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2014届高三数学数列章末综合测试题


2013 届高三数学章末综合测试题(9)数列
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.在等差数列{an }中,若 a1 +a2 +a12 +a13 =24,则 a7 为( A.6 B.7 C.8 D.9 )

解析:∵a1 +a2 +a12 +a13 =4a7 =24,∴a7 =6. 答案:A S S 2.若等差数列{a

n }的前 n 项和为 Sn ,且满足 3 - 2 =1,则数列{an }的公差是( 3 2 A. 1 2 B.1 C.2 D.3 )

n(n-1) S S 解析:由 Sn =na1 + d,得 S3 =3a1 +3d,S2 =2a1 +d,代入 3 - 2 =1,得 d=2, 2 3 2 故选 C. 答案:C 3.已知数列 a1 =1,a2 =5,an +2 =an +1 -an (n∈N* ),则 a2 011 等于( A.1 B.-4 C.4 D.5 )

解析:由已知,得 a1 =1,a2 =5,a3 =4,a4 =-1,a5 =-5,a6 =-4,a7 =1,a8 =5,… 故{an }是以 6 为周期的数列, ∴a2 011 =a6 ×335+ 1 =a1 =1. 答案:A 4.设{an }是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S5 <S6,S6 =S7 >S8 ,则下列结论错误的是 ( ) A.d<0 C.S9 >S5 B.a7 =0 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

解析:∵S5 <S6 ,∴a6 >0. S6 =S7 ,∴a7 =0. 又 S7 >S8 ,∴a8 <0. 假设 S9 >S5 ,则 a6 +a7 +a8 +a9 >0,即 2(a7 +a8)>0. ∵a7 =0,a8 <0,∴a7 +a8 <0. 假设不成立,故 S9 <S5 . ∴C 错误. 答案:C 5.设数列{an }是等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 S3 =3a3 ,则公比 q 的值为( A.- 1 2 B. 1 2
[来 ]

)

1 C.1 或- 2 解析:设首项为 a1 ,公比为 q,

1 D.-2 或 X k b 1 . c o m 2

则当 q=1 时,S3 =3a1 =3a3 ,适合题意. a1 (1-q ) 当 q≠1 时, =3· a1 q2 , 1- q ∴1-q3 =3q2 -3q3 ,即 1+q+q2 =3q2,2q2 -q-1=0, 1 解得 q=1(舍去),或 q=- . 2 1 综上,q=1,或 q=- . 2 答案:C
3

?2?2 n -2 -4· ?2?n -1 ,数列{an }的最大项为第 x 项,最小 6.若数列{an }的通项公式 an =5· ?5? ?5?
项为第 y 项,则 x+y 等于( A.3 B.4 ) C.5 D.6

?? 2? n - 1 -2?2 -4, ?2?2 n - 2 -4· ?2?n - 1 =5· 解析:an =5· ?5? ?5? ?? 5? 5? 5
∴n=2 时,an 最小;n=1 时,an 最大. 此时 x=1,y=2,∴x+y=3. 新 课
[





一 网

答案:A 7.数列{an }中,a1 =15,3an +1 =3an -2(n∈N ),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是 ( ) A.a21 a22 B.a22 a23 C.a23 a24 D.a24 a25
*

解析:∵3an + 1 =3an -2, 2 2 ∴an + 1 -an =- ,即公差 d=- . 3 3 2 ∴an =a1 +(n-1)· d=15- (n-1). 3 2 令 an >0,即 15- (n-1)>0,解得 n<23.5. 3 又 n∈N* ,∴n≤23,∴a23 >0,而 a24 <0,∴a23 a24 <0. 答案:C 8.某工厂去年产值为 a,计划今后 5 年内每年比上年产值增加 10%,则从今年起到第 5 年,这个厂的总产值为( A.1.14 a C.11×(1.15 -1)a ) B.1.15 a D.10×(1.16 -1)a
]

解析:由已知,得每年产值构成等比数列 a1 =a,www.xkb1.com an =a(1+10%)n -1 (1≤n≤6). ∴总产值为 S6 -a1 =11×(1.1 -1)a.
5

答案:C 9.已知正数组成的等差数列{an }的前 20 项的和为 100,那么 a7· a14 的最大值为( A.25 B.50 C.100 ∴a7 +a14 =10. D.不存在 )

解析:由 S20 =100,得 a1 +a20 =10.

a7 +a14?2 又 a7 >0,a14 >0,∴a7 · a14 ≤? ? 2 ? =25. 答案:A 10.设数列{an }是首项为 m,公比为 q(q≠0)的等比数列,Sn 是它的前 n 项和,对任意 的 n∈N* ,点?an ,

?

