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太原市高三二模——数学理科试题及答案


山西省太原市 2013 届高三第二次模拟考试

数学(理)试题
第Ⅰ 卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.复数 (

2i 2 ) (其中 i 为虚数单位)的虚部等于 1? i

A.一 i B.—1 C.1 D

.0 2.已知全集 U:{0,1,2,3,4 ,A={l,2,3},B:{2,4 },则下图阴影部分表示的集合为 A.{0,2} B.{0,1,3} C.{1,3,4} D.{2,3,4} 3.某几何体的三视图(图中单位:cm)如图 所示,则此 何体的体积是 A.36 cm3 B.48 cm3 C.60cm3 D.72 cm3 4.在 A ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a ? A.60° B.30° C.135° D.45° 5.设 x1 ? 18, x2 ? 19, x3 ? 20, x4 ? 21 , x5 ? 22, 将这 5 个数依次输入下面的程序框图运行,则输出 S 的 值及其统计意义分别是

2b, sin B ? sin C ,则 B 等于

A.S=2,这 5 个数据的方差 C.S=10,这 5 个数据的方差
2 2

B.S=2,这 5 个数据的平均数 D.S=10,这 5 个数据的平均数

6.若点 p(1,1)是圆 x ? ( y ? 3) ? 9 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 3 ? 0
1

C. 2 x ? y ? 3 ? 0

D. 2 x ? y ? 1 ? 0

7.某农场给某种农作物施肥量 z(单位:吨)与其产量 y(单位:吨)的统计数据如下表:根据上表,得

? ,当施肥量 x ? 6 时,该农作物的预报产量是 ? =9.4x+ a 到回归直线方程“ y

A.72.0 B.67.7 C.65.5 D.63.6 8.现有 1 位教师,2 位男学生,3 位女学生共 6 入站成_排照相.若男学生站两端,3 位女学生中有且只有 两位相邻,则不同排法的种数是 A.12 B.24 C.36 D.72 9.已知球的半径为 5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为 2 3 ,若其中一个 圆的半径为 4,则另一个圆的半径为 A.3 10.已知实数 a,b 满足 ? B. 10 C. 11 D.2 3

?0 ? a ? 4, x1 , x2 是关于 x 的方程 x 2 ? 2x ? b ? a ? 3 ? 0 的两个实根,则不等式 ?0 ? b ? 4,
3 16 9 D. 16
B.

0<x1<1<x2 成立的概率是

3 32 5 C. 32
A. 11.函数 f ( x) ? ( ) A.2 12.已知双曲线

1 2

| x ?1|

? 2 cos x(?2 ? x ? 4) 的所有零点之和为
B.4 C.6 D.8

x a

2 2

?

y

2

b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 O 为双曲线的中心,点 P 在双

曲线右支上, △ PF1F2 内切圆的圆心为 Q, 圆 Q 与 x 轴相切于点 A, 过 F2 作直线 PQ 的垂线, 垂足为 B, 则下列结论成立的是 A.|OA |>|OB | · B.|OA|<|OB| C.|OA|=|OB| D.|OA|与|OB|大小关系不确定

第Ⅱ 卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答. 第 22 题~ 第 24 题为选考题。考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知(1+mx)6: a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a6 x ,若 a1 ? a2 ?? ? a6 ? 63,则实数 m=
2 6

.

14.抛物线 y ? x 上的点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的最短距离为
2

.

2

15.“求方程 ( ) ? ( ) ? 1 的解”有如下解题思路:设 f ( x) ? ( ) ? ( ) , 则f ( x) 在 R 上单调递减。且
x x x x

3 5

4 5

3 5

4 5

f(2)=1,所以原方程有唯一解 x=2.类比上述解题思路,不等式 x 6 ? ( x ? 2) ? ( x ? 2) 3 ? x 2 的解集 是 .

16.向量 a,b,c,d 满足: | a |? 1, | b |?

1 2, b 在 a 方向上的投影为 , (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,|d 一 c|=1, 2

则|d|的最大值是 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前以项和 S n ? n 2 (n∈ N*) ,等比数列{ bn }满足 b1 ? a1 ,2b3 ? b4 . (I)求数列{ an }和{ bn }的通项公式; (II)若 cn ? an ? bn (n ? N*) ,求数列{ cn }的前 n 项积 Tn 。

1 8. (本小题满分 12 分) 为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况,在该市随机抽取了 50 名市民进行调查,他们月收入 (单位:百元)的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表:

将月收入不低于 55 的人群称为“高收入族",月收入低于 55 的人群称为“非高收入族". (I)根据已知条件完成下面的 2× 2 列联表,问能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为非高 收入族赞成楼市限购令?

(II)现从月收入在[15,25)和[25,35)的两组人群中各随机抽取两人进行问卷调查,记参加问卷调 查的 4 人中不赞成荤掌楼市限购令的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 附: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

;
3

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠ BAD=60° ,Q 为 AD 的中点,PA=PD=AD=2, 点 M 在线段 PC 上,且 PM=tPC, (I)试确定实数 t 的值,使 PA∥ 平面 BMQ; (Ⅱ )在(I)的条件下,若 PQ 上平面 ABCD;求二面角 M—BQ—C 的大小。

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在工轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,且经过点 M(2,1) , 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m,直线 l 与椭圆相交于 A,B 两个不同点。 (I)求实数 m 的取值范围; (Ⅱ )证明:直线 MA,MB 与 x 轴围成的三角形是等腰三角形。

21. (本小题满分 12 分) 已知 a,b∈ R,函数 f ( x) ? a ? ln(x ? 1) 的图象与 g(x) ? 处有公共切线. (I)证明:不等式 f ( x) ? g ( x) 对一切 x∈ (一 l,+ ? )恒成立; (II)设一 1< x1 ? x2 ,当x ? ( x1 , x2 ) 时,证明:

1 2 1 2 x ? x ? bx 的图象在交点(0,0) 3 2

f ( x) ? f ( x1 ) f ( x) ? f ( x2 ) . ? x ? x1 x ? x2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请把答题
4

卡上所选题目题号后的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图,点 C 是⊙ O 直径 BE 的延长线上一点,AC 是⊙ O 的切线,A 为切点,∠ ACB 的平分线 CD 与 AB 相交于点 D,与 AE 相交于点 F。 (I)求∠ ADF 的值; (11)若 AB=AC,求

AC 的值。 BC

23. (本小题满分 10 分) 选修 4—4;坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xoy 中,点 A(2,0)在曲线 C1: ?

? x ? a cos? , (a ? 0, ?为参数) 上.以原点 O 为极 ? y ? sin ?

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为: ? ? a cos? . (I)求曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ ) 已知点 M, N 的极坐标分别为 ( ?1 , ? ) , ( ? 2 ,? ? 的值。

?
2

) , 若点 M, N 都在曲线 C1 上, 求

1

?

2 1

?

1
2 ?2

24. (本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | (a ? 0) . (I)当 a=2 时,解不等式 f(x)≤4; (Ⅱ )若不等式 f(x)≤4 对一切 x ? [a,2] 恒成立,求实数 a 的取值范围.

5

6

7

8

9

10


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