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北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学(理)试题及答案


北京市朝阳区 2016-2017 学年度高三年级第一学期统一考试

数学试卷(理工类)
第一部分(选择题 共 40 分)

2016.11

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个

选项中,选出 符合题目要求的一项.
2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 , B ? ?x | x ?1 ? 0? ,则 A ? (?U B) ?

?

?

A. ?x | 0 ? x ? 1 ? C. ?x | x ? 2?

B. ?x | x ? 0? D. ?x |1 ? x ? 2?

? ?) 上单调递减的是 2.下列函数中,在其定义域上既是偶函数又在 (0 ,
A. y ? x 2 B. y ? x ? 1
0.6

C. y ? ? lg | x |

D. y ? ?2x

3.若 a ? log2.1 0.6 , b ? 2.1 , c ? log0.5 0.6 ,则 a , b , c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. b ? a ? c

4 . 已 知 函 数 f ( x) ? ax 2 ? x , 若 对 任 意 x1 , x2 ?[2, ??) , 且 x1 ? x2 , 不 等 式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x1 ? x2
A. ( , ??)

1 2

B. [ , ??)

1 2

C. ( , ??)

1 4

D. [ , ??)

1 4

5.设 m ? R 且 m ? 0 , “不等式 m+ A. m ? 0

4 ? 4 ”成立的一个充分不必要条件是 m
C. m ? 2 D. m ? 2

B. m ? 1

6 . 已 知 三 角 形 ABC 外 接 圆 O 的 半 径 为 1 ( O 为 圆 心 ) , 且 2OA ? AB ? AC ? 0 ,

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | OA |? 2 | AB | ,则 CA ? BC 等于
A. ?

15 4

B. ?

15 2

C.

15 4

D.

15 2

7.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0, 1 则函数 g ( x) ? f ( f ( x)) ? 的零点个数是 2 ?log 2 x , x ? 0,
1

A.4

B.3

C .2

D.1

8. 5 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是 A.总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多 B.总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多 C.总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个 D.总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.已知平面向量 a ? (1, 2),

b ? (?2, y) .若 a // b ,则 y ?
.

.

10.函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x 的单调递减区间为

11.各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .若 a3 ? 2 , S 4 ? 5S 2 ,则 a1 ?



S4 ?



12. 已知角 A 为三角形的一个内角, 且 cos A ?

3 a t , 则n 5

A?

tan( A ? ) ? ,

? 4

.

? mx 2 ? 1, x ? 0, 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 在 (??, ??) 上是具有单调性,则实数 m 的取值范 x ?(m ? 1)2 , x ? 0
围 . 14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长 安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七 里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢. ”其大意为: “现在有良马和驽马 同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是 3000 里,良马第一天行 193 里,之后每天 比前一天多行 13 里,驽马第一天行 97 里,之后每天比前一天少行 0.5 里.良马到齐后,立 刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇. ”试确定离开长安后的第 天,两马相逢.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an}(n ? N ) 是公差不为 0 的等差数列,a1 ? 1 ,且
?

1 1 1 , , 成等比数 a2 a4 a8

列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 1. an ? an ?1

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? 3 cos x ( a ? R )的图象经过点 ( , 0) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若 x ? [ ,

? 3

? 3? ] ,求 f ( x) 的取值范围. 2 2

17. (本小题满分 13 分)

D 点 共 面 , CD =1 , BC ? 2 , AB ? 4 , 如 图 , 已 知 A, B, C , 四

2 7 ?ABC ? 120? , cos ?BDC ? . 7
(Ⅰ)求 sin ?DBC 的值; (Ⅱ)求 AD 的长.
A B

D C

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

π π x2 ? ax ? cos x (a ? R) , x ? [ ? , ] . 2 2 4

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 是偶函数,试求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求证:函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减.

π 2

3

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ( x2 ? a) , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (?3, 0) 上单调递减,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的最小值为 ?2e ,试求 a 的值.

20. (本小题满分 14 分) 设 a , b 是正奇数,数列 {cn } ( n ? N )定义如下: c1 ? a, c2 ? b ,对任意 n ? 3 , cn 是 cn?1 ? cn?2 的最大奇约数.数列 {cn } 中的所有项构成集合 A . (Ⅰ)若 a ? 9, b ? 15 ,写出集合 A ;
?

{ c2 k , c2 k? 1 } (max{ ( Ⅱ ) 对 k ? 1 , 令 dk = max 表 示 p, q 中 的 较 大 值 ) ,求证: pq , } d k ?1 ? d k ;
(Ⅲ)证明集合 A 是有限集,并写出集合 A 中的最小数.

