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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:12.5 数学归纳法


12.5 数学归纳法

第十二章

12.5

数学归纳法 -2-

1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

第十二章

12.5

数学归纳法 -3-

1.数学归纳法是证明一个与正

整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行:

第一个值 n0(n0∈N*) 时命题成立. (2)(归纳递推)假设 n=k(k≥k0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时
(1)(归纳奠基)证明当 n 取 命题也成立. 2.应用数学归纳法时特别注意: (1)数学归纳法证明的对象是与

正整数 有关的命题.

(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.

第十二章

12.5

数学归纳法 -4-

想一想对于数学归纳法证明中的两个基本步骤,你是如何理解的?
答案:第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳

假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则 就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.

第十二章

12.5

数学归纳法 -5-

1.用数学归纳法证明 3n≥n3(n∈N,n≥3),第一步应验证( A.n=1 B.n=2 C.n=3

)

D.n=4

关闭

C
答案

第十二章

12.5

数学归纳法 -6-

2.用数学归纳法证明 1+2+22+… +2n+1=2n+2-1(n∈N*)的过程中,在验证 n=1 时, 左端计算所得的项为() A.1 C.1+2+22 B.1+2 D.1+2+22+23

关闭

C
答案

第十二章

12.5

数学归纳法 -7-

1 1 1 + +… + 2,则() +1 +2 1 1 A.f (n)中共有 n 项,当 n=2 时,f (2)= + 2 3 1 1 1 B.f (n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f (2)= + + 2 3 4 1 1 C.f (n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f (2)= + 2 3 1 1 1 D.f (n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f (2)= + + 2 3 4

3.已知 f (n)= +

1

关闭

D
答案

第十二章

12.5

数学归纳法 -8-

4.用数学归纳法证明:“1+ + +… +

1 2

1 3

1 <n(n>1)”,由 2 -1


n=k (k>1)不等式成立,推

证 n=k+1 时,左边应增加的项的项数是

.

关闭

2

n

答案

第十二章

12.5

数学归纳法 -9-

5.已知在数列{an}中,a1= ,an+1= 的通项公式是 .

1 2

,则数列的前 +1

5 项为 , , , ,

1 1 1 1 1 2 3 4 5 6

,猜想它

1 1 1 1 1 , , , , 2 3 4 5 6

1 an= +1

关闭

答案

第十二章

12.5

数学归纳法 -10-

考点一 用数学归纳法证明恒等式
【例 1】 n∈N*,求证:1- + ? +…+
1 2 1 3 1 4 1 1 ? 2-1 2

=

1 1 1 + +…+ . +1 +2 2

证明:(1)当 n=1 则当 n=k+1 时,

1 时,左边=12

(2)假设 n=k 时等式成立,即

1 1 1 = ,右边= = .左边=右边. 2 1+1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + ? +…+ ? = + +…+ , 2 3 4 2 +1 +2 2 2-1

关闭

1 1 1 1 1 1 1 1- + - + … + + 2 3 4 2-1 2 2 + 1 2 + 2
+
1 1 2+1 2+2

=

1 1 1 + +…+ +1 +2 2

=

1 1 1 1 + +…+ + . +2 +3 2+1 2+2

即当 n=k+1 时,等式也成立. 综合(1),(2)可知,对一切 n∈N*,等式成立.
答案 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -11-

方法提炼 用数学归纳法证题的关键是第二步由 n=k 到 n=k+1 的过渡,要设法将 待证式与归纳假设建立联系,即借助于已经学过的公式、 定理或运算法则进 行恒等变形,把 n=k+1 时的表达式拼凑出归纳假设的形式,再把运用归纳假 设后的式子进行变形、证明.

考点一

考点二

考点三

考点四

考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -12-

举一反三 1 用数学归纳法证明:
对任意的 n∈N*,
立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 则当 n=k+1 时, =
1 1 1 + +…+ 1×3 3×5 (2-1)(2 +1)

1 1 1 + +…+ 1×3 3×5 (2-1)(2+1)
1 1×3

=

. 2+1
1 3

关闭

证明:(1)当 n=1 时,左边=

= ,右边=

1 3

1 2×1+1

= ,左边=右边,所以等式成 =
, 2+1

1 1 1 + +…+ 1×3 3×5 (2-1)(2 +1)

+
2

1 (2+1)(2+3)

1 + 2+1 (2+1)(2+3)

=

(2+3)+1 (2+1)(2+3)

=

2 +3k+1 (2+1)(2+3)

=

+1 2+3

=

+1 . 2(+1)+1

所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N*等式都成立.
答案 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -13-

考点二 用数学归纳法证明不等式 解:(1)∵ f(1)=12=1,g(1)=21=2,∴ f(1)<g(1).
n+1 * 【例 2= 】 (n )=n g( nf) =(<g n+(2) 1)n ∵ f(2) 23设 =8,fg (2) =32=,9, ∴ (2) .,n∈N .
3 ∵ f(3) =当 3 4= 81, g(3)=4时 =64, ∴ f(3)>g (3) . g(n)的大小; (1) n= 1,2,3,4 ,试比较 f(n )与 ∵ f(4) =根据 45=1(1) 024, g(4)=54=625,∴ f(4)>g(4). (2) 的结果猜测一个一般性结论 ,并加以证明. * n+1 n (2)猜想:当 n≥3,n∈N 时,有 n >(n+1) . 证明:①当 n=3 时,猜想成立.

