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河北省卓越联盟2015-2016学年高二下学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案


卓越联盟 2015—2016 学年度第二学期第二次月考

高二文科数学试题
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若复数 A. 3

6 ? ai (其中 a ? R, i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则 a ? ( 3?i
B. 6 C. 4 D. 12



2.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时,结论的否定是( A.没有一个内角是钝角 B. 有两个内角是钝角 C. 有三个内角是钝角 D.至少有两个内角是钝角 3.坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的极坐标是( A. ?1, ) D. ?1, ? ?



? ?? ? ? 2?

B.

?? ? ?1, ? ? 2? ?

C.

?1 , 0 ?

4.若点 P 为曲线 ? A. 2 ? 1

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数) 上的一点, 则点 P 与坐标原点的最短距离是 ( ? y ? 1 ? sin ?
B.
2



2 ?1

C.

2

D.

2


5.化极坐标方程 ? cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x ? y ? 0 或 y ? 1
2 2

B. x ? 1 D. y ? 1

C. x ? y ? 0 或 x ? 1
2 2

6.在 ? ABC 中,E,F 分别为 AB,AC 的中点,则有 EF / / BC ,这个问题的大前提为( ) A. 三角形的中位线平行于第三边 B. 三角形的中位线等于第三边的一半 C. EF 为中位线 D. EF / / BC 7.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,如果 ? A 和 ? B 是两条平行直线的同旁内角, 则 ? A ? ?B ? 180
?

B.有平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.某校高三共有 10 个班,1 班 51 人,2 班 53 人,3 班 52 人,由此推测各班都超过 50 人 D.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?

1? 1 ? ? an ? 1 ? ? ? n ? 2 ? ,计算 a2 , a3 , a4 由此推测通项 an 2? an ?1 ?

8.在极坐标系中, 设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2cos? 的交点分别为 A, B , 则线段 AB

的垂直平分线的极坐标方程为( A. ? ? C. ? ?

) B. ? ?

?

1 sin ? ? cos ?

4

? ? ? R?

1 sin ? ? cos ? 3? D. ? ? ? ? ? R? 4

9.设 P ? x, y ? 是曲线 C : ? 的取值范围是( A. ? ? 3, 3 ? )

? x ? ?2 ? cos? y ( ? 为参数,且 0 ? ? ? 2? )上的任意一点,则 x ? y ? sin ?

?

?

B.

? ??, ?
? ?

? 3? ? ? ? 3, ??

?

C. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

D. ? ??, ? ?

? 3? ? 3 ? ? ? , ?? ? ? 3 ? ? 3 ?


10.下面给出了关于复数的三种类比推理,其中类比错误的是( ①复数的乘法运算法则可以类比多项式乘方运算法则;
2 ②由向量 a 的性质 a ? a 可以类比复数分性质 z ? z ;

?

?2

?2

2

③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. A.② B. ①② C. ①③ D. ③ 11.给出计算

1 1 1 1 ? ? ?? ? 的值的一个程序框图如图,其中判 2 4 6 20

断框内应填入的条件是( ) A. i ? 10 B. i ? 10 C. i ? 20 D. i ? 20 12.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1; ③若数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差为 1,则 2 x1 , 2 x2 ,?, 2 xn 的方差为 2; ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 k 的观测值 k 来说, k 越小,判断 X 与 Y 有关系的把 握程度越大. 其中真命题的个数为( A. 1 B.2 C. 3 ) D. 4
2

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 右 表 为 一 组 等 式 , 某 学 生 根 据 右 表 猜 想

S2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ? an 2 ? bn ? c ? , 老 师 回 答 正 确 , 则
a ?b?c ?
14.已知与之间的一组数据: .

x
y

0 1

1 3

2 5

3 7 .

? ? bx ? ? a 必经过点 则 y 与 x 的线性回归方程 y

15.在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 和直线 ? sin ? ? a 相交于 A,B 两点,若 . 16.观察下面关于循环小数化成分数的等式: (注意:头上加点的数字)

? AOB 是等边三角形,则 a 的值为

0.3 ?

?

? ? ? ? ? 3 1 ? ? 18 2 352 1 59 59 ? ,1.18 ? ? , 0.35 2 ? , 0.00059 ? ? ? , 据此推测循环 9 3 99 11 999 1000 99 99000
?

小数 0.2 3 可化成分数

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知 z ? ?

