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2014届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(六)合理转化,将三角函数最值问题化难为易


解决这一类问题的基本途径,同求解其他函数最 值一样,一方面应充分利用三角函数自身的特殊 性?如有界性等?,另一方面还要注意将求解三角函 数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数?二次 函数等?最值问题.下面介绍几种常见的三角函数最 值的求解策略.

1.配方转化策略 对能够化为形如 y=asin2x+bsin x+c 或 y=acos2x+bcos x+c 的三角函数最值问题,可 看作是 sin x 或 cos x 的二次函数最值问题,常常利用配方转化策略来解决. [典例 1] 求函数 y=5sin x+cos 2x 的最值. 5 33 2 [解] y=5sinx+(1-2sin x)=-2sin2x+5sin x+1=-2?sin x-4?2+ . ? ? 8 π ∵-1≤sin x≤1,∴当 sin x=-1,即 x=2kπ- ,k∈Z 时, 2 ymin=-2× 4. [题后悟道] 这类问题在求解中,要注意三个方面的问题:其一要将三角函数准确变形 为 sin x 或 cos x 的二次函数的形式;其二要正确配方;其三要把握三角函数 sin x 或 cos x 的 范围,以防止出错,若没有特别限制其范围是[-1,1]. 2.有界转化策略 对于所给的三角函数能够通过变形化为形如 y=Asin(ωx+φ)等形式的, 常常可以利用三 角函数的有界性来求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用的策略之一. π [典例 2] (2012· 重庆高考改编)设函数 f(x)=4cos?ωx-6?sin ωx-cos(2ωx+π), 其中 ω>0. ? ? 求函数 y=f(x)的最值. [解] f(x)=4? 3 1 ?sin ωx+cos 2ωx ? 2 cos ωx+2sin ωx? 81 33 π 1 33 + =-6;当 sin x=1,即 x=2kπ+ ,k∈Z 时,ymax=-2× + = 16 8 2 16 8

=2 3sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin 2ωx+1, 因为-1≤sin 2ωx≤1, 所以函数 y=f(x)的最大值为 3+1,最小值为 1- 3. [题后悟道] 求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题, 然后利用三角函数的有界性求其最值. 3.单调性转化策略 借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略. 对于三角函数来说, 常常是 先化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再利用三角函数的单调性求解. [典例 3] ________. 17π 5π π 5π [解析] 由 π≤x≤ ,得 ≤x+ ≤ . 12 4 4 3 因 为 f(x) = 5π 17π 2 ? π? 3 ? 5π? sin ?x+4? - 在 ?π, 4 ? 上 是 减 函 数 , 在 ? 4 , 12 ? 上 是 增 函 数 , 且 ? ? 2 2 函数 f(x)= 2 ? π? 3 ? 17π? sin ?x+4? - 在 ?π, 12 ? 上的最大值为________,最小值为 2 2

17π 5π π 3 5π 2 2 3 f(π)>f? 12 ?,所以当 x= 时,f(x)有最小值为 sin? 4 +4?- =- - . ? ? ? ? 2 4 2 2 2 当 x=π 时,f(x)有最大值-2. [答案] -2 - 2 3 - 2 2

[题后悟道] 这类三角函数求最值的问题,主要的求解策略是先将三角函数化为一个角 的三角函数形式,然后再借助于函数的单调性,确定所求三角函数的最值. 4.数形结合转化策略 b-sin x b-sin x 对于形如 y= 的三角函数最值问题来说, 常常利用其几何意义, y= 将 视 a-cos x a-cos x 为定点(a,b)与单位圆上的点(cos x,sin x)连线的斜率来解决. -sin x [典例 4] 求函数 y= (0<x<π)的最小值. 2-cos x 0-sin x [解] 将表达式改写成 y= ,y 可看成连接点 A(2,0)与点 2-cos x P(cos x,sin x)的直线的斜率.由于点(cos x,sin x)的轨迹是单位圆的 上半圆(如图),所以求 y 的最小值就是在这个半圆上求一点,使得相 应的直线斜率最小. 设过点 A 的直线与半圆相切于点 B,则 kAB≤y<0. 5π 3 可求得 kAB=tan =- . 6 3

所以 y 的最小值为-

π 3? 此时x= ?. 3? 3?

[题后悟道] 这类三角函数的最值问题,求解策略就是先将函数化为直线斜率的形式, 再找出定点与动点满足条件的图形,最后由图形的几何意义求出三角函数的最值.


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