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2016深圳市第二次高三调研数学文科详解


2016 年深圳市高三年级第二次调研考试

数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.已知 i 为虚数单位,在复平面内,复数 z ? A.第一象限 【答案】D 【解析】∵ z ? B.第二象限

3 ? 2i 对应的点所在的象限是( 1

? i
D.第四象限



C.第三象限

3 ? 2i (3 ? 2i)(1 ? i) 1 3 ? ? i, ? 2 2 1? i (1 ? i)(1 ? i) 3 ? 2i 1 3 ∴复数 z ? 对应的点 ( , ? ) 在第四象限. 1? i 2 2


2.设 A, B 是两个集合,则“ x ? A ”是“ x ? A ? B ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】B B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.下列四个函数中,在定义域上不是单调函数的是( A . y ? x3 【答案】C B. y ?

x

C. y ?

1 x

D. y ? ( )

1 2

x

4.在等差数列 {an } 中,若前 10 项的和 S10 ? 60 , a7 ? 7 ,则 a4 ? ( A. 4 B. ?4 【答案】C 【解析】∵ S10 ? 60 , a7 ? 7 , C. 5 D. ? 5



?a ? 3 ?10a1 ? 45d ? 60 ? 1 ∴? ,? 2, d? ?a1 ? 6d ? 7 ? 3 ? ∴ a4 ? a1 ? 3d ? 5 .
5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,下列命题正确的是( A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 m // ? , m ? ? ,则 l // m 【答案】B 6.若直线 x ? A. ? B.若 l ? ? , l // m ,则 m ? ? D.若 l // ? , m // ? ,则 l // m )

?
3

是函数 y ? sin(2 x ? ? ) (其中 ? ? B. ?

?
3

?
6

C.

? 6

? )的图象的一条对称轴,则 ? 的值为( 2 ?
D.



3

【答案】B 【解析】∵ 2 ?

?
3

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z ,∴ ? ? k? ?

?
6

, k ? Z ,∵ ? ?

? ? ,∴ ? ? ? . 2 6

1

7.如图所示的流程图中,若输入 a, b, c 的值分别是 2, 4,5 ,则输出的 x ? (
开始 输入 a, b, c 是



a> b且a> c





b> c


x= l ga? l gb

x= l gb l ga
输出x

x= l ga+ l gc

结束

A. 1

B. 2

C. lg 2

D. 10

【答案】A 【解析】由题意可知 a ? b ? c , ∴ x ? lg 2 ? lg5 ? 1 . 8.将一颗骰子掷两次,则第二次出现的点数是第一次出现的点数的 3 倍的概率为( A. )

1 18

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 3

【答案】A
【解析】一颗骰子掷两次,共有 36 种.

满足条件的情况有 (1,3), (2, 6) ,共 2 种, ∴所求的概率 P ?

2 1 ? . 36 18


? 2 x ? y ? 4 ? 0, ? 9.在平面直角坐标系 xOy 中,若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? x ? y 的最大值为( ? y ? 0. ?
A.

7 3

B. 1

C. 2

D. 4

【答案】A 10.如图,正方形 ABCD 中, M 是 BC 的中点,若 AC ? ? AM ? ? BD ,则 ? ? ? ? (

??? ?

???? ?

??? ?



4 3 5 B. 3 15 C. 8 D. 2
A.

D

C M

A

B

2

【答案】B

【解析】∵ AC ? ? AM ? ? BD

??? ?

???? ?

??? ?

??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? ? ( AB ? BM ) ? ? ( BA ? AD) ??? ? 1 ???? ??? ? ???? ? ? ( AB ? AD) ? ? (? AB ? AD) 2 ??? ? 1 ???? ? (? ? ? ) AB ? ( ? ? ? ) AD , 2 4 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 3 ,? ? ? ? 5 . ∴ ?1 , 解得 ? 1 ? ? ? ?1 3 ?? ? ?2 ? 3 ?
11.如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形,侧视图和俯视图为直角三角形,则该几何体外接球 的表面积为( A. )

20? 3
2
正视图

B. 8? C. 9?

1
侧视图

19? D. 3

1

1

俯视图

【答案】D 【解析】该几何体为三棱锥 A ? BCD , 设球心为 O , O1 , O2 分别为 ?BCD 和 ?ABD 的外心,

3 3 依题意 OO1 ? , AB ? 6 3 1 5 O1D ? CD ? 2 2
∴球的半径 R ? OO1 ? O1D ?
2 2

A O2 D O1

O B C

19 , 12
2

∴该几何体外接球的表面积为 S ? 4? R ?