S2 n? ( Sn ?

)

A.在直线 mx+qy-q=0 上 B.在直线 qx-my+ m=0 上 C.在直线 qx+my-q=0 上 D.不一定在一条直线上

? m(1-q ) 解析: S 1-q ? S = m(1 =1+q =y, -q ) ? 1-q
an =mq
2n n

n -1

=x,
2n



n

n



m 由②得 qn =y-1,代入①得 x= (y-1), 即 qx-my+m=0. q 答案:B 11.将以 2 为首项的偶数数列,按下列方法分组:(2),(4,6),(8,10,12),…,第 n 组有 n 个数,则第 n 组的首项为( A.n2 -n C.n2 +n ) B.n2 +n+2 D.n2 -n+2 (n-1)n 项,所 2

解析:因为前 n-1 组占用了数列 2,4,6,…的前 1+2+3+…+(n-1)=

(n-1)n (n-1)n 以第 n 组的首项为数列 2,4,6,…的第 +1 项,等于 2+? +1-1? 2=n2 -n+2. ? ?· 2 2 答案:D 12. 设 m∈N , log2 m 的整数部分用 F (m)表示, 则 F (1)+F (2)+…+F(1 024) 的值是( A.8 204 C.9 218 B.8 192 D.以上都不对
*

)

解析:依题意,F (1)=0, F (2)=F (3)=1,有 2 个 F (4)=F (5)=F (6)=F (7)=2,有 22 个.

F (8)=…=F (15)=3,有 23 个. F (16)=…=F (31)=4,有 2 个. … F (512)=…=F (1 023)=9,有 29 个. F (1 024)=10,有 1 个. 故 F (1)+F (2)+…+F (1 024)=0+1×2+2×2 +3×2 +…+9×2 +10. 令 T=1×2+2×2 +3×2 +…+9×2 ,① 则 2T=1×22 +2×23 +…+8×29 +9×210. ② ①-②,得-T=2+2 +2 +…+2 -9×2 = 2(1-29 ) -9×210 =210 -2-9×210 =-8×210 -2, 1- 2 ∴T=8×210 +2=8 194,w w w .x k b 1.c o m
]

4

2

3

9

2

3

9

2

3

9

10

∴F (1)+F (2)+…+F (1 024) =8 194+10=8 204. 答案:A 第Ⅱ卷 (非选择 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分 ,共 20 分. 13.若数列{an } 满足关系 a1 =2,an +1 =3an +2,该数 列的通项公式为__________. 解析:∵an + 1 =3an +2 两边加上 1 得,an+ 1 +1=3(an +1), ∴{an +1}是以 a1 +1=3 为首项,以 3 为公比的等比数列, ∴an +1=3· 3
n- 1

=3 ,∴an =3 -1.

n

n

答案:an =3n -1 14.已知公差不为零的等差数列{an }中,M=an an +3 ,N=an +1 an +2 ,则 M 与 N 的大小关 系是__________. 解析:设{an }的公差为 d,则 d≠0. M-N=an (an +3d)-[(an +d)(an +2d)] =an 2 +3dan -an2 -3dan -2d2 =-2d2 <0,∴M<N. 答案:M<N 15.在数列{an }中,a1 =6,且对任意大于 1 的正整数 n,点( an , an -1)在直线 x-y= 6上,则数列{ an }的前 n 项和 Sn =__________. 3 n (n+1)

解析:∵点( an , an - 1)在直线 x-y= 6上, ∴ an - an - 1= 6,即数列{ an }为等差数列. ∴ an = a1 + 6(n-1)= 6+ 6(n-1)= 6n, ∴an =6n2 .



