个函数有相同的单调性。 (7)奇函数在其对称区间上的单调性相同;偶函数在其对称区间上的单调性相反; (8) f ( x ) ? ax ? b (a ? 0, b ? 0) 被称为对号函数.对号函数是奇函数,其 x

图象是双曲线.
函 数 y ? ax ?

? ? b b? ? b (a ? 0, b ? 0) 在 ? ??, ? ? 或 ? , ?? ? 上 单 调 递 增 ; 在 ? ? x a? ? a ? ?

? b ? ? b? ? ? 0 ? ? , 0 或 ? , ? 上是单调递减。 ? a? ? a ? ?
[例]试判断函数 f ( x ) ? ax ?

b (a ? 0, b ? 0) 在 ? 0, ??? 上的单调性并给出证明. x

解析:设 x1 ? x2 ? 0 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ?

ax1 x2 ? b 由于 x1 ? x2 ? 0 故当 x1 x2

? b ? ? b ? x1 , x2 ? ? , ? ? ? 时 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,此时函数 f ? x ? 在 ? , ? ? ? 上增函数,同理 ? a ? ? a ? ? ? ? ?
可证函数 f ? x ? 在 ? 0,

? ? ?

b? ? 上为减函数. a? ?

2 又例:求函数 y ? x ? 5 的最小值. x2 ? 4

解析:由 y ?

x2 ? 5 x ?4
2

? x2 ? 4 ?

1 x ?4
2

?u ?

1 ? g ?u ? , u ? ?2,??? ,用单调性的定 u

义法易证 g ?u ? ? u ?

1 u

2 5 在 ?2,??? 上是增函数,易求函数 y ? x ? 5 的最小值为 为所求. 2 x2 ? 4

x 2 ? 2x ? a , x ? ?1,??? . 若对于 x ? ?1,??? , f (x) >0恒成立, 再例: 已知函数 f ?x ? ? x
试求 a 的取值范围. 解析:由 f (x) =

x 2 ? 2x ? a a ? x ? ? 2, x ? ?1,??? . x x

当 a >0 时, f ?x ? ? x ? a ? 2 显然有 f (x) >0 在 ?1. ? ? ? 恒成立; x

a ≤0 时,由 f ?x ? ?

x2 ? 2 x ? a a ? x ? ? 2, x ? ?1,??? 知其为增函数,只需 f (x) 的最小 x x

值 f (1) =3+ a >0,解之, a >-3. ∴当 a >-3 时, f (x) >0 在 ?1,??? 上恒成立.

2.求下列函数在x ? (1, 2]的值域: x ?1? y ? 2 x ?1 x 2 ? 3x ? 2 2? y ? ? x 5 ? 3? f ? x ? ? x ? x ?1

Ⅱ、题型与方法归纳

题型一:基本函数的单调性(二次函数,指数函数,对数函数,反比 例函数,三角函数) 方法:图形法
例、已知函数 f ? x ? ? ?2x ? 3, x ? ? ?2,3? ,求函数的单调递增区间。
2

解:? 函数的对称轴是 x ? 0 ,函数图像如有图所示

? 函数的单调递增区间是 (?2, 0)
练习 5:指出函数 f ? x ? ? ?x2 ? 2 x ? 3 的单调区间

题型二:复合函数单调性: (同增异减)
复合函数 y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断: (1) 将复合函数分解成两个简单函数:y=f(u)与 u=g(x).其中 y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域; (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性; (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数) ,则复合后 的函数 y=f[g(x)]为增函数; (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数) ,则 复合后的函数 y=f[g(x)]为减函数. [例]函数 f (x) 在 R 上为增函数,求函数 y ? f ( x ? 1) 单调递减区间. 解析:令 u ? x ? 1 ,则 u 在(-∞,-1 ] 上递减,

又函数 f (x) 在 R 上为增函数, ∴ 函数 y ? f ( x ? 1) 单调递减区间为(-∞,-1 ] . 【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子,同时又含有抽象函数.只要知

道函数 x ? 1 的单调性,y ? f ( x ? 1) 与 x ? 1 的单调性和单调区间相同. 如果变函数 f (x) 在 R 上为减函数,那么函数 y ? f ( x ? 1) 的单调性与函数 x ? 1 的单调性相反,即函数

y ? f ( x ? 1) 单调递增区间为(-∞,-1 ] .
又例 设函数 f (x) 在 R 上为减函数,求函数 y ? f ( ) 单调区间. 再例 设函数 f (x) 在 R 上为增函数,且 f (x) >0,求证函数 y ? 减.