1 3 ? i. 2 2
2

(1) z 是 z 的共轭复数,求 z ? z ? 1 的值; (2)类比数列的有关知识,求 S2016 ? 1 ? z ? z 2 ? ? ? z 2015 的值. 18.(本小题满分 12 分) 已知 ? ABC 的三边分别为 a, b, c ,求证:

a?b c ? . 1? a ? b 1? c

19.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 5 cos ? ? ? y ? 15 sin ?

( ? 为参数) ,直线 l 的参数方

1 ? x?? t ? 2 ? 程为 ? ( t 为参数) ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 3 ?y ? 3 ? t ? ? 2
P 的极坐标为 ? 3,

? ?

??
? 2?

(1)求点 P 的直角坐标,并求曲线 C 的普通方程; (2)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A,B,求 PA ? PB 的值.

20.(本小题满分 12 分) 对任意函数 f ? x ? , x ? D, ,可按如图构造一个数列发生器, 数列发生器产生数列 ?xn ? . (1)若定义函数 f ? x ? ? 出数列 ?xn ? 的所有项; (2)若定义函数 f ? x ? ? 2x ? 3 ,且输入 x0 ? ?1 ,求数 列 ?xn ? 的通项公式.

4x ? 2 49 ,且输入 x0 ? ,请写 x ?1 65

21.(本小题满分 12 分) 某校有 1400 名考生参加市模拟考试,现采用分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取 20 份和 50 份数学试卷,进行成绩分析.得到下面的成绩频率分布表: 分数分值 文科频数 理科频数

?0,30? ?30,60? ?60,90? ?90,120? ?120,150?
2 3 4 7 8 12 3 20 3 8

(1)估计文科数学平均分及理科考生的及格人数(90 分为及格分数线) ; (2)在试卷分析中,发现概念性失分非常严重,统计结果如下: 文理 失分 概念 其它 文科 15 5 理科 30 20

问是否有 90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关?(本题可以参考独立性检 验临界值表)

n ? ad ? bc ? 附参考公式与数据: K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

22.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 x o y 中,以 O 为原点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极 坐标方程为 ? ?

?
4

,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? ( ? 为参数). y ? sin ? ? ?
8 ,求点 M 轨 3

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A,B 两点,若 MA MB ? 迹的直角坐标方程并说明是怎样的图形.

卓越联盟 2015-2016 学年度第二学期 高二文科 4 月份月考答案
1.【答案】A 1. 试 题 分 析 : 因 为

6 ? ai (6 ? ai)(3 ? i) 18 ? a 6 ? 3a ? ? ? i ,则由题意,得 3?i (3 ? i)(3 ? i) 10 10

18 ? a 6 ? 3a ? ,解得 a ? 3 ,故选 A. 10 10
2.【答案】D 试题分析:写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可 解: 命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角” 故选 D. 3.【答案】B
2 2 2 2 试 题 分 析 : ? ? ?2sin ? ? ? ? ?2 ? sin ? ? x ? y ? ?2 y ? x ? ? y ? 1? ? 1 , 圆 心 为 2

? 0, ?1? ,极坐标为 (1, ? 2 )
4.【答案】A. 试题分析:

?

| OP |2 ? (1 ? cos ? ) 2 ? (1 ? sin ? ) 2 ? 3 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 3 ? 2 2 sin(? ? ) , 4
2 所以 | OP | 的最小值为: 3 ? 2 2 ,即 | OP | 的最小值为: 3 ? 2 2 ? 2 ?1 .

?

5.【答案】C 试题分析:因为 ? cos? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? cos? ?1? ? 0 ,即 ? ? 0 或 ? cos ? ? 1 ,所以
2

极坐标方程 ? cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为 x ? y ? 0 或 x ? 1 .
2 2 2

6.【答案】A 试题分析: 三段论推理是由两个含有一个共同项的性质判断作出前提得出的一个新的演绎推 理,可分为大前提、小前提和结论三部分组成,本题的证明中,利用了三段论的推理模式, 其中大前提应为三角形的中位线平行于第三边. 7.【答案】A 试题分析:演绎推理是由一般到特殊的推理,显然选项 A 符合;选项 B 属于类比推理;选项 C 是归纳推理;选项 D 是归纳推理. 考点:归纳推理、演绎推理、类比推理的区别. 8.【答案】A
2 2 2 2 试题分析:曲线 C1 : ? ? 2 sin ? 的直角坐标方程 x ? y ? 2 y 即 x ? ( y ? 1) ? 1 ,曲线

C2 : ? ? 2 cos? 的直角坐标方程 x 2 ? y 2 ? 2 x 即 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,两曲线均为圆,圆心分

别 C1 (0,1),C2 (1,0) ,所以线段 AB 的中垂线为两圆心连线,其直角坐标方程为 x ? y ? 1 , 化为极坐标方程得 ? ?

