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《数 列 求 和 问 题》


《数 列 求 和 问 题》
【教学目标】 1.掌握一些基本的数列求前 n 项和的方法; 2.能在具体的问题情境中,发现数列的数列的通项和递推关系,并能用有关等 差、等比数列知识解决相应的实际问题。 【教学重点】 1、识别通项公式类型选择求和方法; 2、动手操作求和过程,训练运算能力。 【教学难点】 识别通项公式类型选择求和方法 【命题走向】 数列求和和数列综合及实际问题

在高考中占有重要的地位, 一般情况下都是 出一道解答题, 解答题大多以数列为工具, 综合运用函数、 方程、 不等式等知识, 通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学 思想方法,这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力, 它们都属于中、高档题目. 有关命题趋势: 1、 数列是一种特殊的函数, 而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具, 三者的综合题是对基础和能力的双重检验,在三者交汇处设计试题,特别是代数 推理题是高考的重点; 2、数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点,这是由于此类题目能突 出考察学生的逻辑思维能力,能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度; 3、数列与新的章节知识结合的特点有可能加强,如与解析几何的结合等; 4.有关数列的应用问题也一直备受关注. 【学情分析】 数列求和问题本身并不困难,但是学生总是在这种问题感到困难,原因有两 个:一、不能正确识别通项公式的结构特征,从而采取正确的求和方法;二、数 列求和对学生的运算能力要求较高,而学生运算能力差及平时害怕、懒于训练是 造成会而不对的重要原因。 【教学环节】 一、 知识方法归纳: 求数列前 n 项和的方法: (1)公式法: ①重要公式:1+2+…+n=
1 n(n+1); 2 1 12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1); 6 1 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2; 4

②等差数列中 s n ?

n(a1 ? a n ) n( n ? 1) ? na1 ? d, 2 2

?na1 ( q ? 1) ? ③等比数列中 s n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1 ? q ( q ? 1) ?

(2)裂项相消法 将数列的通项分成两个式子的代数和,即 an=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉 中间的许多项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和,需要掌握 一 些 常 见 的 裂 项 , 如 : an ?
1 1 1 1 ? ( ? ) 、 ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C

1 1 1 1 n 1 = - 、n·n!=(n+1)!-n!、Cn-1r-1=Cnr-Cn-1r、 = - n ?1 n(n ? 1) n (n ? 1)! n! (n ? 1)!

等. (3)错项相减法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和,常用 错项相消法。 an ? bn ? cn , 其中 ?bn ? 是等差数列, 记 S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn , 则 qSn ? b1c2 ???? bn?1cn ? bncn?1 ,… (4)分组求和 把数列的某些项放在一起先求和,然后再求 Sn。 数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法. (5)倒序相加 利用数列的对称性求和的一种方法。 二、应用举例 例 1、已知数列 ?an ? 为等差数列,且公差不为 0,首项也不为 0,求和:

?cn ? 是等比数列,

?a a
i ?1 i

n

1
i ?1

















?a a
i ?1 i

n

1
i ?1

?

? d (a
i ?1

n

1 1
i

?

1 ) ai ?1





?a a
i ?1 i

n

1
i ?1

=

1 1 1 n ( ? )? 。 d a1 a n ?1 a1a n?1

点评:已知数列 ?an ? 为等差数列,且公差不为 0,首项也不为 0,下列求和

?
i ?1

n

n a ? ai 1 ? ? i ?1 也可用裂项求和法。 d ai ? ai ?1 i ?1

例 2.求 1 ?