1 x

1 在 R 上单调递 f ( x)

例 6、求函数 f ? x ? ? log 1 x
2

2

? x ?6

的单调区间。

解:令 t ? x2 ? x ? 6 , 则 t ? 0 ? x ? ?3或x ? 2 ,

1 ? 25 ? t ??x? ? ? 2? 4 ?

2

1? ? ? 1 ? 所以 t 在 ? ??, ? ? 上单减,在 ? ? , ?? ? 上单增, 2? ? ? 2 ?

所以 t 在 ? 2,??? 上单增, t 在 ? ??, ?3? 上单减 又? f ? x ? ? log 1 t 为减函数
2

, 所以 f ? x ? 在 ? ??, ?3? 上单增,在 ? 2,??? 上单减。



1 ( )x 求 y= 2

2

? 2 x ?1

的单调区间.

解 : 解得原复合函数的定义域为 x∈R.

1 ( )u 2 设 y= 2 .由 u∈R。u=x -2x-1,

1 ( )u 2 因为 y= 2 在定义域 R 内为减函数,所以由引理知,二次函数 u=x -2x-1 的单调性
与复合函数的单调性相反. 2 2 易知,u=x -2x-1=(x-1) -2 在 x≤1 时单调减,由 x∈R, (复合函数定义域) x≤1, (u 减) 解得 x≤1.所以(-∞,1]是复合函数的单调增区间.同理[1,+∞)是复合函数的单调 减区间.

例 求函数 y ? ( 1 ) x ? 2 的单调区间 2 解
原函数是由外层函数 y ? u 和内层函数 u ? ( 1 ) ? 2 复合而成的;
x

2

易知 [0, ?) 是外层函数 y ? u 的单调增区间; ? 令 u ? ( 1 ) ? 2 ? 0 ,解得 x 的取值范围为 (??,?1] ;
x

2

由于 (??,?1] 是内层函数 u ? ( 1 ) ? 2 的一个单调减区间,于是 (??,?1] 便是原
x

2

函数的一个单调区间; 根据复合函数“同增异减”的复合原则知, (??,?1] 是原函数的单调减区间。

例 求函数 y ?

4 的单调区间. x ?x?2 4 解 原函数是由外层函数 y ? 和内层函数 u ? x 2 ? x ? 2 复合而成的; u 4 易知 (??,0) 和 (0,??) 都是外层函数 y ? 的单调减区间; u
2

令 u ? x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x 的取值范围为 (?1,2) ;
2

结合二次函数的图象可知 (?1,2) 不是内层函数 u ? x ? x ? 2 的一个单调区间, 但
2

可以把区间 (?1,2) 划分成内层函数的两个单调子区间 (?1, 1 ] 和 [ 1 ,2) ,其中 (?1, 1 ] 是

2

2

2

其单调减区间, [ 1 ,2) 是其单调增区间;

2

于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知, (?1, 1 ] 是原函数的单调增区间,

2

[ 1 ,2) 是原函数的单调减区间。 2
同理,令 u ? x ? x ? 2 ? 0 ,可求得 (??,?1) 是原函数的单调增区间, (2,??) 是
2

原函数的单调减区间。 综上可知,原函数的单调增区间是 (??,?1) 和 (?1, 1 ] ,单调减区间是 [ 1 ,2) 和

2

2

(2,??) .

