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高2015级高三数学三角函数、向量及数列测试题


高 2015 级高三数学三角函数、向量及数列测试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1、为得到函数 y ? sin (π-2 x) 的图象,可以将函数 y ? sin (2 x ? A.向左平移

π ) 的图象 3





π π 个单位 B.向左平

移 个单位 3 6 π π C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 6 2、下列命题中: ①若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; ②若不平行的两个非零向量 a , b 满足 a ? b ,则

(a ? b) ? (a ? b) ? 0 ;

③若 a 与 b 平行,则 a ? b ? a ? b

; ④若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;其中真命题的

个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 3 、在 ?ABC 中 , 内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c , 若 a sin A ? b sin B ? c sin C , 则 ?ABC 的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 4、化简: A. 0

1 ? 2sin 10 cos 10 cos( ?10 ) ? 1 ? cos 2 170
B. ? 1

=

. C. ? 1 D. 1

5、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 OB ? a5 OA ? a2010 OC ,且 A, B, C 三点共线( O 为该直线外 一点) ,则 S 2014 等于( A.2014 ) C. 2
2014

B.1007

D. 2

1007

6、若△ABC 的内角 A. B.C 所对的边 a、b、c 满足 (a ? b) ? c ? 4 ,且 C=60° ,则 ab 的值为 (
2 2



A. 8 ? 4 3

B.1

C.

4 3

D.

2 3


7、已知 ?9, a1 , a2 , ?1 四个实数成等差数列, ?9, b1 , b2 , b3 , ?1 五个实数成等比数,则 b2 (a2 ? a1 ) ? ( A.8 B.-8 C.±8 D.

9 8


8、已知 ?an ?是等差数列, Sn 是其前 n 项和,若公差 d ? 0 且 S2 ? S7 ,则下列结论中不正确的是 ( ..... A. S 4 ? S 5 C. a5 ? 0 B. S9 ? 0 D. S2 ? S7 ? S4 ? S5

9、设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知( DB ? DC ? 2DA) ? ( AB ? AC) ? 0, 则 ?ABC 的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形
x

D.等边三角形

10、已知函数 f ( x) ? e ? x ,对于曲线 y ? f ( x) 上横坐标成等差数列的三个点 A,B,C,给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 其中,正确的判断是 A.①③ B.①④ ②△ABC 可能是直角三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 C. ②③ D.②④

解:设这三个点的坐标分别是 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 )(x1 ? x2 ? x3 ) , x2 ? x1 ? x3 ? x2 ,
x 由于 f ( x) ? e ? x 为 R 上的增函数, 所以, BA ? BC ? 0 , BA ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), BC ? ( x3 ? x2 , y3 ? y2 ) ,

故 ?B 为钝角, 所以①成立, ②不成立, 若为等腰三角形, 只有可能是 | BA |?| BC | , 此时有 y2 ? y1 ? y3 ? y2 , 即 2e
x2

? e x1 ? e x3 ? 2e

x1 ? x3 2

,与 x2 ? x1 ? x3 ? x2 矛盾,故④正确选 B。

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
11、已知向量 a ? (6, 2) 与 b ? (?3, k ) 的夹角是钝角,则 k 的取值范围是 12、两个等差数列 ?an ? , ?bn ?,

a1 ? a 2 ? ... ? a n 7n ? 2 a ? , 则 5 =__________. b1 ? b2 ? ... ? bn n?3 b5

13、 在 ?ABC 中,?BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点,DC ? 2 BD, 则 AD BC ? __________ . 14、 右图给出了一个“直角三角形数阵”: 满足每一列成等差数列, 从第三行起, 每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第 i 行第 j 列的数为

aij ? i ? j , i, j ? N * ? ,

则a =
88

.

1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16

?sin ? x, x ? ?0, 2? ? 15、对于函数 f ( x) ? ? 1 ,有下列 4 个命题: ? f ( x ? 2), x ? (2, ??) ?2 ①任取 x1、x2 ??0, ??? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成立;
*

② f ( x) ? 2kf ( x ? 2k ) (k ? N ) ,对于一切 x ??0, ??? 恒成立; ③对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ?

k ?9 ? 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ? , ?? ? . x ?8 ?


④函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点; 则其中所有真命题的序号是 ①④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分
16、 (本题满分 12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中, AD ? 1, CD ? 2, AC ? 7 . (1)求 AD AC ; (2)若 AB AC ? 0, BA BC ? 7 ,求 ?ABC 的面积.

在? ACD 中,由余弦定理:

cos?DAC ?
? ?

AD 2 ? AC 2 ? CD 2 2 ? AD ? AC AD2 ? AC 2 ? CD 2 ?2 2

2分

AD? AC ? AD ? AC ? cos?DAC ?
? ?