1 1 1 1 ? ? ??? , (n ? N * ) 。 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 ??? n

解析: ?Sn ? 2[

1 1 1 ? ??? ] 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1)

1 ? ? 1 ? 2n ? 1? ? 1 1? ?1 . ? 2[?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?1 ? ?? ? 2? ? 2 3? ? n n ? 1? ? n ? 1? n ? 1

例 3.设 a 为常数,求数列 a,2a2,3a3,…,nan,…的前 n 项和。 解析:①若 a=0 时,Sn=0; 1 ②若 a=1,则 Sn=1+2+3+…+n= n ( n ? 1) ; 2 ③若 a≠1,a≠0 时,Sn-aSn=a(1+a+…+an-1-nan) , Sn=
a [1 ? ( n ? 1)a n ? na n ?1 ] 。 2 (1 ? a )

例 4.已知 a ? 0, a ? 1 ,数列 ?an ? 是首项为 a,公比也为 a 的等比数列,令

bn ? an ? lg an (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。
解析:? an ? an , bn ? n ? an lg a ,

? Sn ? (a ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? na n ) lg a……① aSn ? (a 2 ? 2a3 ? 3a 4 ? ? ? na n?1 ) lg a……②
①-②得: (1 ? a)S n ? (a ? a 2 ? ? ? a n ? nan?1 ) lg a ,
? Sn ? a lg a 1 ? (1 ? n ? na)a n . 2 (1 ? a)

?

?

1 2 n 例 5.求 Sn ? 3Cn ? 6Cn ? … ? 3nCn 。 0 1 2 n 解析: Sn ? 0·Cn ? 3Cn ? 6Cn ? … ? 3nCn 。

① ②

n n 1 0 又 Sn ? 3nCn ? 3(n ? 1)Cn ?1 ? … ? 3Cn ? 0·Cn 。

所以 Sn ? 3n·2 n?1 。 【课 后 练 习 】 ( 2009 广 东 卷 理 )知曲线 Cn : x2 ? 2nx ? y2 ? 0(n ? 1, 2,?) .从点 P(?1, 0) 向曲 线 Cn 引斜率为 kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) . (1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式;

(2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn
1 2 (an ? 3), n ? N ? . 4

(2009 安徽卷理)首项为正数的数列 ?an ? 满足 an ?1 ?

(I)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2, an 都是奇数; (II)若对一切 n ? N? 都有 an?1 ? an ,求 a1 的取值范围. 本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概 括、 运算求解和探究能力, 考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。 【反思总结】 1.数列求和的常用方法 (1)公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列;
? c ? (2)裂项相消法:适用于 ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c ? a n a n ?1 ?

为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等; (3)错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列。 (4)倒序相加法:类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. (5)分组求和法 2.常用结论 (1) ? k ? 1+2+3+...+n =
k ?1 n

n( n ? 1) 2

(2) ? (2k ? 1) ? 1+3+5+...+(2n-1) = n 2
k ?1
n ?1 ? (3) ? k 3 ? 13 ? 2 3 ? ? ? n 3 ? ? n(n ? 1)? k ?1 ?2 ?

n

2

(4) ? k 2 ? 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?
k ?1

n

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

(5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

(6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

3.数学思想 (1) 迭加累加 (等差数列的通项公式的推导方法) an ? an?1 ? f (n),(n ? 2) , 若

则……; (2)迭乘累乘(等比数列的通项公式的推导方法)若 则……; (3)逆序相加(等差数列求和公式的推导方法) ; (4)错位相减(等比数列求和公式的推导方法) 。 【布置作业】 《作业手册》求数列的和一节 【课后反思】 数列求和的难点有两点,一是求和方法的选择确定,一是对运算能力要求 较高。课堂上学生在教师的带领下,通过分析通项公式的结构特征、基本能够找 到恰当的方法去求和。但是在运算环节,以及需要对公比等字母分类讨论的解题 过程细节上还不能尽善尽美,需要进一步通过课后练习纠错,提高此类基本题型 的解答成功率。加上本课容量较大,中点放在方法的选择,留给学生的解答过程 的时间较紧,还不能充分关注解答过程中存在的问题,需在课后作业的批改讲评 中进一步有针对性的给予学生提点引导。
an ? g (n)(n ? 2) , an?1


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