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高中数学必修五解三角形教案


2016 届文科人教版数学 角形

解三



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 10 月 20 日

数学 5
(一)课标要求

第一

章 解三角形
章节总体设计

本章的中心内容是如何解三角形, 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具, 最后落实在解三角形的应 用上。通过本章学习,学生应当达到以下学习目标: (1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三 角形度量问题。 (2)能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问 题。 (二)编写意图与特色 1.数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分,有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学,并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学 生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理,它们都是关于三角形的边角关 系的结论。在初中,学生已经学习了相关边角关系的定性的知识,就是“在任意三角形中有大边对大角, 小边对小角” , “如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题: “在任意三角形中 有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?” ,在引入 余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法, 这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从 已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。 ”设置这些问题,都是为了加强数学思 想方法的教学。 2.注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系,注意复习和应用已学内容,并为后续章节教学内容做好准备,能使 整套教科书成为一个有机整体,提高教学效益,并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系,已知三角形的边和角 相等判定三角形全等的知识有着密切联系。 教科书在引入正弦定理内容时, 让学生从已有的几何知识出发, 提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的 关系准确量化的表示呢?” ,在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹 的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来 研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。 ”这 样,从联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立 在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构。 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容,位置相对靠后,在 此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容,这使这 部分内容的处理有了比较多的工具,某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明,常用的方 法是借助于三角的方法,需要对于三角形进行讨论,方法不够简洁,教科书则用了向量的方法,发挥了向

量方法在解决问题中的威力。 在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个思考问题“勾 股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系, 如何看这两个定理之间的关系?” ,并进而指出, “从余弦定理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形 两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对 的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.从上可知,余弦定理是勾股定理的推 广.” 3.重视加强意识和数学实践能力 学数学的最终目的是应用数学,而如今比较突出的两个问题是,学生应用数学的意识不强,创造能力 较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题,不能把所学的数学知识应用到实际问题中去,对所学数 学知识的实际背景了解不多,虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强,但当面临一种新的 问题时却办法不多,对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学 思维方法了解不够。针对这些实际情况,本章重视从实际问题出发,引入数学课题,最后把数学知识应用 于实际问题。 (三)教学内容及课时安排建议 1.1 正弦定理和余弦定理(约 3 课时) 1.2 应用举例(约 4 课时) 1.3 实习作业(约 1 课时) (四)评价建议 1.要在本章的教学中,应该根据教学实际,启发学生不断提出问题,研究问题。在对于正弦定理和 余弦定理的证明的探究过程中,应该因势利导,根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到 自己对于定理的证明。如对于正弦定理,可以启发得到有应用向量方法的证明,对于余弦定理则可以启发 得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中,一个问题也常常 有多种不同的解决方案,应该鼓励学生提出自己的解决办法,并对于不同的方法进行必要的分析和比较。 对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序,得到在实际中可以直接应用的算法。 2.适当安排一些实习作业,目的是让学生进一步巩固所学的知识,提高学生分析问题的解决实际问 题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力,增强学生应用数学的意识和数 学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导,包括对于实际测量问题的选择,及时纠正实际操作中 的错误,解决测量中出现的一些问题。

§1.1.1 正弦定理
●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦 定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通 过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数 学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的 普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 课题导入 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B 讲授新课 (图 1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图 1. 1-2, 在 Rt ? ABC 中, 设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有 又 sinC ? 1 ? , 则

a b ? sin A , ? sin B , c c

c c a

A

sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?c ?

b

c a (图 1.1-2) B

从而在直角三角形 ABC 中,

a
sin A

b
sin B

?

c
sin C

C

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义,有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而

a
sin A


?

b
sin B

, b A

C a c B

c
sinC ?

?

b
sin B ?

a
sin A

b
sin B

c
sinC

(图 1.1-3) 思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 (证法二) :过点 A 作 j ? AC , 由向量的加法可得 则

? ?

??? ?

C

AB ? AC ? CB
? ? ???

???

??? ?

???

j ? AB ? j ?(AC ? CB )
∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB

? ? ??? ? ???

A

B

? ? ???

? ? ??? ? ? ? ???

? ? j

? ??? ? ? ??? ? j AB cos?900 ? A? ?0 ? j CB cos?900 ?C ?
∴ c sin A ? a sin C ,即 同理,过点 C 作 j ? BC ,可得 从而

a c ? sin A sin C

? ??? ?

b c ? sin B sin C

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理,

a b

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 )
? 66.20 ; 根据正弦定理,

b?