例(1)求函数 y ? log0.7 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调区间; (2)已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x , 若 g ( x) ? f (2 ? x ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单调性.
2 2

解: (1)单调增区间为: (2, ??), 单调减区间为 (??,1) , (2) g ( x) ? 8 ? 2(2 ? x2 ) ? (2 ? x2 )2 ? ? x ? 2 x ? 8 ,
4 2

g ?( x) ? ?4 x3 ? 4 x ,
令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 , 令 g ?( x) ? 0 , x ? 1 或 ?1 ? x ? 0 ∴单调增区间为 (??, ?1), (0,1) ;单调减区间为 (1, ??), (?1, 0) 例 若 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)

分析:本题存在多种解法,但不管哪种方法,都必须保证:①使 log a (2-ax)有意义,即 a>0 且 a≠1, 2-ax>0. ②使 log a (2-ax)在[0, 1]上是 x 的减函数. 由于所给函数可分解为 y=log a u, u=2-ax,其中 u=2-ax 在 a>0 时为减函数,所以必须 a>1;③[0,1]必须是 y=log a (2-ax)定 义域的子集. 解法一:因为 f(x)在[0,1]上是 x 的减函数,所以 f(0)>f(1), 即 log a 2>log a (2-a).

解法二:由对数概念显然有 a>0 且 a≠1,因此 u=2-ax 在[0,1]上是减函数,y= log a u 应为增函数,得 a>1,排除 A,C,再令 a=3,则 y ? log3 (2 ? 3x) 的定义域为 (??, ) ,但 [0,1]不是该区间的子集。故排除 D,选 B.

2 3

例 函数 f ( x) ? log 9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数,求 a 的取值范围. 分析:由函数 f ( x) ? log 9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数可以得到两个信息:①对任

a x

a x

意的 1 ? x1 ? x2 , 总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;②当 x ? 1 时, x ? 8 ?

a ? 0 恒成立. x

解:∵函数 f ( x) ? log 9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数, ∴对任意的 1 ? x1 ? x2 , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

a x

即 log9 ( x1 ? 8 ?

a a ) ? log9 ( x2 ? 8 ? ) ,得 x1 x2

x1 ? 8 ?

a a a ? x2 ? 8 ? ,即 ( x1 ? x2 )(1 ? ) ? 0, x1 x2 x1 x2 a ? 0, x1 x2 a ? ?1, x1 x2

∵ x1 ? x2 ? 0 ,∴ 1 ?

a ? ? x1x2 ,

∵ x2 ? x1 ? 1 ,∴要使 a ? ? x1 x2 恒成立,只要 a ? 1 ; 又∵函数 f ( x) ? log 9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数,∴ 1 ? 8 ? a ? 0 , 即 a ? 9 ,综上 a 的取值范围为 [?1,9) . 另解: (用导数求解) 令 g ( x) ? x ? 8 ? ∴ g ( x) ? x ? 8 ?

a x

a a ,函数 f ( x) ? log 9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数, x x

a a 在 [1, ??) 上是增函数, g ?( x) ? 1 ? 2 , x x a ∴ 1 ? 8 ? a ? 0 ,且 1 ? 2 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,得 ?1 ? a ? 9 x

题型三:抽象函数单调性 方法:定义法
(注:如无法直接比较时,可用配凑法; 即 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? x1 或 x2 ?

x2 x1 ) x1

例、 已知函数 f ( x ) 对任意的 x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , x ? 0 时,f ( x) ? 0 , 当

证明 f ( x ) 在 R 上是减函数。 证明:设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,? f ( x2 ? x1 ) ? 0

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?( x2 ? x1 ) ? x1 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0
? f ( x) 在 R 上是减函数
例 已知函数 f ? x ? 对任意 x, y ? R 都有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,且当 x ? 0 时,试判断

f ? x ? 在 R 上的单调性.
解:令 x ? y ? 0 ,则 f ? 0? ? f ? 0? ? f ? 0? ,得 f ? 0? ? 0 ; 再令 x ? ? y ,得 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 是奇函数. 设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,则 f ? x2 ? ? f ? ?x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 0 . 故 f ? x ? 在 R 上单调递增. 例 已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有 f ( m ? n) ? f ( m) ? f ( n) ?

1 ,且 2

1 1 f ( ) ? 0 ,当 x ? 时, f ( x) >0. 2 2 (1)求 f (1) ;
(2)求和 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (n) (n ? N * ) ; (3)判断函数 f ( x ) 的单调性,并证明.

答案 : 8.(1)解:令 m ? n ?
(2)∵ f (1) ?