4

北京市朝阳区 2016-2017 学年度第一学期高三年级统一考试

数学答案(理工类)
一、选择题: (满分 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 C 6 A

2016.11

7 B

8 A

二、填空题: (满分 30 分) 题号 答案 9 10 11 12 13 14

?4

π [kπ, kπ ? ](k ? Z) 2

1 2

15 2

4 3

?7

(1, 2]

16

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d . 因为

1 1 1 1 1 1 , , 成等比数列,所以 ( )2 ? ? . a2 a4 a8 a4 a2 a8

即(

1 1 1 )2 ? ? . a1 ? 3d a1 ? d a1 ? 7d
2 2

化简得 (a1 ? 3d ) ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 7d ) ,即 d ? a1d . 又 a1 ? 1 ,且 d ? 0 ,解得 d ? 1 . 所以有 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n . (Ⅱ)由(Ⅰ)得: 所以 Tn ? 1 ? ???????7 分

1 1 1 1 ? ? ? . an ? an ?1 n ? (n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? ?1 . 2 2 3 n n ?1 n ?1
???????13 分

因此, Tn ? 1. 16. (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)因为函数 f ( x) ? a sin x ? 3 cos x 的图象经过点 ( , 0) , 所以 f ( ) ?

? 3

? 3

3 3 a? ? 0. 2 2
5

解得 a ? 1 . 所以 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) . 所以 f ( x ) 最小正周期为 ?? . (Ⅱ)因为

???????3 分

? 3

???????6 分

? 3? ? ? 7? ?x? . ,所以 ? x ? ? 2 2 6 3 6 5? ? ? 所以当 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值,最大值是 2 ; 6 3 2 3? ? 7? 当x? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值,最小值是 ? 1. 2 3 6
???????13 分

所以 f ( x ) 的取值范围是 [?1, 2] . 17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)在△ BDC 中,因为 cos ?BDC ? 由正弦定理

2 7 21 ,所以 sin ?BDC ? . 7 7

DC BC = 得, sin ?DBC sin ?BDC

sin ?DBC =

DC ? sin ?BDC 21 . ? BC 14
2 2 2

????5 分

(Ⅱ)在△ BDC 中,由 BC ? DC ? DB ? 2DC ? DB ? cos ?BDC 得,

4 ? 1 ? DB 2 ? 2 ? DB ?

2 7 . 7

所以 DB ?
2

4 7 3 7 ? DB ? 3 ? 0 . 解得 DB ? 7 或 DB ? ? (舍) . 7 7
?

( 120 ? ?DBC) 又因为 cos ?ABD= cos = cos120? ? cos ?DBC ? sin120? ? sin ?DBC

1 5 7 3 21 7 =? ? ? ? =? . 2 14 2 14 ??
在△ ABD 中,因为 AD =AB ? BD ? 2 AB ? BD ? cos ?ABD
2 2 2

=16 ? 7 ? 2 ? 4 ? 7 ? (?
所以 AD ? 3 3 .
6

7 ) ? 27 , 14
????13 分

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为函数 f ( x ) 是偶函数, 所以 f (? x) ?

( ? x) 2 x2 ? a(? x) ? cos(? x) ? ? ax ? cos x 4 4 x2 ? ax ? cos x 恒成立. 4
???????4 分

? f ( x) ?
所以 a ? 0 . (Ⅱ)由题意可知 f ?( x) ?

x ? sin x ? a . 2 x 1 π 设 g ( x) ? ? sin x ? a ,则 g ?( x) ? ? cos x .注意到 x ? (0, ) , a ? 0 . 2 2 2 1 π 由 g ?( x) ? 0 ,即 ? cos x ? 0 ,解得 0 ? x ? . 2 3 1 π π 由 g ?( x) ? 0 ,即 ? cos x ? 0 ,解得 ? x ? . 2 3 2 π π π 所以 g ( x) 在 (0, ) 单调递减, ( , ) 单调递增. 3 3 2 π π 所以当 x ? (0, ) , g ( x) ? g (0) ? 0 ? a ? 0 ,所以 f ( x ) 在 x ? (0, ) 单调递减, 3 3 π π π π π π 当 x ? ( , ) , g ( x) ? g ( ) ? ? 1 ? a ? 0 ,所以 f ( x ) 在 x ? ( , ) 单调递减, 3 2 2 4 3 2 π 所以当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减. ????????13 分 2

19. (本小题满分 14 分) 解:由题意可知 f ?( x) ? e x ( x2 ? 2 x ? a) . (Ⅰ)因为 a ? 1 ,则 f (0) ? ?1 , f ?(0) ? ?1 , 所以函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? (?1) ? ?( x ? 0) . 即 x ? y ?1 ? 0 . (Ⅱ)因为函数 f ( x ) 在 (?3, 0) 上单调递减,
x 2 所以当 x ? (?3, 0) 时, f ?( x) ? e ( x ? 2 x ? a) ? 0 恒成立.