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

根据正弦定理,

c?

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边长精确到 1cm) 。 解:根据正弦定理,

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20 因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. ⑴ 当 B ? 640 时, sin B ?
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ,
c? a sin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400

⑵ 当 B ?1160 时,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ?1160 ) ? 240 ,
c? a sin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400

评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 [练习]已知 ? ABC 中, sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,求 a :b :c (答案:1:2:3) 课时小结(由学生归纳总结)

a b c a ? b ?c ? ? ? ? k ? k ? 0? ; sin A sin B sinC sin A ? sin B ? sinC 或 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC (k ? 0)
(1)定理的表示形式: (2)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。

§1.1.2 余弦定理
●教学目标 知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本 的解三角形问题。 过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本 的解三角形问题 情感态度与价值观: 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 通过三角函数、 余弦定理、 向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; ●教学难点 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程 课题导入 C 如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c A 讲授新课 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 ??? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? 如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c ? a ? b ,则 b c (图 1.1-4) a B

A

? b

? c

c ? c ?c ? a ? b a ? b ? ? ? ? ? ? ?a b ? b ?? 2a?? b ??2a ? ? 2 ? a ? b ? 2a ? b
从而

?2

? ?

?

?

? ?

??

?

?
C

? a

B

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

(图 1.1-5)

同理可证 于是得到以下定理

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的 两倍。即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

思考: 这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量, 可以求出第四个量, 能否由三边求出一角? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:

cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 2ac

cosC ?

b2 ? a 2 ? c 2 2ba

从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方 之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? (由学生总结)若 ? ABC 中,C= 90 0 ,则 cos C ? 0 ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 [例题]例 1.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A ⑴解:∵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) = 8 ⑵解法一:∵cos A ? ∴ A ? 600. ∴ b ? 2 2.

b2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2)

a 2 3 ?sin450 , 解法二:∵sin A ? sin B ? b 2 2
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ? 3.8, ∴ a < c ,即 00 < A < 900 ,

2 3 < 2?1.8 ? 3.6,
∴ A ? 600.

例 2.在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形 (见课本第 8 页例 4,可由学生通过阅读进行理解) 解:由余弦定理的推论得: cos A?

b2 ? c2 ? a2 87.82 ?161.72 ?134.62 ? 0.5543, ? 2bc 2?87.8?161.7 A ? 56020? ;

cos B ?

c2 ? a2 ?b2 134.62 ?161.72 ?87.82 ? 0.8398, ? 2ca 2?134.6?161.7 B ? 32053? ;

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053?)
[练习]在 ? ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,求角 A(答案:A=120 0 ) 课时小结 (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;

(2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。

§1.1 解三角形的进一步讨论
●教学目标 知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;三角 形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。 过程与方法:通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函数公式 及三角形有关性质求解三角形问题。 情感态度与价值观:通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系, 反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 ●教学重点 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; 三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。 ●教学难点 正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 ●教学过程 课题导入: 思考:在 ? ABC 中,已知 a ? 22 cm , b ? 25cm , A ? 1330 ,解三角形。 从此题的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些条件下会出现无 解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 讲授新课 b ,A ,讨论三角形解的情况 例 1.在 ? ABC 中,已知 a ,

b sin A 可进一步求出 B; a a sinC 则 C ? 1800 ?(A ? B ) 从而 c ? A 1.当 A 为钝角或直角时,必须 a ? b 才能有且只有一解;否则无解。
分析:先由 sin B ? 2.当 A 为锐角时, 如果 a ≥ b ,那么只有一解; 如果 a ? b ,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a ? b sin A ,则有两解; (2)若 a ? b sin A ,则只有一解; (3)若 a ? b sin A ,则无解。 (以上解答过程详见课本第 9 ? 10 页) 评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且 b sin A ? a ? b 时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。 [练习 1] (1)在 ? ABC 中,已知 a ? 80 , b ? 100 , ?A ? 450 ,试判断此三角形的解的情况。 (2)在 ? ABC 中,若 a ? 1 , c ?