1 1 1 1 1 1 ,则 f ( ? ) ? 2 f ( ) ? ? f (1) ? 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 , f (n ? 1) ? f (1) ? f (n) ? ? ? f (n) ? ? f (n) ? 1 2 2 2 2

∴ f (n ? 1) ? f (n) ? 1 ∴数列 ? f (n)? 是以

1 为首项,1 为公差的等差数列,故 2

n2 n n(n ? 1) f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (n) = ? =? 2 2 2
(3)任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ?
= f ( x2 ? x1 ? ) ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x ) 是 R 上的单调增函数.

1 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 2 2

1 2

例 设 f(x)定义于实数集上,当 x>0 时,f(x)>1,且对于任意实数 x、y,有 f(x+y)=f(x)f(y), 求证:f(x)在 R 上为增函数。 证明:设 R 上 x1<x2,则 f(x2-x1)>1, f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于 f(x1),因为 f(x1)的正负还没确 定) 。 取 x=y=0 得 f(0)=0 或 f(0)=1;若 f(0)=0,令 x>0,y=0,则 f(x)=0 与 x>0 时,f(x)>1 矛盾,所以 f(0)=1, 时, x>0 f(x)>1>0,x<0 时, -x>0, f(-x)>1,∴由 f (0) ? f ( x) f (? x) ? 1得f ( x) ? 故 f(x)>0,从而 f(x2)>f(x1).即 f(x)在 R 上是增函数。 例 已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)≠0,当 x>1 时,f(x)<1. 试判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由. 解: 对x ? R ? 有f (x) ? f (
f(

1 ?0, f ( ? x)

x ? x ) ? f 2 ( x ) ? 0, 又f (x) ? 0, 故f (x) ? 0 , 设x , x ? R ? , 且x ? x , 则 x 2 ? 1, 则 1 2 1 2 x1

f (x 2 ) ? f (x 1 )

x2 x ? x1 ) f ( 2 ) ? f (x1 ) ,所以 x1 x1 x ? ? f ( 2 ) ?1 f (x 1 ) f (x1 ) x1

f(x1)>f(x2),故 f(x)在 R+上为减函数.

例 已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(- -

1 )=0,当 x> 2

1 时,f(x)>0.求证:f(x)是单调递增函数; 2 1 1 1 证明:设 x1<x2,则 x2-x1- >- ,由题意 f(x2-x1- )>0, 2 2 2
∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-

1 1 )-1=f[(x2-x1)- ]>0, 2 2 ∴f(x)是单调递增函数.
例、定义在 R+上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数;

(3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围. 解:(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n 为实数,则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n. 又 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y)

(2)证明: 设0 ? x1 ? x 2 , 可令m ? n且使x1 ? 2 m , x 2 ? 2 n ,
由(1)得f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f (2 m ? n ) ? (m ? n )f (2) ? m ? n ? 0 x2

故 f(x1)<f(x2),即 f(x)是 R+上的增函数. (3)由 f(x)+f(x-3)≤2 及 f(x)的性质,得 f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2),解得 3<x≤4.

例、已知函数 f ( x ) 对任意的 x, y ? (0, ? ?) 都有 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 , 证明 f ( x ) 在 R 上是增函数。 证明:设 x1 , x2 ? (0, ? ?) 且 x1 ? x2 ,则

x2 x ? 1 ,? f ( 2 ) ? 0 x1 x1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (

x2 x x x1 ) ? f ? x1 ? ? f ( 2 ) ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? f ( 2 ) ? 0 x1 x1 x1

? f ( x) 在 R 上是增函数
例 、 已 知 偶 函 数 f(x) 的 定 义 域 是 x ≠ 0 的 一 切 实 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x1,x2 都 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x ) ? f ( x ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , 1 2 )
(1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式 f (2 x ? 1) ? 2
2

解: (1) x2 ? x1 ? 0 , f ( ) ? ( ) f ( 设 则 x fx 2 1 ?x ∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴

1

x2 ? ) f?x ) ( x1

1

? f ( x1 ) ? f (

x2 x ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) x1 x1

x2 x ? 1 ,∴ f ( 2 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) x1 x1
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

∴ f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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? () (2) f (2) ? 1 , f () ? f2 ∴ 4

?) 2 ? (f 2

2 , f ( x ) 是偶函数∴不等式 f (2 x ? 1) ? 2 ∵

2 2 可 化 为 f (| 2x ? 1 |) f (4) 又 ∵ 函 数 在 ( 0,?? )上 是 增 函 数 , ∴ 0 ≠ | 2x ? 1? 4, 解 得 : , ? |

{x | ?

