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数系的扩充与复数的引入复习学案


2015 学年第一学期从化三中调研课学案

2015 年 10 月 28 日

课题:数系的扩充与复数的引入
从化区第三中学高三数学备课组

【学习目标】 1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件; 2.了解复数的代数表示形式及其几何意义; 3.会进行复数代数形式的四则运算; 4.了解复数代数形式的加减运算的几何意义。 【学习重点】 复数的概念和四则运算。 【学习难点】 复数的代数表示形式及其几何意义;复数代数形式的加减运算的几何意义。 【学习过程】

一、自学尝试
(一)知识梳理 1.复数的概念
? R ) 形式的数叫复数.其中 i 叫做复数的 ⑴形如 a ? bi( a, b i2 ?

单位,且

。 a 叫做复数的

, b 叫做复数的

.复数常用集合 C 表示。

⑵复数的分类:对于复数 a ? bi(a, b ? R) 当 时,是实数;当 时,是虚数;当 时,是纯虚数。

⑶复数相等
a ? bi ? c ? di(a, b, c, d ? R) ?



⑷共轭复数 复数 z ? a ? bi 的共轭复数为 z ? a ? bi . ⑸复数的模
| z |? | a ? bi |?



⑹复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,其中 x 轴叫做实轴,实轴 上的点都表示实数, y 轴叫做虚轴,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。

1

2015 学年第一学期从化三中调研课学案

2015 年 10 月 28 日

2.复数的几何意义
Z ? a ? bi ? 点 Z (a, b) ? 向量 OZ .

??? ?

3.复数的四则运算:若复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di , 则 z1 ? z2 ? ; ; ;

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ?

z1 a ? bi (a ? bi)(c ? di) ac ? bd bc ? ad ? ? ? ? i z2 c ? di (c ? di )(c ? di) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

(二)基础自测 1.下列 n 的取值中,使 i n ? 1 ( i 是虚数单位)的是( A. n ? 2 B. n ? 3 C. n ? 4 ) D.第四象限 ) ) D. n ? 5

2.在复平面内表示复数 i(1 ? 2i) 的点位于( A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

3.(2014 广东高考)已知复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 z ? ( A. ?3 ? 4i B. ?3 ? 4i C. 3 ? 4 i

D. 3 ? 4i )

5.(2015 年全国高考)若 a 为实数,且 (2 ? ai)(a ? 2i) ? ?4i ,则 a ? ( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

二、主干讲解
考点 1 复数的概念
2 例 1 .设 i 为虚数单位 , 若复数 z ? ( m ? 2 m ? 3) ? (m ? 1)i是纯虚数 , 则实数 m ?



) B. ? 3 或 1 C. 3 或 ? 1 D. 1

A. ? 3

2

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2015 年 10 月 28 日

考点 2 复数的代数运算 z ?i ? i ( i 为虚数单位)的复数 z ? ( 例 2. (1)满足 z 1 1 1 1 1 1 A. ? i B. ? i C. ? ? i 2 2 2 2 2 2


1 1 D. ? ? i 2 2

(2)设 z ? A. ?1 ? 3i

10i ,则 z 的共轭复数为( 3?i

) D. 1 ? 3i

B. ?1 ? 3i

C. 1 ? 3i

考点 3

复数的几何意义

??? ? ??? ? z 例 3.如图,在复平面内,复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA , OB ,则复数 1 对 z2

y

应的点位于( A.第一象限 C.第三象限

) B.第二象限 D.第四象限
2 1

B

O

1

x

A

三、局部训练
1.设 a 是实数,且
A.

1 2

a 1? i ? 是实数,则 a ? ( 1? i 2 3 B. 1 C. 2


D. 2

2.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 | z | =( A. 1 B. 2 C. 2 D. 3



3.已知复数 z1 , z2 在复平面内对应的点分别为 A(0,1), B(?1,3) ,则 A. ?1 ? 3i B. ?3 ? i
3

z2 ?( z1



C. 3 ? i

D. 3 ? i

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2015 年 10 月 28 日

四、效果反馈
1.归纳总结: (1) (2) (3) 2.自我检测: 1.若复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ? ( A. ?2 B. ?
1 2



C.

1 2

D.2 )

2.已知 0 ? a ? 2 ,复数 z ? a ? i ( i 是虚数单位),则 z 的取值范围是( A. (1, 3) B. (1, 5) C. (1,3) ) D. 3 ? 4i D. (1,5)

3.已知复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 z ? ( A. ?3 ? 4i B. ?3 ? 4i C. 3 ? 4 i 2-i 4.复数 z 满足 z= ,则- z 等于( ) 1-i A.1+3i B.3-i

3 1 C. - i 2 2 C. ? 4, ?2?

1 3 D. + i 2 2 ) D. ? 4, 2 ?

5.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内, z 对应的点的坐标是( A. ? 2, 4 ? B. ? 2, ?4?

??? ? 6.在复平面内, O 是原点,向量 OA 对应的复数是 2 ? i (其中, i 是虚数单位) , ??? ? 如果点 A 关于实轴的对称点为点 B ,则向量 OB 对应的复数是( ) A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i C. 2 ? i D. 1 ? 2i 2015 7. i 的值为( ) A.1 B. i C.-1 D. ?i
8.若复数 z 满足 | z ? 3i |? 5 ,则 | z ? 2 | 的最大值是 ,最小值是 .

4


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