2 1 1 ? an 6n 6 = 3 = =6? - ? n n+1? n (n+1) n (n+1) n(n+1) 3

1 1 1 1 1 ? 1 ? 6n ∴Sn =6?1- + - +…+ - . =6?1- ? 2 2 3 ? n+1?=n+1. n n+1? 6n 答案: n+1 16.观察下表: 1 2 3 4 … 则第__________行的各数之和等于 2 009 . 解析:设第 n 行的各数之和等于 2 0092 , 则此行是一个首项 a1 =n,项数为 2n-1,公差为 1 的等差数列. (2n-1)(2n-2) 故 S=n×(2n-1)+ =2 0092 , 解得 n=1 005. 2 答案:1 005 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 1 1 * 17.(10 分)已知数列{an }中,a1 = ,an +1 = an +1(n∈N ),令 bn =an -2. 2 2 (1)求证:{bn}是等比数列,并求 bn ; (2)求通项 an 并求{an }的前 n 项和 Sn . 1 1 a +1-2 an -1 bn + 1 an + 1 -2 2 n 2 1 解析:(1)∵ = = = = , bn an -2 an -2 an -2 2 ∴{bn }是等比数列. 3 ∵b1 =a1 -2=- , 2 3 1?n - 1 3 ∴bn =b1 qn- 1 =- ×? =- n . 2 ?2? 2 3 (2)an =bn +2=- n +2, 2 Sn =a1 +a2 +…+an 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? =? ?-2+2?+?-22 +2?+?-23 +2?+…+?-2n +2? 1 ? 1 ×?1- n? ? 1 1 1 2 2 3 =-3×? + 2 +…+ n? +2n=-3× +2n= n +2n-3. ?2 2 ? 2 1 2 1- 2
2

3 4 5

4 5 6 6 7 7 8 9 10

18.(12 分)若数列{an }的前 n 项和 Sn =2n. (1)求{an}的通项公式; an · bn (2)若数列{bn}满足 b1 =-1,bn +1 =bn +(2n-1),且 cn = ,求数列{cn }的通项公式及 n 其前 n 项和 Tn. 解析:(1)由题意 Sn =2n , 得 Sn -1 =2n- 1 (n≥2), 两式相减,得 an =2n -2n- 1 =2n -1 (n≥2). 当 n=1 时,21- 1 =1≠S1 =a1 =2. ∴an =?
?2 ? ? ?2
n- 1

(n=1), (n≥2).

(2)∵bn+ 1 =bn +(2n-1), ∴b2 -b1 =1, b3 -b2 =3, b4 -b3 =5, … bn -bn -1 =2n-3. 以上各式相加,得 bn -b1 =1+3+5+…+(2n-3) = (n-1)(1+2n-3) =(n-1)2 . 2
2

∵b1 =-1,∴bn =n -2n, ∴cn =?
? -2 ? ? ( n-2)×2 ?
n- 1

(n=1), (n≥2),

∴Tn =-2+0×21 +1×22 +2×23 +…+(n-2)×2n- 1 , ∴2Tn =-4+0×2 +1×2 +2×2 +…+(n-2)×2 . ∴-Tn =2+22 +23 +…+2n- 1 -(n-2)×2n = 2(1-2n -1 ) -(n-2)×2n 1-2
2 3 4 n

=2n -2-(n-2)×2n =-2-(n-3)×2n . ∴Tn =2+(n-3)×2n. 19.(12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,公差 d≠0,且 S3 +S5 =50,a1 ,a4 ,a13 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若从数列{an}中依次取出第 2 项,第 4 项,第 8 项,…,第 2n 项,…,按原来顺序 组成一个新数列{bn },记该数列的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的表达式. 解析:(1)依题意,得 3×2 5×4 ? ? ?3a1 + d+5a1 + d=50, ?a1 =3, 2 2 解得? ? ?d=2. ? ? ?(a1 +3d)2 =a1 (a1 +12d), ∴an =a1 +(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即 an =2n+1. (2)由已知,得 bn =a2 n =2×2 +1=2 ∴Tn =b1 +b2 +…+bn =(22 +1)+(23 +1)+…+(2n +1 +1) = 4(1-2n ) +n=2n + 2 -4+n. 1-2
n n +1