1 , ?C ? 400 ,则符合题意的 b 的值有_____个。 2

(3)在 ? ABC 中, a ? xcm , b ? 2 cm , ?B ? 450 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,求 x 的取值范围。 (答案: (1)有两解; (2)0; (3) 2 ? x ? 2 2 ) 例 2.在 ? ABC 中,已知 a ? 7 , b ? 5 , c ? 3 ,判断 ? ABC 的类型。 分析:由余弦定理可知

a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角? ?ABC是锐角三角形
(注意: A是锐角? ?ABC是锐角三角形 ) 解:? 72 ? 52 ? 32 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 , ∴ ?ABC是钝角三角形 。

[练习 2](1)在 ? ABC 中,已知 sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,判断 ? ABC 的类型。 (2)已知 ? ABC 满足条件 a cosA ? b cosB ,判断 ? ABC 的类型。 (答案: (1) ?ABC是钝角三角形 ; (2) ? ABC 是等腰或直角三角形) 例 3.在 ? ABC 中, A ? 600 , b ? 1 ,面积为

3 a ? b ?c ,求 的值 2 sin A ? sin B ? sinC 1 1 1 分析:可利用三角形面积定理 S ? ab sinC ? ac sin B ? bc sin A 以及正弦定理 2 2 2

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?

a ? b ?c sin A ? sin B ? sinC

1 3 解:由 S ? bc sin A ? 得c ? 2 , 2 2
则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A =3,即 a ? 3 ,从而 课堂练习 (1)在 ? ABC 中,若 a ? 55 , b ? 16 ,且此三角形的面积 S ? 220 3 ,求角 C (2)在 ? ABC 中,其三边分别为 a、b、c,且三角形的面积 S ? (答案: (1) 600 或 1200 ; (2) 450 ) 课时小结 (1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; (2)三角形各种类型的判定方法; (3)三角形面积定理的应用。 Ⅴ.课后作业 (1)在 ? ABC 中,已知 b ? 4 , c ? 10 , B ? 300 ,试判断此三角形的解的情况。 (2)设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长,求实数 x 的取值范围。 (3)在 ? ABC 中, A ? 600 , a ? 1 , b ?c ? 2 ,判断 ? ABC 的形状。 (4)三角形的两边分别为 3cm,5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x 2 ? 7x ? 6 ? 0 的根,

a ? b ?c a ? ?2 sin A ? sin B ? sinC sin A

a 2 ? b 2 ?c 2
4

,求角 C

求这个三角形的面积。

§1.2 解三角形应用举例一
●教学目标 知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的 测量相关术语 过程与方法:首先通过巧妙的设疑,顺利地引导新课,为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际 情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程,根据大纲要 求以及教学内容之间的内在关系,铺开例题,设计变式,同时通过多媒体、图形观察等直观演示,帮助学 生掌握解法,能够类比解决实际问题。对于例 2 这样的开放性题目要鼓励学生讨论,开放多种思路,引导 学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符 号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解 ●教学难点 根据题意建立数学模型,画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 1、[复习] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形? 2、[设置情境] 请学生回答完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个问题, “遥不可及的月 亮离我们地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么神 奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道,对于未知的距离、高度等,存在着许多可供选择的测量方案, 比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法,或借助解直角三角形等等不同的方法,但由于在实际测量 问题的真实背景下,某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所 以,有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定 理、余弦定理在科学实践中的重要应用,首先研究如何测量距离。 Ⅱ.讲授新课 (1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题里的条件和所 求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解 [例题讲解] (2)例 1、如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在所在的河 岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55m, ? BAC= 51 ? , ? ACB= 75 ? 。求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m)

启发提问 1: ? ABC 中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当? 启发提问 2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?请学生回答。 分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目条件告诉了边 AB 的对角,AC 为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角,应用正弦定理 算出 AB 边。 解:根据正弦定理,得
AB sin ?ACB

=

AC sin ?ABC

AB =

AC sin ?ACB = sin ?ABC

55sin ?ACB = sin ?ABC

55 sin 75? sin(180? ? 51? ? 75?)

=

55sin 75? ≈ 65.7(m) sin54?

答:A、B 两点间的距离为 65.7 米 变式练习:两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ? ,灯塔 B 在观 察站 C 南偏东 60 ? ,则 A、B 之间的距离为多少? 老师指导学生画图,建立数学模型。 解略: 2 a km 例 2、如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达) ,设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。 分析:这是例 1 的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形,所以 需要确定 C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求 出 AC 和 BC,再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。

解:测量者可以在河岸边选定两点 C、D,测得 CD=a,并且在 C、D 两点分别测得 ? BCA= ? ,

? ACD= ? , ? CDB= ? , ? BDA = ? ,在 ? ADC 和 ? BDC 中,应用正弦定理得

AC = BC =

a sin(? ? ? ) sin[180? ? ( ? ? ? ? ? )] a sin ? sin[180? ? (? ? ? ? ? )]

= =

a sin(? ? ? ) sin(? ? ? ? ? ) a sin ? sin(? ? ? ? ? )

计算出 AC 和 BC 后,再在 ? ABC 中,应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离 AB =
AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?