1 ,故选 A. sin ? ? cos ?

9.【答案】C

? x ? ?2 ? cos? C:? ? y ? sin ? 试题分析:曲线 ( ? 为 参 数 , 0 ? ? ? 2? ) 的 普 通 方 程 为 :

? x ? 2?

2

? y 2 ? 1, P ? x, y ?
2

是曲线

C : ? x ? 2? ? y2 ? 1
如图:

y 上任意一点,则 x 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率,

y ? 3 3? ? ?? , ? x ? 3 3 ? .
故选 C. 10.【答案】A 试题分析: 对于复数的加减法运算法则判断出①对; 对于②向量 a 的性质| a | = a
2 2

, 但 | z |2

2 是实数,但 z 不一定是实数,如 z ? i ,就不成立,故错;对于③复数加法的几何意义判断

出③对,故选:A. 11.【答案】A 试题分析:结合框图得到 i 表示的实际意义,要求出所需要的和,只要循环 10 次即可,得 到输出结果时“i”的值,得到判断框中的条件. 解:根据框图,i﹣1 表示加的项数 当加到 时,总共经过了 10 次运算,则不能超过 10 次,

i﹣1=10 执行“是”所以判断框中的条件是“i>10” 故选 A 12.【答案】A 解:从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测,这样的抽样系统抽样,故①错误; 两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1,线性相关性越弱,相关系 数的绝对值越接近于 0,故②正确; 若数据 x1,x2,x3,?,xn 的方差为 1,则 2x1,2x2,2x3,?,2xn 的方差为 4,故③错误; 2 对分类变量 X 与 Y 的随机变量 k 的观测值 k 来说,k 越小,判断“X 与 Y 有关系”的把握程 度越小,故④错误; 故真命题有 1 个, 故选:A 13.【答案】5

试题分析:利用所给等式,对猜测 S2n﹣1=(2n﹣1) (an +bn+c) ,进行赋值,即可得到结论.

2

解:由题意,

,∴

,∴a﹣b+c=5

故答案为:5 14.【答案】(1.5,4) 试 题 分 析 : 线 性 回 归 方 程 必 过 样 本 中 心 点 坐 标

? x, y ?



x?

0 ?1? 2 ? 3 1? 3 ? 5 ? 7 ? 1.5, y ? ? 4 ,所以过点(1.5,4),故答案为(1.5,4). 4 4

15.【答案】3 试题分析:由 ? ? 4sin ? 可得 ? 2 ? 4? sin ? ,所以 x 2 ? y 2 ? 4 y .所以圆的直角坐标方程 为 x 2 ? y 2 ? 4 y ,其圆心为 C ? 0,2? ,半径 r ? 2 ;由 ? sin ? ? a ,得直线的直角坐标方程 为 y ? a ,由于 ?AOB 是等边三角形,所以圆心 C 是等边 ?AOB 的中心,若设 AB 的中点 为 D (如图).则 CD=CB ? sin 30?= 2 ?

1 ? 1 ,即 a ? 2 ? 1 ,所以 a ? 3 . 2

16.试题分析:∵ 0.3 ?

.

3 1 ? , 9 3

1.18 ?

18 2 ? , 99 11 . . 352 0.352 ? , 999 . . 1 59 59 0.00059 ? ? ? 1000 99 99000
. . . .

?

? 0.23 ? 0.2 ? 0.1? 0.3 ?

1 1 3 6 1 7 ? ? ? ? ? , 5 10 9 30 30 30

17.【答案】 (1)0; (2)0. 试题解析: (1) z ? ?

1 3i , ? 2 2

? 1 3i ? 1 3i z ? z ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? 1 ? 0 …………..5 分 ? ?
2

2

(2) S2016 ? 1 ? z ? z ? ??? ? z
2

2015

?

1? ?1 ? z 2016 ? 1? z
??????8 分



? 1 3i ? z ?? ? ? ? ?1 ? 2 2 ? ? ?
3
672

3

?1 ? z 2016 ? 1 ? ? z 3 ?
2

? 1?1 ? 0
2015

? S2016 ? 1 ? z ? z ? ??? ? z

?