+1,

20.(12 分)设数列{an }的前 n 项和为 Sn ,且 ban -2n =(b-1)Sn . (1)证明:当 b=2 时,{an -n· 2n -1 }是等比数列; (2)求通项 an. 新 课 标 第 一 网

解析:由题意知,a1 =2,且 ban -2n =(b-1)Sn , ban + 1 -2n +1 =(b-1)Sn +1 , 两式相减,得 b(an+ 1 -an)-2 =(b-1)an+ 1 , 即 an +1 =ban +2n. ① (1)当 b=2 时,由①知,an+ 1 =2an +2n . 于是 an +1 -(n+1)· 2n =2an +2n -(n+1)· 2n 2 =2(an -n·
n- 1 n

).

又 a1 - 1· 20 =1≠0, ∴{an -n· 2n- 1}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. (2)当 b=2 时, 由(1)知,an -n· 2
n -1

=2

n- 1

,即 an =(n+1)· 2

n- 1

当 b≠2 时,由①得 1 1 b n+ 1 n n +1 n an + 1 - · 2 =ban +2 - · 2 =ban - · 2 2-b 2-b 2-b =b?an -

?

1 · 2n?, 2-b ?

1 2(1-b) n 1 n n +1 ? · 2 ?= 因此 an +1 - · 2 =b?an - · b. 2-b ? 2-b 2-b

得 an =? 1 n n -1 ?2-b[2 +(2-2b)b ], ?

2, ? ?

n=1, n≥2.

21.(12 分)某地在抗洪抢险中接到预报,24 小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达, 为保证万无一失,抗洪指挥部决定在 24 小时内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算,如 果有 20 辆大型翻斗车同时作业 25 小时,可以筑起第二道防线,但是除了现有的一辆车可以 立即投入作业外, 其余车辆需从各处紧急抽调, 每隔 20 分钟就有一辆车到达并投入工作. 问 指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作,才能保证 24 小时内完成第二道防线,请说明 理由. 解析:设从现有这辆车投入工作算起,各车的工作时间依次组成数列{an },则 an -an- 1 1 =- . 3 1 所以各车的工作时间构成首项为 24,公差为- 的等差数列,由题知,24 小时内最多可 3 抽调 72 辆车. 设还需组织(n-1)辆车,则 n(n-1) ? 1? a1 +a2 +…+an =24n+ ×?- ?≥20×25. 2 3 所以 n2 -145n+3 000≤0, 解得 25≤n≤120,且 n≤73. 所以 nmin =25,n-1=24. 故至少还需组织 24 辆车陆续工作,才能保证在 24 小时内完成第二道防线. 22. (12 分)已知点集 L={(x, y)|y=m · n}, 其中 m =(2x-2b, 1), n=(1,1+2b), 点列 P n(an , bn )在点集 L 中, P 1 为 L 的轨迹与 y 轴的交点, 已知数列{an }为等差数列, 且公差为 1, n∈N . (1)求数列{an},{bn }的通项公式;
*

5 (3)设 cn = (n≥2),求 c2 +c3 +c4 +…+cn 的值. n· an · |P nP n +1 | 解析:(1)由 y=m· n,m =(2x-2b, 1),n=(1,1+2b), 得 y=2x+1,即 L:y=2x+1. ∵P 1 为 L 的轨迹与 y 轴的交点, ∴P 1 (0,1),则 a1 =0,b1 =1. ∵数列{an }为等差数列,且公差为 1, ∴an =n-1(n∈N* ) . 代入 y=2x+1,得 bn =2n-1(n∈N* ).

(2)∵P n(n-1,2n-1),∴P n+ 1(n, 2n+1).

=5n2 -n-1=5? ?n- ∵n∈N* ,

1 ?2 21 - . 10? 20

(3)当 n≥2 时,P n(n-1,2n-1),

∴c2 +c3 +…+cn 1? 1? ?1 1? 1 ? 1 =? ?1-2?+?2-3?+…+?n-1-n?=1-n.


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