10 10 2 ?x? 且x ? ? } 2 2 2

练习、已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ? ?) ,且满足 f ( xy) ? f ( x) f ( y) ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 , 证明 f ( x ) 在其定义域内是减函数。

题型四:高次函数和混合函数单调性 ?导数法
例 7、已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? 5 ,求函数 f ( x ) 的单调区间。 解: f ?( x) ? 3x2 ? 2 x ?1 当 f ?( x) ? 0 时,函数单调递增,即 3x ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1或x ? ?
2

1 3

当 f ?( x) ? 0 时,函数单调递减,即 3x ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ?
2

1 ? x ?1 3

1 1 ? f ( x) 在(- ? ,- )?(1,+ ? )上单调递增;在 ( ? ,1) 上单调递减。 3 3

练习 9:求函数 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1 的单调递增区间

求函数 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? 7 x ? ? 3 的单调区间 解: f ?( x) ? ?3x ? 2 x ? 7 ? ?3( x ?
2 2

2 7 1 20 x ? ) ? ?3( x ? ) 2 ? 3 3 3 3

由于 ?3( x ? ) ?
2

1 3

20 ? 0 无解.则 f ?( x) ? 0 ,故 x ? (??, ??) 单调递减. 3 x ? ln(1 ? x) ? 1 的单调区间。 2

例 8 求函数 f ( x) ?

解:函数的定义域为 (?1, ? ?) f ?( x) ?

1 1 x ?1 ? ? 2 1 ? x 2(1 ? x)

? x ?1 ?0 ? 当 f ?( x) ? 0 时,函数单调递增,即 ? 2(1 ? x) ,解得 x ? 1 ?x ?1 ? 0 ? ? x ?1 ?0 ? 当 f ?( x) ? 0 时,函数单调递减,即 ? 2(1 ? x) ,解得 ?1 ? x ? 1 ?x ?1 ? 0 ?

? f ( x) 在 (1, ? ?) 上单调递增;在 (?1,1) 上单调递减。

练习 10:求函数 f ( x) ?

x ? sin x 的单调区间。 2

在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时,若函数中含有参数,我们需对参数进 行讨论。 1)若导函数的二次项系数为参数,需对二次项系数为正、负或零进行分类讨论; 2)若需考虑判别式Δ ,需对Δ >0、 Δ =0、 Δ <0 进行分类讨论; 3)在求最值或单调区间时,由 f’(x)=0 解出的根,需与给定区间的两个端点比较大小,进 行分类讨论。 例 讨论函数 f ( x) ? x3 ? ax 的单调性.
2

2 解: f ?( x) ? 3x2 ? a 若 f ?( x) ? 0 , 3x ? a ? 0 ,得 x ?

a , 3

当 a ? 0 ,则当 x ? (??, ??) 时单调递增; 当 a ? 0 ,则当 x ? (??, ?
3

a a a a ] ? [ , ??) 时单调递增;当 x ? (? , ) 时单调递减 3 3 3 3

例讨论函数 f ( x) ? ax ? x 的单调性. 解: f ?( x) ? 3ax ?1 , ? ? 12a ,则
2

①当 a ? 0 ,则 x ? (??, ??) 时单调递减 ②当 a ? 0 ,即 ? ? 0 ,则 x ? (??, ? 单调递减

1 1 1 1 ] ?[ , ??) 时单调递增; x ? (? , )时 3a 3a 3a 3a



讨论函数 f ( x) ? x ?

a ? ln x 的单调性. x

解: 函数 f ( x) ? x ?

a ? ln x 的定义域为 ? 0,??? . x a 1 x2 ? x ? a ∴ f ' ( x) ? 1 ? 2 ? ? . ??2 分 x x x2 1 ① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? 时, 得 x 2 ? x ? a ? 0 ,则 f ' ( x) ? 0 . 4 ∴函数 f (x) 在 ? 0,??? 上单调递增. ??5 分 1 ② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? 时, 令 f ' ( x) ? 0 4 ?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a ? 0, x2 ? 解得 x1 ? . 2 2