6分 8 分

(2)

由 AB ? AC ? 0 ? AB ? AC
? ? ? ? ? ? 2

又 BA? BC ? BA? ( AC? AB) ? AB ? 7 ? AB ? 7
又AC ? 7 1 7 ? S ?ABC ? ? AB ? AC ? 2 2
17、已知函数

11 分

12 分 的图象的一部分如图所示.

(Ⅰ)求函数 (Ⅱ)求函数

的解析式; 的最大值和最小值. , ,所以

解:(Ⅰ)由图可知: 最小正周期

,即

,又

,所以

所以

.

(Ⅱ)





,

所以,当

,即

时,

取最小值

;



,即

时,

取最大值

1 18、向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . 2
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期 T ;

b、 C 的对边, 其中 A 为锐角, a ? 2 3, c ? 4 ,且 f ( A) ? 1 , c 分别为 ?ABC 内角 A 、B 、 (Ⅱ) 已知 a 、
求 A, b 和 ?ABC 的面积 S . 解: (Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 ? a ? a ? b ? 2 ???????2 分
2

(Ⅱ) f ( A) ? sin(2 A ?

?
6

) ?1

因为 A ? (0,

?
2

), 2 A ?

?
6

? (?

? 5?
6 , 6

) ,所以 2 A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

????8 分

1 1 3 ? S ? bc ? sin A ? ? 2 ? 4 ? ?2 3 2 2 2

????12 分

2 19、本小题满分 12 分)已知等差数列?an ? 的公差d ? 0,且a3 , a5 是方程x ? 14 x ? 45 ? 0 的两个根.

正项数列?bn ? 满足bn 2 ? bn?1 bn?1 (n ? 2, n ? N * ) 且b1 ? 3, S3 ? 39 ; (Ⅰ)求数列?an ? 和?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列?

? an ? ? 的前n 项和为 Tn . ? bn ?

20、 (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n ?1 ( n ? 2 ) , a1 ? 1 . (1)证明:数列 { S n } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 ? 值范围;

?

1 ? * 2 ? 的前 n 项和为 Tn ,若对任意的 n ? N ,不等式 4Tn ? a ? a 恒成立,求实数 a 的取 ? an an ?1 ?

解: (1)? S n ? S n?1 ?

?

S n ? S n?1

??

S n ? S n?1 ? S n ? S n?1

?



? n ? 2?

易知 Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1, 又 S1 ? a1 ? 1,所以数列
n

…………2 分

? S ? 是一个首项为 1 公差为 1 的等差数列.………… 3 分
…………4 分 …………7 分 …………9 分

2 Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n .

当 n ? 2 , an ? Sn ? Sn?1 ? n 2 ? (n ?1) 2 ? 2n ?1 ; . a1 ? 1 适合上式,?an ? 2n ?1 ( n ? N * ) (2) bn ?
1 1 1? 1 1 ? = ? ? ? ?, a n a n ?1 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ?; 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 1 1 1 1 1 1 ? = ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? = ?1 ? ? 2 ? 2n ? 1 ?

…………12 分

? n ? N ,?
*

1 1 1 1? 1 ? 1 ? 0 ,1 ? ? 1 , ?1 ? ? ? ,即 Tn ? .…………13 分[来 2n ? 1 2n ? 1 2 2 ? 2n ? 1 ? 2

21、 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min.在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线 运动的速度为 130m/min,山路 AC 长为 1260m,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? . 13 5

(1)求索道 AB 的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 【解题指南】(1)利用正弦定理确定出 AB 的长.(2)先设再建立时间 t 与甲、乙间距离 d 的函数关系式,利用 关系式求最值.(3)利用条件“使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟”建立不等式求解. 【解析】(1)在△ABC 中,因为 cosA= ,cosC= ,所以 sinA= ,sinC= . 从而 sinB=sin[π-(A+C)] =sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

=

5 3 12 4 63 ? ? ? ? , 13 5 13 5 65

AB AC 由正弦定理 = ,得 sinC sinB AB=

1260 4 AC ×sinC= ? =1040(m). sinB 63 5 65

所以索道 AB 的长为 1040m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130tm,所以由余弦定 12 理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)× =200(37t2-70t+50), 13 1040 因 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37

1260 5 BC AC AC (3)由正弦定理 = ,得 BC= ×sinA= ? =500(m). sinA sinB sinB 63 13 65
乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 vm/min,由题意得-3≤

500 710 1250 625 ? ?v? , ≤3,解得 v 50 43 14

1250 625 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在[ , ] (单位:m/min) 43 14 范围内.


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