1? ?1 ? z 2016 ? 1? z

?0

…………….10 分

?或:z 2 ? z ? 1 ? 0 ? ? ? n ?1 n n ?1 ?? z ? z ? z ? 0 ? n ? ? ? ? ? ?? S ? 0 ? 2016 ? ?
18.试题解析:证明: (分析法) 要 证

a?b c 成立,…………………2 分 ? 1? a ? b 1? c 1 1 ?1? 1? a ? b 1 ? c ……………….4 分

只需证 1 ? 只需证 ?

1 1 , …………………6 分 ?? 1? a ? b 1? c 1 1 只需证 ……………………..8 分 ? 1? a ? b 1? c 只需证 1 ? c ? 1 ? a ? b , …………………………..10 分 只需证 c ? a ? b ∵ a,b,c 是Δ ABC 的三条边∴ c ? a ? b 成立,原不等式成立。…………12 分
19.【答案】 (Ⅰ) P(0, 3 ) ,

x2 y2 ? ? 1; (Ⅱ) 6 . 5 15
3 cos

试题解析: (Ⅰ)由极、直角坐标互化公式知:点 P 的横坐标 x ? 坐标 x ?

?
2

? 0 ,点 P 的纵

3 s i n ? 3 所 以 P(0, 3 ) ; 消 去 参 数 ? 的 曲 线 C 的 普 通 方 程 为 : 2

?

x2 y2 ? ?1 5 15

????6 分

(Ⅱ)点 P 在直线 l 上,将直线的参数方程代入曲线 C 的普通方程得:

t 2 ? 2t ? 8 ? 0 ,设其两个根为 t1 , t 2 ,所以: t1 ? t 2 ? 2 , t1t 2 ? ?8 ,

由参数 t 的几何意义知: PA ? PB ? t1 ? t 2 ?

(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 6 .

…………………..12 分

4x ? 2 的定义域 D=(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) x ?1 49 11 11 1 1 把 x0 ? 代入可得 x1 ? ,把 x1 ? 代入可得 x2 ? ,把 x2 ? 代入可得 x3 ? ?1 所 65 19 19 5 5 11 1 x2 ? x3 ? ?1 以数列{xn}只有三项: x1 ? ?????6 分 19 5
20.试题解析: (1)函数 f ? x ? ? (2)f(x)=2x+3 的定义域为 R, 若 x0 ? ?1 ,则 x1 ? 1 , 则 xn+1=f(xn)=2xn+3,所以 xn+1+3=2(xn+3) , 所以数列{xn+3}是首项为 4,公比为 2 的等比数列, 所以 xn ? 3 ? 4? 2n?1 ? 2n?1 ? xn ? 2n?1 ? 3 即数列{xn}的通项公式 xn ? 2n?1 ? 3 . ?????????12 分 21.【答案】 (1) 76.5 , 560 人; (2)没有 90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有 关.

15 ? 2 ? 45 ? 4 ? 75 ?8 ?105 ?3 ?135 ?3 ? 76.5 20 ∴估计文科数学平均分为 76.5 . ??????3 分。 50 20 ? 8 ? 1000 , 1000 ? ? 560 , ∵ 1400 ? 70 50 ∴理科考生有 560 人及格. ??????7 分
试题解析: (1)∵

70 ? ?15 ? 20 ? 5 ? 30 ? (2) k ? ? 1.4 ? 2.706 , 20 ? 50 ? 25 ? 45
2 2

故没有 90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关. ?????12 分 22.试题解析:解: (1)直线 l : y ? x ,曲线

C:

x2 ? y2 ? 1 2 ?????5 分

? ? x ? x0 ? ? l1 : ? ?y ? y ? 0 ? M ( x , y ) ? 0 0 及过点 M 的直线为 (2)设点

2 t 2 2 t 2 ( t 为参数).

3t 2 2 2 ? 2tx0 ? 2 2ty0 ? x0 ? 2 y0 ?2?0 l C 由直线 1 与曲线 相交可得: 2 ,
| MA | ? | MB |?
2 x 2 ? 2 y0 ?2 8 8 2 2 ?| 0 |? ,即: x0 ? 2 y0 ? 6, 3 3 3 2

x2 ? 2 y 2 ? 6 表示一椭圆,??????9 分
x2 ? y2 ? 1 y ? x ? m 2 若 使过 M 的 直线 直线与 C 有 两交 点, 取直线方 程 代入 , 得:
3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,则 ? ? 0 得 ? 3 ? m ? 3 ,
2 2

????10 分

故点 M 的轨迹是椭圆 x ? 2 y ? 6 夹在平行直线 y ? x ? 3 之间的两段弧. ……………………………..12 分


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