19? . 3

12.已知函数 g ( x) 的图象与函数 f ( x) ? ln( x ? a) ?1 的图象关于原点对称,且两个图象恰有三个不同的 交点,则实数 a 的值为( A. ) C. e D. e
2

1 e

B. 1

【答案】C 【解析】∵函数 g ( x) 与 f ( x ) 的图象关于原点对称,∴ g ( x) ? ? f (? x) . ∴ f ( x) ? ? f (? x) 有三个不同的零点. ∴ f (0) ? 0 ,∴ a ? e 或 a ?

1 . e
3

当 a ? e 时, y ? ? f (? x) 和 y ? f ( x) 的图象如下:

y
1 – 3 – 2 – 1

y= f (x)
1 2 3

O
– 1

x

y= f ( x)

有图象可知, a ? e 时,符合条件; 当a ?

1 时, y ? ? f (? x) 和 y ? f ( x) 的图象如下: e

y
1

y= f (x) y= f ( x)
– 3 – 2 – 1

O
– 1

1

2

3

x

有图象可知, a ?

1 时,只有 1 个交点,不符合条件. e
2

二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13.已知点 F 为抛物线 E : y ? 4 x 的焦点,点 A(2, m) 在抛物线上,则 AF ? 【答案】 3 .

p ? 2 ?1 ? 3 . 2 2 14.函数 f ( x) ? x ? 3x ? ln x 在 x ? 1 【答案】 2
【解析】 AF ? x0 ?

处取得极大值.

1 2( x ? 1)( x ? ) 1 2 , 【解析】∵ f ?( x) ? 2 x ? 3 ? ? x x 1 1 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 , x ? ( ,1) 时, f ?( x) ? 0 , 2 2 1 2 ∴函数 f ( x) ? x ? 3x ? ln x 在 x ? 处取得极大值, 2
15. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一 尺,小鼠也日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞 穿墙.大老鼠第一天进一尺, 以后每天加倍; 小老鼠第一天也进一尺, 以后每天减半”如果墙足够厚,Sn 为 前 n 天两只老鼠打洞长度之和,则 Sn ? 尺.

4

【答案】 2 ?
n

1 ?1 2n ?1

【解析】依题意大老鼠每天打洞的距离构成以 1 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴前 n 天大老鼠每天打洞的距离为

1? (1 ? 2n ) ? 2n ? 1 , 1? 2

1 1? [1 ? ( )n 2 ? 2? 1 , 同理:前 n 天小老鼠每天打洞的距离为 1 2n?1 1? 2 1 1 n n ∴ Sn ? 2 ? 1 ? 2 ? n ?1 ? 2 ? n ?1 ? 1 . 2 2
16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,点 A 、 B 在圆 C 上,且 AB ? 2 3 , 则 OA ? OB 的最小值是 【答案】 8 【解析】设 AB 的中点为 D ,则 CE ? 1 . 延长 CD 交圆 C 于点 E ,则 D 为 CE 的中点.

??? ? ??? ?



??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ∵ OA ? OB ? OC ? CA ? OC ? CB ? 2OC ? CE ,
设 E (4 ? 2cos ? ,3 ? 2sin ? ) , ∴ OA ? OB ? (8, 6) ? (2cos ? , 2sin ? )

y
4 3 2 1

A D C

E

B

??? ? ??? ?

? (8 ? 2cos? ,6 ? 2sin ? )
? (8 ? 2 cos ? ) 2 ? (6 ? 2sin ? ) 2

– 2 – 1 O 1 – 1 – 2

2

3

4

5

6x

? 104 ? 8(3sin ? ? 4cos? ) ? 104 ? 40sin(? ? ?) ? 104 ? 40 ? 8 .

5

三、解答题:本大题共 8 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,点 M 是 BC 上的一点, BM =3 , AC ? 2 10 , ?B ? 45 , cos ?BAM ?
?

3 10 . 10

(1)求线段 AM 的长度; (2)求线段 MC 的长度.

A

【解析】 (1)∵ cos ?BAM ?

3 10 , ?BAM ? (0? ,180? ) , 10 10 . 10

∴ sin ?BAM ? 1 ? cos ?BAM ?
2

B

M

C

∵ sin ?ABM ?