得 x2 ? x ? a ? 0 , ??8 分

1 ?1 ? 1 ? 4a (ⅰ) 若 ? ? a ? 0 , 则 x2 ? ?0. 4 2 ∵ x? ? 0, ??? , ∴ f ' ( x) ? 0 , ∴函数 f (x) 在 ? 0,??? 上单调递增. ?? 10


? ?1 ? 1 ? 4 a ? ' (ⅱ)若 a ? 0 ,则 x ? ? 0, ? 时, f ( x) ? 0 ; ? ? 2 ? ? ? ?1 ? 1 ? 4a ? x?? , ?? ? 时, f ' ( x) ? 0 , ?? 12 分 ? ? 2 ? ? ? ?1 ? 1 ? 4a ? ? ?1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? 上单 ∴函数 f (x) 在区间 ? 0, ? 上单调递减,在区间 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 调递增. ?? 13 分 综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 f (x) 的单调递增区间为 ? 0,??? ;

? ?1 ? 1 ? 4 a ? 当 a ? 0 时, 函数 f (x) 的单调递减区间为 ? 0, ? , 单调递增区间为 ? ? 2 ? ? ? ?1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? . ?? 14 分 ? ? ? 2 ? ?
例(2011 年高考湖南卷文科 22 第(1)题)讨论函数

f ( x) ? x ?

1 ? a ln x(a ? R ). 的单调性. x

解: f ( x) 的定义域为 (0, ??).
1 a x 2 ? ax ? 1 f '( x) ? 1 ? 2 ? ? x x x2 令 g ( x) ? x2 ? ax ? 1, 其判别式 ? ? a 2 ? 4. (1) 当 | a |? 2时,? ? 0, f '( x) ? 0, 故 f ( x)在(0, ??) 上单调递增. ? (2) 当 a ? ?2时, >0,g(x)=0 的两根都小于 0,在 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 ,故 f ( x)在(0, ??) 上单调递增.

(3)

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , , x2 ? 2 2 当 0 ? x ? x1 时, f '( x) ? 0 ; x1 ? x ? x2 时, f '( x) ? 0 ; x ? x2 时, f '( x) ? 0 , 当 当 故 f ( x) 分别在 (0, x1 ),( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减.
? 当 a ? 2时, >0,g(x)=0 的两根为 x1 ?
2

例 [2011· 广东卷 19] 设 a>0, 讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x -2(1-a)x 的单调性.

【解答】 函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 2a?1-a?x2-2?1-a?x+1 f′(x)= , x ? 1? 当 a≠1 时,方程 2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0 的判别式 Δ=12(a-1)?a-3?. ? ?

1 ①当 0<a<3时,Δ>0,f′(x)有两个零点, ?a-1??3a-1? ?a-1??3a-1? 1 1 x1=2a- >0,x2=2a+ , 2a?1-a? 2a?1-a? 且当 0<x<x1 或 x>x2 时,f′(x)>0,f(x)在(0,x1)与(x2,+∞)内为增函数; 当 x1<x<x2 时,f′(x)<0,f(x)在(x1,x2)内为减函数; 1 ②当3≤a<1 时,Δ≤0,f′(x)≥0,所以 f(x)在(0,+∞)内为增函数; 1 ③当 a=1 时,f′(x)=x>0(x>0),f(x)在(0,+∞)内为增函数; ?a-1??3a-1? 1 ④当 a>1 时,Δ>0,x1=2a- >0, 2a?1-a? ?a-1??3a-1? 1 x2=2a+ <0, 2a?1-a? 所以 f′(x)在定义域内有唯一零点 x1, 且当 0<x<x1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,x1)内为增函数;当 x>x1 时,f′(x)<0,f(x) 在(x1,+∞)内为减函数. f(x)的单调区间如下表: 1 a>1 3≤a≤1 (0,x1) (x1,x2) (x2,+∞) (0,+∞) (0,x1) ? ? ? ? ? ?a-1??3a-1? ?a-1??3a-1? 1 1 (其中 x1=2a- ,x2=2a+ ) 2a?1-a? 2a?1-a? 1 0<a<3

(x1,+∞) ?

