2015年长宁区一模理科数学试卷

2014 学年第一学期高三数学教学质量检测试卷（理）
考生注意：本试卷共有 23 道试卷，满分 150 分，考试时间 120 分钟，解答必须写在答题纸 上规定的区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分. 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸的相应编号的空格内 填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分） 1.函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是______. 2.若集合 M ? x x ? 2 , N ? x x2 ? 3x ? 0 ，则 M 3.复数
2 ? 2i ? ______（ i 是虚数单位） 1? i

?

?

?

?

N ? ______.

4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 5 ? 4 ? 2?n ，则其通项公式为________.
a ?1 ? 4 ? 7 ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? 6 ，则 5.已知 lim ? a ? ________. n ?? 7n2 ? 5n ? 2

6.已知 a, b ???3, ?2, ?1,1,2,3? 且 a ? b ， 则复数 z ? a ? bi 对应点在第二象限的概率为________ （用最简分数表示）. 7.已知函数 f ? x ? ? 1 ? loga x, y ? f ?1 ? x ? 是函数 y ? f ? x ? 的反函数， 若 y ? f ?1 ? x ? 的图像过点 ? 2, 4 ? ，则 a 的值为_____________. 8.如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的 角的大小是_____________. 9.根据右面的框图，打印的最后一个数据是_____________. 10.已知数列 ?an ? 是以 ?2 为公差的等差数列， Sn 是其前 n 项和，若 S7 是 数列 ?Sn ? 中的唯一最大项，则数列 ?an ? 的首项 a1 的取值范围是_____________. 11.五位同学自制作一张贺卡，分别装入 5 个空白信封内，这五位同学每人随机 地抽取一封，则恰有两人取到的贺卡是其本人制作的概率是_____________.
6ac 12.已知 ?ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a , b, c ，且 5tan B ? 2 ， a ? c 2 ? b2
是
开始
A?1 A ? 2A ?1

打印
A ? 3S ?

否

结束

则 sin B 的值是_____________. 13.如图，在 ?ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于 不同的两点 M , N ,若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m ? n 的值为___________.
1 ? ? 14.已知 ? x 2 ? ? 得展开式中的常数项为 T ， f ? x ? 是以 T 为周期的偶函数， 5 x3 ? ?
5

A
N

B

O

C

M

且当 x ??0,1? , f ? x ? ? x ，若在区间 ? ?1,3? 内，函数 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? k 有 4 个零点，则实数 k

的取值范围是_____________. 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案. 15.设 z1 、 z2 ? C ，则“ z12 ? z22 ? 0 ”是“ z1 ? z2 ? 0 ”的（ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ） D.既不充分也不必要条件

C.充要条件 ）

,11 ? ? 0b ? ）的图像为（ 16. 函数 y ? a x?b ， （0 ? a ?

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x
C

O

x

A

B

D

17. O 是 ?ABC 所在平面内的一点，且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ? 0 ，则 ?ABC 的形 状一定是（ ） A.正三角形 18. 下面有五个命题：

?

??

?

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.斜三角形

① 函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 2? ；
? k? ? ,k ?Z? ； ② 终边在 y 轴上的角的集合是 ?? ? ? 2 ? ?

③ 在同一坐标系中，函数 y ? sin x 的图像和函数 y ? x 的图像有一个公共点；

?? ? ? ④ 把函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图像向右平移 得到的 y ? 3sin 2 x 图像； 3? 6 ?
⑤ 在 ?ABC 中，若 a cos B ? b cos A ，则 ?ABC 是等腰三角形. 其中真命题的序号是（ ） A.① ② ③ B. ② ③ ④ C. ③ ④ ⑤

D. ① ④ ⑤

三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号 规定区域内写出必须的步骤. 19.（本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分） 如图：三棱锥 P ? ABC 中， PA ? 底面 ABC ，若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，且 PB 与

? ，若 M 是 BC 的中点，求： 3 （1）三棱锥 P ? ABC 的体积； （2）异面直线 PM 与 AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
底面 ABC 所成的角为

P

A B

C

M

20.（本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分） 已知

?
2

? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ?

8 3

（1）求 tan ? 的值;

?? ? （2）求 sin ? 2? ? ? 的值. 2? ?

21.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分） 已知函数 f ( x) ? x2 ? ? 2 ? n ? x ? 2n 的图像与 x 轴正半轴的交点为 A ? an ,0? , n ? 1,2,3, （1）求数列 ?an ? 的通项公式 （2）令 bn ? 3an ? ? ?1?
n ?1

，问是否存在非零整数 ? ，使得对任意正整数 ? ? ?2 an （ n 为正整数）

n ，都有 bn ?1 ? bn ？若存在，求出 ? 的值，若不存在，请说明理由

22.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）
1 已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ? c ? a, c ? R ? ，满足 f (1) ? 0 ，且 f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立. 2 （1）求 a, c 的值；

（2）若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? ，解不等式 f ( x) ? h( x) ? 0 ； 4 2 4

（3）是否存在实数 m ，使函数 g ( x) ? f ( x) ? mx 在区间 ? m, m ? 2? 上有最小值 ?5 ？若存在， 请求出 m 的值；若不存在，请说明理由.

23.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 已知数列 ?an ? ,?bn ? ,?cn ? 满足 ? an?1 ? an ??bn?1 ? bn ? ? cn n ? N ? . （1）设 an ? 3n ? 6 ， ?cn ? 是公差为 3 等差数列，当 b1 ? 1 时，求 b2 , b3 的值； （2）设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n ，求正整数 k ，使得对一切 n ? N ? ，均有 bn ? bk ； （3）设 cn ? 2 ? n, an ?
n

?

?

1 ? ? ?1? 2

n

，当 b1 ? 1 时，求数列 ?bn ? 的通项公式.