BM AM 2 ? , BM =3 , , sin ?BAM sin ?B 2

BM ? sin ?B ? ∴ AM ? sin ?BAM

3?

2 2 ?3 5. 10 10

(2) cos ?AMC ? cos(?BAM ? ?B) ? cos ?BAM cos ?B ? sin ?BAM sin ?B

? cos ?BAM cos ?B ? sin ?BAM sin ?B ?
2 2 2

3 10 2 10 2 5 , ? ? ? ? 10 2 10 2 5

∵ AC ? 2 10 , AC ? MC ? AM ? 2MC ? AM ? cos ?AMC , ∴ (2 10) ? MC ? (3 5) ? 2MC ? 3 5 ?
2 2 2

5 , 5

∴ MC ? 6MC ? 5 ? 0 ,
2

∴ MC ? 1 ,或 MC ? 5 .

6

18. (本小题满分 12 分) 2016 年全国两会,即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人民政治协商会议 第十二届全国委员会第四次会议,分别于 2016 年 3 月 5 日和 3 月 3 日在北京开幕。为了解哪些人更关注两 会,某机构随抽取了年龄在 15 ? 75 岁之间的 100 人进行调查,并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所 示, 其分组区间为:[15, 25) ,[25,35) ,[35, 45) ,[55,65) ,[65,75] . 把年龄落在区间 [15,35) 和 [35,75] 内的人分别称为“青少年人”和“中老年人” ,经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为 9 :11 .
频率 组距

a
0. 030

b
0. 010 0. 005
15 25 35 45 55 65 75 年龄 岁

(1)求图中 a 、 b 的值根; (2)若“青少年人”中有 15 人关注两会,根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,根据此统计结果能否有 99 %的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会? 关注 青少年人 中老年人 合计 不关注 合计

15
50 50 100

附:参考公式和临界值表:

K2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(a ? c)(b ? d )(c ? d ) 0.01 0.001 P(K 2 ? k0 ) 0.05
k0
3.841 6.635 10.828

【解析】 (1)依频率分布直方图可知:

45 ? 10(b ? 0.03) ? ? ?a ? 0.035 ? 100 ,解得 ? . ? ?b ? 0.015 ?10(a ? 0.010 ? 0.005 ? 0.005) ? 55 ? 100 ? (2)依题意可知, “青少年人”共有 100(0.015 ? 0.030) ? 45 人, “中老年人”共有 100 ? 45 ? 55 人, 完成完的 2 ? 2 列联表如下:
关注 青少年人 中老年人 合计 结合数据得 不关注 合计

15 35 50

30 20 50

45 55 100

100(30 ? 35 ? 20 ?15)2 n(ad ? bc)2 ? ? 9.091 , 50 ? 50 ? 55 ? 45 (a ? b)(a ? c)(b ? d )(c ? d ) 2 ∵ P( K ? 6.635) ? 0.01, 9.091 ? 6.635 ,

K2 ?

7

∴有 99 %的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 平面 ABCD ? 平面 ADEF , 四边形 ABCD 为菱形, 四边形 ADEF 为矩形,M 、N 分别是 EF 、

BC 的中点, AB ? 2 AF , ?CBA ? 60? . (1)求证: DM ? 平面 MNA ;

3 ,求点 A 到平面 DMN 的距离. 3 F 【解析】 (1)证明:连接 AC ,在菱形 ABCD 中, M
(2)若三棱锥 A ? DMN 的体积为
? ∵ ?CBA ? 60 且 AB ? AC ,

E A D C B N

∴ ?ABC 为等边三角形. ∵ N 是 BC 的中点, ∴ AN ? BC , AN ? BC . ∵ ABCD ? 平面 ADEF , AN ? 平面 ADEF , ABCD ? 平面 ADEF ? AD , ∴ AN ? 平面 ABEF . ∵ DM ? 平面 ADEF ,∴ AN ? DM . ∵矩形 ADEF 中, AD ? 2 AF , M 是的中点, ∴ ?AMF 为等腰直角三角形,∴ ?AMF ? 45 ,
?

? ? 同理可证 ?DME ? 45 ,∴ ?DAM ? 90 ,∴ DM ? AM .