题型五:求三角函数的单调性的基本方法
函数

y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的单调区间的确定,首先要看
的 正 负 , 在 2 k? ?

A、ω 是否

为正,若ω 为负,则先应用诱导公式化为正,然后将 ωx+φ 看作一个整体,化为 最 简 式 , 再 结 合 A

?
2

? x ? 2 k? ?

?
2

,k ? z 和

2 k? ?

?

3 ? x ? 2k? ? ? , k ? z 两个区间内分别确定函数的单调增减区间。 2 2

? 1 y ? sin( ? x) 1、求函数 3 2 在区间[-2π,2π]的单调增区间。
解 : ⑴ 利 用 诱 导 公 式 把 函 数 转 化 为 标 准 函 数 (y?

A sin(? x ? ? ), A ? 0, ? ? 0 )的形式:

? 1 1 ? y ? sin( ? x) ? ? sin( x ? ) 3 2 2 3
⑵把标准函数转化为最简函数(

y ? A sin x )的形式:



z?

1 ? 1 ? y ? ? sin( x ? ) ? ? sin z x? 2 3 2 3 ,原函数变为

⑶讨论最简函数 从函数

y ? ? sin z

的单调性:

y ? ? s i nz

的图像可以看出, 。所以

y ? ? sin z
2K? ?

的单调增区间为

[2k? ?
K ??


?

3 , 2 k? ? ? ] K ? ? 2 2 ,

?

3 ? z ? 2K? ? ? , 2 2

2 K? ?

?
2

?

1 ? 3 x ? ? 2 K? ? ? 2 3 2 , K ??

5 11 4 K? ? ? ? x ? 4 K? ? ? ∴ 3 3 , K ??
⑷计算 k=0,k=±1 时的单调增区间:

5 11 ? ?x? ? 当 k=0 时, 3 3
当 k=1 时,

22 23 ? ?x? ? 3 3

7 1 ? ? ?x?? ? 当 k=-1 时, 3 3
⑸在要求的区间内[-2π,2π]确定函数的最终单调增区间: 因为 x ?[?2? , 2? ] ,所以该函数的单调增区间为

1 5 ? 2? ? x ? ? ? ? ? x ? 2? 3 和3
sin(2 x ? ) 4

6、求函数

y ? log 1
2

?

的单调区间。

解:令 u ? sin(2 x ?

?

) ,函数 y ? l o g 1 u 的增区间是函数 u ? sin(2 x ? ) 4 4 2

?

x? 的减区间且使 u ?s i n ( 2 u ?s i n ( 2 x?

?
4

? ) ;0函 数 y ? l o g 1 u 的 减 区 间 是 函 数
2

?
4
?

) ? 的 增 区 间 且 使 u ? s i nx( 2
)

?
4

?

) 所 以 , 函 数 。 0

y ? l o 1g
2

s i x? ( 2 n 4

的单调减区间为

2 k? ? 2 x ?

?
4

? 2k ?

?
2

(k ? z ) , 即

k? ?

?
8

? x ? k? ?

?
8

(k ? z ) ;单调增区间为 2k? ? ? ? 2 x ? ? ? 2k ? ? (k ? z ) ,
2 4

即 k? ?

?

3 ? x ? k? ? ? ( k ? z ) 。 8 8

求函数

? x y ? 3 tan( ? ) 的单调区间。 6 4

解 : ⑴ 利 用 诱 导 公 式 把 函 数 转 化 为 标 准 函 数 (y?

A tan(? x ? ? ), A ? 0, ? ? 0 )的形式:

⑵把标准函数转化为最简函数(

? 1 1 ? y ? 3tan( ? x) ? ?3tan( x ? ) 6 4 4 6 y ? A tan x

)的形式:



z?

1 ? 1 ? y ? ?3tan( x ? ) ? ?3tan z x? 4 6 4 6 ,原函数变为

⑶讨论最简函数

y ? ?3tan z

的单调性:

从函数

y ? ?3 tan z
( k? ?