关闭

②假设当 n=k(k≥3,k∈N )时猜想成立,即 k ∵ (k+1) =k ∴
(+1)+2 (+2)+1
2 2

*

k+1

>(k+1) ,也即
, +1

k

+1 (+1)

>1.

+1 +2k+1>k(k+2), +2 +1 (+1)2 · +2 +2

>

+1 ,∴ +1 +2

>

=

>

+1 ·k= >1 . +1 (+1)

由①②知,当 n≥3,n∈N*时,有 nn+1>(n+1)n.
答案 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -14-

方法提炼 用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法,即在归纳假设的基础 上,通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式.事实上,在合理运用归 纳假设后,可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立.

考点一

考点二

考点三

考点四

考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -15-

(1)证明:an> 2 + 1对一切正整数 n 都成立;

2 2 那么当 n=k+1 时, +1 = +

(1)证明:当 n=1 时,a1=2> 2 × 1 + 1,不等式成立.

举一反三 2 设数列{an}满足 a1=2,an+1=an+ (n=1,2,…).


1

关闭

(k∈N*)时,a > 2 + 1成立. 假设当 n=k k (2)令 bn= (n=1,2,…),判断 bn 与 bn+1 的大小,并说明理由.
1 1 + 2 > 2 k+ 3 + 2 >2(k+1)+1. 2

∴ 当 n=k+1 时,ak+1> 2( + 1) + 1成立.
+1

综上,an> 2 + 1对一切正整数 n 都成立. (2)解:∵ +1 =

+1

= 1+

1 2

·

+1

< 1+

1 2+1

·

+1

=

2(+1) (2+1) +1

=

2 (+1) 2+1

=

+2 -4 +2
1

1 2 1

<1.故 bn+1<bn.
答案

考点一

考点二

考点三

考点四

考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -16-

考点三 用数学归纳法证明几何问题
【例 3】用数学归纳法证明:凸 n 边形的对角线的条数为 f(n)= n(n-3)(n≥3).
1 2

关闭

证明:(1)∵ 三角形没有对角线, ∴ n=3 时,f(3)=0,命题成立. (2)假设当 n=k(k≥3)时,命题成立,即 f(k)= k(k-3), 则当 n=k+1 时,凸 k 边形由原来的 k 个顶点变为 k+1 个顶点,对角线条数增 加 k-1 条. ∴ f(k+1)=f(k)+k-1= k(k-3)+k-1= (k+1)[(k+1)-3]. ∴ 当 n=k+1 时命题成立,由(1)(2)可知对任何 n∈N 且 n≥3,命题恒成立.
答案 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五
1 2 1 2 1 2

第十二章

12.5

数学归纳法 -17-

方法提炼 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从 k 个变成 k+1 个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形 来分析;事实上,将 n=k+1 和 n=k 分别代入所证的式子,然后作差,即可求出 增加量,这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧.

考点一

考点二

考点三

考点四

考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -18-

举一反三 3 平面内有 n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆 都不相交于同一点,则这 n 个圆将平面分成不同的区域的个数为( ) A.2n B.2n C.n2-n+2 D.n2+n+1

关闭 关闭 n=2 时,分成 4 部分,可排除 D;n=3 时,分成 8 部分,可排除 A;n=4 时,分成 14 C ,可排除 B,故选 C. 部分

解析 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五

答案

第十二章

12.5

数学归纳法 -19-

考点四 用数学归纳法证明整除性问题
【例 4】 已知 n 为正整数,a∈Z,用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1 能被 a2+a+1 整除.
关闭

证明:(1)当 n=1 时,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被 a2+a+1 整除. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,ak+1+(a+1)2k-1 能被 a2+a+1 整除, 那么当 n=k+1 时, ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]+ak+2-ak+1(a+1)2 =(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]-ak+1(a2+a+1)能被 a2+a+1 整除. 即当 n=k+1 时命题也成立. 根据(1)(2)可知,对于任意 n∈N*,an+1+(a+1)2n-1 能被 a2+a+1 整除.

答案 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -20-

方法提炼 用数学归纳法证明整除问题,P(k)? P(k+1)的整式变形是个难点,找出 它们之间的差异,然后将 P(k+1)进行分拆、配凑成 P(k)的形式,也可运用结 论:“P(k)能被 p 整除且 P(k+1)-P(k)能被 p 整除? P(k+1)能被 p 整除”.

考点一

考点二

考点三

考点四

考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -21-

举一反三 4 用数学归纳法证明 42n+1+3n+2 能被 13 整除,其中 n 为正整
数.