∵ AM ? AN ? N , AM ? 平面 MNA , AN ? 平面 MNA , ∴ DM ? 平面 MNA . (2)设 AF ? x ,则 AB ? 2 AF ? 2 x , 在 Rt ?ABN 中, AB ? 2 x , BN ? x ,

M E A D

F H B N C

?ABN ? 60? ,∴ AN ? 3x .
1 ? 2 x ? 3x ? 3x 2 . 2 ∵ ABCD ? 平面 ADEF , FA ? AD , ABCD ? 平面 ADEF ? AD ,∴ FA ? 平面 ABCD . 设 h 为点 M 到平面 ADN 的距离,则 h ? FA ? x .
∴ S ?ADN ?

1 3 3 ? 3x 2 ? x ? x , 3 3 3 ∵ VM ? ADN ? VD ? AMN ? ,∴ x ? 1 . 3 作 AH ? MN 交 MN 于点 H . ∵ DM ? 平面 MNA ,∴ DM ? AH . ∴ AH ? 平面 DMN , 即 AH 为求点 A 到平面 DMN 的距离,
∴ VM ? ADN ? V?CDF ? h ? ∵在 Rt ?MNA 中, MA ? 2 , AN ? 3 ,∴ AH ?

1 3

30 . 5

8

∴点 A 到平面 DMN 的距离为 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E :

30 . 5

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点 P 在圆 C : x2 ? ( y ? 2)2 ? 9 上,且椭圆的离心率为 . 2 a b 2
??? ? ??? ?

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若过圆 C 的圆心是直线 l 与椭圆 E 交于 A 、 B 两点,且 PA ? PB ? 1 ,求直线 l 的方程. 【解析】 (1)依题意,令 x ? 0 , 得 02 ? ( y ? 2)2 ? 9 ,解得 y ? 1 或 y ? 5 , ∴点 P 的坐标为 (0,1) ,即 b ? 1 .

c b2 1 3 ,∴ a ? 2 , ? 1? 2 ? 1? 2 ? a a a 2 x2 E ? y 2 ? 1. ∴椭圆 的方程为 4 (2)∵直线 l 经过圆心 C (0, ?2) , ①当直线 l 的斜率不存在时,不合题意; ②当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .
∵e ?

? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 ,得 (1 ? 4k ) x ?16kx ? 12 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4 3 2 ∵ ? ? 256k 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) ? 0 ,∴ k ? . 4 16k 12 x1 ? x 2 ? ,x x , 1 ? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ∵ y1 ? kx1 ? 2, y2 ? kx2 ? 2 , ∴ y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ,

y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 , ??? ? ??? ? ∴ PA ? PB ? ( x1, y1 ?1) ? ( x2 , y2 ?1) ? x1x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ?1
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ?
解得 k ? ? 5 ,满足 k ?
2

21 12(1 ? k 2 ) 48k 2 ? 1, ? ?9 ? 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

3 , 4

∴直线 l 的方程为 y ? 5x ? 2 或 y ? ? 5x ? 2 .

9

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? e x ? a cos x(e 为自然对数的底数) . (1)若 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线过点 P(1, 6) ,求实数 a 的值; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围.

【解析】(1)∵ f ?( x) ? e x ? a sin x ,∴ f ?(0) ? 1 . f (0) ? 1 ? a , ∴ f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x ? 1 ? a , ∵切线过点 P(1, 6) ,∴ 6 ? 2 ? a ,∴ a ? 4 . (2)由 f ( x) ? ax ,可得 ex ? a( x ? cos x) , (*) 令 g ( x) ? x ? cos x , x ? [0,

?
2

],

∴ g ?( x) ? 1 ? sin x ? 0 ,且 g (0) ? ?1 ? 0 , g ( ) ? ∴存在 m ? (0,

?

?
2

?
2

2

?0,

) ,使得 g (m) ? 0 ,

当 x ? (0, m) 时, g (m) ? 0 ;当 x ? ( m,

) 时, g (m) ? 0 . 2 m ①当 x ? m 时, e ? 0 , g (m) ? m ? cos m ? 0 , 此时,对于任意 a ? R (*)式恒成立;
②当 x ? ( m,
x

?

?