的图像可以看出,

y ? ?3tan z
?
2

的单调区间

?
2

(递减)为

, k? ?

?
2

)



K ? ? 。所以 K ? ?

? z ? K? ?

?
2



K ??

即 K? ? ∴ 4 K?

?
2

?

1 ? ? x ? ? K? ? 4 6 2




K ??

4 8 ? ? ? x ? 4K? ? ? 3 3

K ??

Ⅲ 乘热打铁
1、求下列函数的单调区间
(1) f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 (2) f ( x) ? e x ? x

(3) f ( x) ? 3x ? x3 2、函数 f ( x ) ?

(4) f ( x) ? x3 ? x 2 ? x

ax ? 1 在区间 (?2, ? ?) 上是增函数,那么 a 的取值范围是( ) x?2 1 1 A. 0 ? a ? B. a ? C.a<-1 或 a>1 D.a>-2 2 2
的增区间是( B. C. ) 。 D.

3、函数 A.

4、 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在 ? ? ?, 4? 上是减函数,则 a 的取值范围是( ) 。 A. B. C. D.

5、设偶函数 f (x) 的定义域为 R ,当 x ? ?0,??? 时, f (x) 是增函数,则 f (?2), f (? ) ,

f (?3) 的大小关系是 ( )
A f (? ) ? f (?3) ? f (?2) C f (? ) ? f (?3) ? f (?2) B f (? ) ? f (?2) ? f (?3) D

f (? ) ? f (?2) ? f (?3)

6、已知 y ? f ( x) 是定义为 R 单调增函数, y ? g ( x) 是定义为 R 单调减函数. 则 y ? f ? g ( x)? 在其定域义上是 _______

7、证明函数 f ? x ? ? 8、求函数 y ? x ?

x 2 ? 1 ? x 在其定义域内是减函数。

1 的单调区间 x

9、已知 y ? f ( x) 定义域是 R ? ,y=f(x)是增函数,且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)
x (1) 求证: f ( ) ? f ( x) ? f ( y) y

(2) 当 f (3) ? 1 时有 f (a) ? f (a ? 1) ? 2 ,求 a 的取值范围。
10、若 f ( x) ? ?

x ?1 ?(3a ? 1) x ? 4a 是 R 上的减函数,求 a 的取值范围。 x ?1 ? log a x

Ⅳ 温故强化
1、求下列函数的单调区间 (1) y ? log 1 2 x2 ? 5x ? 3
3

?

?

(2) y ? 3x

2

?3 x?10

(3) y ? log2 x?1 ? log2 x

2、已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ). A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) 3、函数 f(x)与 g(x)=( A. ?0,??? B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11) )

1 x ) 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(4—x2)的单调递增区间是 ( 2
B. ?? ?,0? C. ?0,2? D. ?? 2,0?

4、函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (? ?, 2) B. (0,3) C. (1, 4)

(

)

D. (2, ? ?)

5、若 f(x)为 R 上的增函数,则满足 f (2 ? m) ? f (m2 ) 的实数 m 的 取值范围是________
6、已知 f ? x ? ? log a
[2 x 2 ?? a ?3? x ? a 2 ? 3 a ? 2]

在区间 ? ??,1? 上是减函数,求实数 a 的取值范围。

7 函数 f ? x ? 是定义在 ? ?2, 2? 上的增函数,且 f ? m ?1? ? f ? 2m ?1? ? 0 ,求 m 的取 值范围。
8、已知函数 f ( x ) ? 2ax ?

1 , x ? ? 0,1? ,若 f ( x ) 在 ? 0,1? 上是增函数,求 a 的取值范围 x2

, 9 、 定 义 在 [ ?1 1] 上 的 函 数 y ? f (x) 是 减 函 数 , 且 是 奇 函 数 , 若

f (a 2 ? a ? 1) ? f (4a ? 5) ? 0 ,求实数 a 的范围。

10、设 f ( x ) 是定义在 (0, ? ?) 上的增函数, f (2) ? 1 ,且 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,求满足 不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 的 x 的取值范围.

x 2 ? 2x ? a 11、已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞ ) x
(1)当 a=

1 时利用函数单调性的定义判断其单调性,并求其值域. 2

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围.


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