???????3 分

即当 x ? (?3, 0) 时, x ? 2 x ? a ? 0 恒成立.
2

显然,当 x ? (?3, ?1) 时,函数 g ( x) ? x ? 2x ? a 单调递减,
2

7

当 x ? (?1, 0) 时,函数 g ( x) ? x2 ? 2x ? a 单调递增. 所以要使得“当 x ? (?3, 0) 时, x ? 2 x ? a ? 0 恒成立” ,
2

等价于 ?

? g (?3) ? 0, ? a ? 3, 即? 所以 a ? 3 . ? g (0) ? 0. ?a ? 0.

???????8 分

(Ⅲ)设 g ( x) ? x2 ? 2x ? a ,则 ? ? 4 ? 4a . ①当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1 时, g ( x) ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x ) 在 (??, ??) 单增,所以函数 f ( x ) 没有最小值. ②当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1 时,令 f ?( x) ? e x ( x2 ? 2 x ? a) ? 0 得 x ? 2 x ? a ? 0 ,
2

解得 x1 ? ?1 ? a ?1, x2 ? ?1 ? a ? 1 随着 x 变化时,

f ( x) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:
? 1? 1? a

x
f ' ( x) f ( x)

(?? , ? 1 ? 1 ? a )

(? 1 ? 1 ? a , ? 1+ 1 ? a )

? 1+ 1 ? a

(? 1+ 1 ? a , ??)
+ ↗

+ ↗

0
极大值

- ↘

0 极小值

当 x ? (?? , ? 1 ? 1 ? a ] 时, x2 ? (? 1 ? 1 ? a )2 ? 2 ? a ? 2 1 ? a . 所以 x ? a ? 2 ? 2 1 ? a ? 0 .
2

所以 f ( x) ? e x ( x 2 ? a) ? 0 . 又因为函数 f ( x ) 的最小值为 ?2e<0 , 所以函数 f ( x ) 的最小值只能在 x2 ? ?1 ? a ? 1 处取得. 所以 f (?1? a ?1) ? e?1? 所以 e?1?
a?1 a?1

[(?1? a ?1)2 ? a] ? 2e?1?

a?1

(1? a ?1) ? ?2e .

( a ?1 ?1) ? e .

易得 a ? 1 ?1 ? 1 . 解得 a ? 3 . 以下证明解的唯一性,仅供参考: 设 g (a) ? e?1?
a?1

?????????????14 分

(1 ? a ?1)
8

因为 a ? 0 ,所以 ? 1+ 1 ? a ? 0 , 1 ? 1 ? a ? 0 . 设 x ? ? 1+ 1 ? a ? 0 ,则 ? x ? 1 ? 1 ? a . 设 h( x) ? ? xe x ,则 h?( x) ? ?e x ( x ? 1) . 当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 ,从而易知 g (a ) 为减函数. 当 a ? (0,3) , g (a) ? 0 ;当 a ? (3, ??) , g (a) ? 0 . 所以方程 e?1?
a?1

( a ?1 ?1) ? e 只有唯一解 a ? 3 .

20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)数列 {cn } 为:9,15,3,9,3,3,3,……. 故集合 A ? {9,15,3} . ?????3 分

(Ⅱ)证明:由题设,对 n ? 3 , cn ? 2 , cn?1 都是奇数,所以 cn?1 ? cn?2 是偶数. 从而 cn?1 ? cn?2 的最大奇约数 cn ?

cn?1 ? cn?2 , 2

所以 cn ? max{ cn?1 , cn?2 },当且仅当 cn?1 ? cn?2 时等号成立.

c2k , c2k ?1} ? dk , 所以,对 k ? 1 有 c2k ?1 ? max{ c2k ?1 , c2k } ? max{ dk , dk } ? dk . 且 c2k ?2 ? max{ c2k ?2 , c2k ?1} ? dk ,当且仅当 c2k ? c2k ?1 时等号成立.???9 分 所以 dk ?1 ? max{ cn?1 , cn?2 }. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 3 时,有 cn ? max{
所以对 n ? 3 ,有 cn ? max{c1 , c2 } ? max{a, b} . 又 cn 是正奇数,且不超过 max{a, b} 的正奇数是有限的, 所以数列 {cn } 中的不同项是有限的. 所以集合 A 是有限集. 集合 A 中的最小数是 a , b 的最大公约数. ?????14 分

9


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