2

] 时, g ( x) ? x ? cos x ? 0 ,

由 e ? a( x ? cos x) ,得 a ? 令 h( x ) ?

ex , x ? cos x

ex ,下面研究 h( x) 的最小值. x ? cos x e x ( x ? cos x ? sin x ? 1) ∵ h?( x) ? 与 t ( x) ? x ? cos x ? sin x ? 1同号, ( x ? cos x)2 ? t ?( x) ? 1 ? sin x ? cos x ? 0 对 x ? [0, ] 成立, 2 ? ? ? ∴函数 t ( x) 在 ( m, ] 上为增函数,而 t ( ) ? ? 2 ? 0 , 2 2 2 ? ∴ x ? ( m, ] 时, t ( x) ? 0 ,∴ h?( x) ? 0 , 2
∴函数 h( x) 在 ( m,

] 上为减函数,∴ h( x)min ? h( ) ? ,∴ a ? . 2 ? ? ③当 x ?[0, m) 时, g ( x) ? x ? cos x ? 0 , 2
x

?

?

?

?

2e 2

2e 2

ex 由 e ? a( x ? cos x) ,得 a ? , x ? cos x ex 由②可知函数 h( x) ? 在 [0, m) 上为减函数, x ? cos x 当 x ?[0, m) 时, h( x)max ? h(0) ? ?1,∴ a ? ?1 ,
10

?

综上, a ? [?1,

2e 2

?

].

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是 ? O 直径,C 在 ? O 上,CF ? AB 于 F , 点 D 为线段 CF 上任意一点, 延长 AD 交 ? O 于 E , ?AEC ? 30 .
?

C D A F O

E

证明:(1) AF ? FO ; (2)若 CF ? 3 ,求 AD ? AE 的值.

B

【解析】 (1)证明:连接 OC , AC , ∵ ?AEC ? 30 ,∴ ?AOC ? 60 .
? ?

∵ OA ? OC ,∴ ?AOC 为等边三角形. ∵ CF ? AB , ∴ CF 为 ?AOC 中 AO 边上的中线,即 AF ? FO . (2)连接 BE , ∵ CF ? 3 , ?AOC 为等边三角形, ∴ AF ? 1 , AB ? 4 . ∵ AB 是 ? O 直径,∴ ?AEB ? 90 ,
?

C D A F O

E

B

∴ ?AEB ? ?AFD . ∵ ?BAE ? ?DAF ,∴ ?AEB ∽ ?AFD , ∴

AD AF ? ,即 AD ? AE ? AB ? AF ? 4 ? 1 ? 4 . AB AE

11

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 在平面直角坐标系中,已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? (? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴 ? ? y ? 3 sin ?

的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 过极坐标系内的两点 A(2 2, (1)写出曲线 C 和直线 l 的直角坐标系中的普通方程; (2)若 P 是曲线 C 上任意一点,求 ?ABP 面积的最小值. 【解析】 (1)曲线 C 的普通方程为 ∵ A(2, 2) , B(0,3) , ∴直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 6 ? 0 . (2)由题意可设 P(2cos? , 3 sin ? ) ,则 点 P 到直线 AB 的距离

?

) 和 B(3, ) . 4 2

?

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

d?

2 c o? s?

2 3? s? in 5

64sin(? ? 6 ) ? 6 2 , ? ? 5 5

?

当 sin(? ?

?
6

) ? 1 时取得最小值,

∵ AB ? 5 , ∴ ?ABP 面积的最小值为

1 2 ? 5? ? 1. 2 5

12

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 {x ?1 ? x ? 3} . (1)求 a , b 的值; (2)若 ( y ? a)( y ? b) ? 0 ,求 z ? 【解析】(1)显然 b ? 0 , ∵ x ? a ? b ,∴ ?b ? x ? a ? b , ∴a ?b ? x ? a ?b, ∴?

1 1 的最小值. ? y?a b? y

?a ? b ? ?1 ,解得 a ? 1, b ? 2 . ?a ? b ? 3

(2)由(1)知 ( y ? 1)( y ? 2) ? 0 ,∴ 1 ? y ? 2 .

z?

1 1 1 1 ? ?( ? )[( y ? 1) ? (2 ? y)] y ?1 2 ? y y ?1 2 ? y 2 ? y y ?1 , ? y ?1 2 ? y

? 2?

∵ 1 ? y ? 2 ,∴ y ? 1 ? 0, 2 ? y ? 0 , ∴ z ? 2?2

2 ? y y ?1 ? ? 4, y ?1 2 ? y

当且仅当

3 2 ? y y ?1 ? ,即 y ? 时,等号成立, 2 y ?1 2 ? y 3 时, z 取得最小值 4 . 2

∴当 y ?

13


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