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高中数学知识点总结1


一元二次不等式的解法 判别式

? ? b2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象 一元二次方程
O

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

x1,2 ?

?b ? b2 ? 4ac 2a

x1 ? x2 ? ?

(其中 x1 ? x2 )

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

{x | x ? ?

b } 2a

R

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x1 ? x ? x2}

?

?

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果 x ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次方根
n

用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数 时, a ? 0 . ③根式的性质: ( n a )n ? a ;当 n 为奇数时, a ? a ;当 n 为偶数时,
n n
n

(a ? 0) ?a . a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a n ? a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0.
n m

②正数的负分数指数幂的意义是:a

?

m n

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的负分数指数幂 a a

没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① a ?a ? a
r s r r ?s

(a ? 0, r, s ? R)

② (a ) ? a (a ? 0, r, s ? R)
r s rs

③ (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R)
r r

【2.1.2】指数函数及其性质

(4)指数函数

函数名称 定义

指数函数 函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax

y
图象

y ? ax

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性

1

x 0
R
(0, ??)

O

1
x 0

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对 图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低. 【2.2.2】对数函数及其性质

(5)对数函数

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函数 名称 定义

对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y
图象

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图象的影响
(1)幂函数的定义

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高. 〖2.3〗幂函数

一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.
?

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(2)幂函数的图象

〖补充知识〗二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ③两根式:
2 2

f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x) 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?
2

b , 顶点坐标是 2a

b 4ac ? b 2 (? , ). 2a 4a
②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?

b b b ] 上递减,在 [ ? , ?? ) 上递增,当 x ? ? 时, 2a 2a 2a

f min ( x) ?

4ac ? b 2 b b b ] 上递增, , ?? ) 上递减, ; 当 a ? 0 时, 抛物线开口向下, 函数在 ( ??, ? 在 [? 当x ? ? 2a 2a 2a 4a 4ac ? b 2 . 4a
第 -4- 页 共 6 页

时, f max ( x) ?

3.2.1 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k 0

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? kx ? b
y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

2、 、直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b) 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程:已知两点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 其中 ( x1 1

? x2 , y1 ? y2 )

2、直线的截距式方程:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A ( a,0) ,与 y 轴的交点为 B (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 3.2.3 直线的一般式方程 1 、直线的一般式方 (A,B 不同时为 0) 2、各种直线方程之间的互化。 3.3 直线的交点坐标与距离公式

PP 1 2 ?

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

程 :关 于

x, y

的二 元一次 方程

Ax ? By ? C ? 0

3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0 解:解方程组

? 0 ?3x ? 4y ? 2 ? ? 0 ?2 x ? 2y ? 2

得 x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式 3.3.3 点到直线的距离公式 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

l 2 Ax ? By ? C2 ? 0 , 则 l1

与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2

第二章 1、数列中 an 与 S n 之间的关系:

数列

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, (n ? 1) ?S1 注意通项能否合并。 an ? ? ?Sn ? Sn?1 ,(n ? 2).
2、等差数列: ⑴定义: 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 即 a n - a n ?1 =d , (n≥2, n∈N ? ) , 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项:若三数 a、A、b 成等差数列 ? A ? ⑶通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d 或 an ? pn ? q ( p 、q是常数). ⑷前 n 项和公式:

a?b 2

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d? 2 2

3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。

G、 b 成等比数列 ? G ? ab, ( ab 同号) ⑵等比中项:若三数 a、 。反之不一定成立。
2

⑶通项公式: an ? a1qn?1 ? am qn?m ⑷前 n 项和公式: S n ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

47.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);

cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = a2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ?
48.二倍角公式

b ). a

sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?

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