关闭

证明:(1)当 n=1 时,42×1+1+31+2=91 能被 13 整除. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,42k+1+3k+2 能被 13 整除. 则当 n=k+1 时, 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2), ∵ 42k+1·13 能被 13 整除,42k+1+3k+2 能被 13 整除,∴ 42(k+1)+1+3k+3 能被 13 整除. 由(1)(2)知,当 n∈N*时,42n+1+3n+2 能被 13 整除.

答案 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -22-

考点五 归纳—猜想—证明
2 【例 5】 设数列{an}满足 an+1= -nan+1,n=1,2,3,….

(1) a1= 时 解:当 (1)由 a2= 2, ,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式;
2 (2) a ≥ 时 ,证明对所有的 得当 a2= -a3 1= 3, 11 1+ 2 由 a2=3,得 a3=2 -2a2+1=4, 2 由 a3=4,得 a4=3 -3a3+1=5,
1

关闭

n≥1,有 an≥n+2.

由此猜想 an 的一个通项公式:an=n+1(n≥1). (2)证明:用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1≥3=1+2,不等式成立. ②假设当 n=k 时不等式成立, 即 ak≥k+2, 那么,ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3, 也就是说,当 n=k+1 时,ak+1≥(k+1)+2. 根据①和②,对于所有 n≥1,都有 an≥n+2.
答案 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -23-

方法提炼 “归纳—猜想—证明的模式”,是不完全归纳法与数学归纳法综合运用 的解题模式,这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用,它的证 题模式是先由归纳推理发现结论,然后用数学归纳法证明结论的正确性,这 种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式.

考点一

考点二

考点三

考点四

考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -24关闭

举一反三 5 f一种计算装置 有一数据入口 解 :由已知得 (n )= f(n-1)(,n ≥2,n∈N*). A 和一个运算出口 B,按照
2-3 2+1

某种运算程序:①当从入口 A 输入自然数 1 时,从出口 B 得到 ,记为
4-3 1 1 1 1 ×f(1)= × = ,同理可得 f(3)= ,f(4)= , 4+1 5 3 15 35 63 f(1)= ;②当从入口 1 A 输入自然数 n(n≥2)时,在出口 B 得到的结果 3 猜想 f(n)= . (* ) (2-1)(2+1)

当 n=2 时,f(2)= 1

1 3 1

f(n)是前

一个结果 f(n-1)的

2(-1)-1 (*)式成立: 下面用数学归纳法证明 倍.当从入口 A 分别输入自然数 2,3,4 时,从出口 B 2 ( 1 ) +3 ①当 n=1,2,3,4 时,由上面的计算结果知(*)式成立.

分别得到什么结果?试猜想 f( 1 . *n )的表达式,并证明你的结论
②假设当 n=k(k≥4,k∈N )时,(*)式成立,即 f(k)= 那么当 n=k+1 时,f(k+1)= 即 f(k+1)=
2-1 2-1 1 f(k)= · , 2+3 2+3 (2-1)(2+1)

(2-1)(2+1)

,

1 ,所以当 [2(+1)-1][2( +1)+1]

n=k+1 时,(*)式也成立.
1 成立. (2-1)(2+1)

综合①②可知,对任意的 n∈N*,f(n)=

答案 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五

第十二章

12.5

数学归纳法 -251 2
1 2

3
1 3 1 4 1 1 1 + +…+ +2 +4

1.已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1- + ? +…- =2
1 2

时,若已假设 n=k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再 ) B.n=k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立

证(

A.n=k+1 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立

关闭 关闭

B

n 为正偶数,若 n=k,则下一个正偶数为 n=k+2,故选 B.
解析 答案

第十二章

12.5

数学归纳法 -261 2
2

3

2.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n 基础上加上式子( A.k2+1 B.(k+1)2
(+1) +(k+1) C. 2
4 2

4 +2 = ,则当 2

n=k+1 时,左端应在 n=k 的

)

D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
关闭

首先要明确等式左边是 n2 个连续的正整数的和,因此由 1+2+3+…+k2 到 关闭 1+2+3+…+(k+1)2 的过渡,1+2+3+…+k2 需要补上的式子为 D (k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.
解析 答案

第十二章

12.5

数学归纳法 -271 2 3

1 1 3.用数学归纳法证明: + 2 2 2

1 1 + 3+…+ =1(n∈N*). 2 2 2 1

解:①当 n=1 时,左边= ,右边=1*

1 2

1 1 2

= ,等式成立.

1 2

关闭

②假设当 n=k(k≥1,k∈N )时,等式成立,
1 1 1 1 即 + 2 +…+ =1, 2 2 2 2 1 1 1 则当 n=k+1 时, + 2 +…+ 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2+1

+

2

+1 =1-

+

2

+1 =1-

2

+

=1-

2+1

+

2+1

=1 -

2+1

.

即当 n=k+1 时,等式也成立. 由①②知,等式对 n∈N*成立.
答案


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