分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。 变式训练:若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点,测得 ? BCA=60 ? ,? ACD=30 ? ,? CDB=45 ? ,? BDA =60 ? 略解:将题中各已知量代入例 2 推出的公式,得 AB=20 6 评注:可见,在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些过程较繁复, 如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择最佳的计算方式。 课时小结 解斜三角形应用题的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三 角形的数学模型 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解

§1.2 解三角形应用举例二
●教学目标 知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问 题 过程与方法:本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法,让学生在温故知新中学会正确 识图、画图、想图,帮助学生逐步构建知识框架。通过 3 道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形 实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳,目的不在于让学生记住结论,更多的要养成 良好的研究、探索习惯。作业设计思考题,提供学生更广阔的思考空间 情感态度与价值观:进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 ●教学重点 结合实际测量工具,解决生活中的测量高度问题 ●教学难点 能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 提问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢?又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机 下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.讲授新课 [范例] 例 1、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。

分析:求 AB 长的关键是先求 AE,在 ? ACE 中,如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA,再测出由 C 点观 察 A 的仰角,就可以计算出 AE 的长。 解:选择一条水平基线 HG,使 H、G、B 三点在同一条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分

别是 ? 、 ? ,CD = a,测角仪器的高是 h,那么,在 ? ACD 中,根据正弦定理可得 AC = AB =
a sin ? sin(? ? ? )

= =

AE + h AC sin ? + h
a sin? sin ? + h sin(? ? ? )

例 2、 如图, 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ? 40? , 在塔底 C 处测得 A 处的俯角 ? =50 ? 1? 。 已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗?(给时间给学生讨论思考)若在 ? ABD 中求 CD,则关键需要 求出哪条边呢? 生:需求出 BD 边。 师:那如何求 BD 边呢? 生:可首先求出 AB 边,再根据 ? BAD= ? 求得。 解:在 ? ABC 中, ? BCA=90 ? + ? , ? ABC =90 ? - ? , ? BAC= ? - ? , ? BAD = ? .根据正弦定理,

BC AB = sin(? ? ? ) sin(90 ? ? ? )

所以

AB =

BC sin(90? ? ? ) BC cos ? = sin(? ? ? ) sin(? ? ? )
BC cos ? sin ? sin(? ? ? )

解 Rt ? ABD 中,得 BD =ABsin ? BAD= 将测量数据代入上式,得 BD =

27.3 cos 50?1? sin 54?40? sin(54?40? ? 50?1?)

=

27.3 cos 50?1? sin 54?40? sin 4?39?

≈177 (m) CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为 150 米. 师:有没有别的解法呢? 生:若在 ? ACD 中求 CD,可先求出 AC。 师:分析得很好,请大家接着思考如何求出 AC? 生:同理,在 ? ABC 中,根据正弦定理求得。 (解题过程略) 例 3、 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ? 的 方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 ? 的方向上,仰角为 8 ? ,求此山的高度 CD.

师:欲求出 CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢? 生:在 ? BCD 中 师:在 ? BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长? 生:BC 边 解:在 ? ABC 中, ? A=15 ? , ? C= 25 ? -15 ? =10 ? ,根据正弦定理,

BC AB = , sin A sin C
BC =

AB sin A 5 sin15? = sin10? sin C

≈ 7.4524(km) CD=BC ? tan ? DBC≈BC ? tan8 ? ≈1047(m) 答:山的高度约为 1047 米 课时小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进 行加工、抽取主要因素,进行适当的简化。 课后作业 1、 为测某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30 ? ,测得塔基 B 的

俯角为 45 ? ,则塔 AB 的高度为多少 m? 答案:20+

20 3 (m) 3

§1.2 解三角形应用举例三
●教学目标 知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 过程与方法:本节课是在学习了相关内容后的第三节课,学生已经对解法有了基本的了解,这节课应通过 综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例 1,还针对性地选择了既具典型性有具启发性的 2 道 例题,强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位,重过程,重讨论,教师通过 导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来,逐步让学生自主发现规律,举一反三。 情感态度与价值观:培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在教学过程中激发学生 的探索精神。 ●教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 ●教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问 题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向, 保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问题。 Ⅱ.讲授新课 [范例] 例 1、如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿 北偏东 32 ? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的 方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ? ,距离精确到 0.01n mile)

学生看图思考并讲述解题思路 教师根据学生的回答归纳分析:首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ? ABC,即可用余弦定理 算出 AC 边,再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ? CAB。 解:在 ? ABC 中, ? ABC=180 ? - 75 ? + 32 ? =137 ? ,根据余弦定理, AC= AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC = 67.52 ? 54.0 2 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 ? cos137? ≈113.15 根据正弦定理,
BC = sin ?CAB AC sin ?ABC AC

54.0 sin137 ? sin ? CAB = BC sin ?ABC = ≈0.3255, 113.15

所以

? CAB =19.0 ? ,75 ? - ? CAB =56.0 ?

答:此船应该沿北偏东 56.1 ? 的方向航行,需要航行 113.15n mile 例 2、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? ,沿 BE 方向前进 30m,至点 C 处测得顶端 A 的仰角 为 2 ? ,再继续前进 10 3 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4 ? ,求 ? 的大小和建筑物 AE 的高。

师:请大家根据题意画出方位图。 生:上台板演方位图(上图) 教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法,让学生动手练习,请三位同学用三种不同方法板演,然后教师 补充讲评。 解法一: (用正弦定理求解)由已知可得在 ? ACD 中, AC=BC=30, AD=DC=10 3 , ? ADC =180 ? -4 ? ,

? 10 3 =
sin 2?

30 。 sin(180? ? 4? )

因为

sin4 ? =2sin2 ? cos2 ?

? cos2 ? =

3 ,得 2

2 ? =30 ? ?

? =15 ? ,?在 Rt ? ADE 中,AE=ADsin60 ? =15

答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 解法二: (设方程来求解)设 DE= x,AE=h 在 Rt ? ACE 中,(10 3 + x) 2 + h 2 =30 2 在 Rt ? ADE 中,x 2 +h 2 =(10 3 ) 2 两式相减,得 x=5 3 ,h=15

?在 Rt ? ACE 中,tan2 ? =

h 10 3 ? x

=

3 ?2 ? =30 ? , ? =15 ? 3

答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 解法三: (用倍角公式求解)设建筑物高为 AE=8,由题意,得 ? BAC= ? , ? CAD=2 ? , AC = BC =30m , AD = CD =10 3 m 在 Rt ? ACE 中,sin2 ? = 在 Rt ? ADE 中,sin4 ? =

x 30
4 10 3
,

--------- ①

--------- ②

②?① 得

cos2 ? =

3 ,2 ? =30 ? , ? =15 ? ,AE=ADsin60 ? =15 2

答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 例 3、某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 ? 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船,正沿南偏东 75 ? 的方向以 10 海 里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什 么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船? 分析:这道题的关键是计算出三角形的各边,即需要引入时间这个参变量。 解: 如图, 设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船, 则 CB=10x, AB=14x,AC=9, ? ACB= 75 ? + 45? = 120?

?(14x)

2

= 9 2 + (10x)

2

-2 ? 9 ? 10xcos 120?

3 9 ?化简得 32x 2 -30x-27=0,即 x= ,或 x=- (舍去) 2 16
所以 BC = 10x =15,AB =14x =21,

又因为 sin ? BAC =

BC sin120? 15 3 5 3 = = ? AB 2 14 21

,?38 ? 13? + 45? =83 ? 13? ? ? BAC =38 ? 13? ,或 ? BAC =141 ? 47? (钝角不合题意,舍去) 答:巡逻艇应该沿北偏东 83 ? 13? 方向去追,经过 1.4 小时才追赶上该走私船. 评注:在求解三角形中,我们可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的应用题,必须 检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 课时小结 解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况: (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利 用正弦定理或余弦定理解之。 (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角 形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 课后作业 1、我舰在敌岛 A 南偏西 50? 相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西 10? 的方向以 10 海里/小时的速 度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用 2 小时追上敌舰?(角度用反三角函数表示)

§1.2 解三角形应用举例四
●教学目标 知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面 积公式的简单推导和应用 过程与方法:本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑,引导学生证明,同时总结出该公式的特点, 循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用,教师要放手让 学生摸索,使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,能不拘一格,一题多解。只要学 生自行掌握了两定理的特点,就能很快开阔思维,有利地进一步突破难点。 情感态度与价值观:让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;进一步培养 学生研究和发现能力,让学生在探究中体验愉悦的成功体验 ●教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 ●教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学习它的另一个表达公式。在

? ABC 中,边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h a 、h b 、h c ,那么它们如何用已知边和角表示?
h a =bsinC=csinB ,h b =csinA=asinC 根据以前学过的三角形面积公式 S= 三角形面积公式,S= ,h c =asinB=bsinaA

1 ah,应用以上求出的高的公式如 h a =bsinC 代入, 可以推导出下面的 2

1 absinC,大家能推出其它的几个公式吗? 2

同理可得,S=

1 1 bcsinA, S= acsinB 2 2

除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外,知道哪些条件也可求出三角形的面积呢? 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm 2 ) (1)已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ? ; (2)已知 B=62.7 ? ,C=65.8 ? ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析:这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系,我们可以应用 解三角形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么?求出需要的元素,就可以求出三角形的面积。 解: (1)应用 S=

1 1 acsinB,得 S= ? 14.8 ? 23.5 ? sin148.5 ? ≈90.9(cm 2 ) 2 2
b sin B

(2)根据正弦定理,

=

c ,c sin C

=

b sin C ,S = 1 bcsinA 2 sin B

=

1 2 sin C sin A b 2 sin B

A = 180 ? -(B + C)= 180 ? -(62.7 ? + 65.8 ? )=51.5 ?

sin 65.8 ? sin 51.5 ? 1 2 S= ≈4.0(cm 2 ) ? 3.16 ? ? sin 62.7 2
(3)根据余弦定理的推论,得 cosB = sinB = 应用 S=

c 2 ? a 2 ? b 2 38.7 2 ? 41.4 2 ? 27.3 2 = ≈0.7697 2ca 2 ? 38.7 ? 41.4

1 ? cos 2 B ≈ 1 ? 0.7697 2 ≈0.6384

1 1 acsinB,得 S ≈ ? 41.4 ? 38.7 ? 0.6384≈511.4(cm 2 ) 2 2

例 2、 如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形 区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到 0.1cm 2 )? 师:你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗? 生:本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答,老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解:设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论, cosB=

c 2 ? a 2 ? b 2 127 2 ? 68 2 ? 88 2 = ≈0.7532 2ca 2 ? 127 ? 68

sinB= 1 ? 0.75322 ? 0.6578

应用 S=

1 1 acsinB ,S ≈ ? 68 ? 127 ? 0.6578≈2840.38(m 2 ) 2 2

答:这个区域的面积是 2840.38m 2 。 例 3、在 ? ABC 中,求证: (1)

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; (2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC) 2 2 c sin C

分析:这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边的特点,用正弦定理来证明 证明: (1)根据正弦定理,可设
a = b = c = k 显然 k ? 0,所以 sin A sin B sin C

左边=

a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B ? = =右边 c2 k 2 sin 2 C sin 2 C

(2)根据余弦定理的推论, 右边=2(bc

b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 c2 ? a2 ? b2 +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab

=(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 ) =a 2 +b 2 +c 2 =左边 变式练习 1:已知在 ? ABC 中, ? B=30 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S 提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数。 答案:a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3 变式练习 2:判断满足下列条件的三角形形状, (1) acosA = bcosB (2) sinC =

sin A ? sin B cos A ? cos B

提示:利用正弦定理或余弦定理, “化边为角”或“化角为边” (1) 分别用两个定理进行证明。 解: (余弦定理)得 a?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 =b ? 2bc 2ca

?c 2 (a 2 ? b 2 ) ? a 4 ? b 4 = (a 2 ? b 2 )(a 2 ? b 2 )
? a 2 ? b 2或c 2 ? a 2 ? b 2

?根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
解: (正弦定理)得 sinAcosA=sinBcosB,

?sin2A=sin2B, ?2A=2B, ?A=B ?根据边的关系易得是等腰三角形
师:根据该同学的做法,得到的只有一种情况,而第一位同学的做法有两种,请大家思考,谁的正确呢? 生:第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况,因为 sin2A=sin2B,有可能推出 2A 与 2B 两个角互 补,即 2A+2B=180 ? ,A+B=90 ? (2)(解略)直角三角形 课时小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简并考察边 或角的关系, 从而确定三角形的形状。 特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。


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