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2015年上海市宝山区高三数学一模试卷(2014


FunshineMaths 峰行数学
宝山区 2014 学年高三年级第一学期期末 数学学科质量监测试卷
(2014.12) 一、填空题 1. 函数 y ? 3tan x 的周期是 2. 计算 ;

2 4 ? 1 3



3. 计算 lim

1? 2 ? 3 ?…? n ?

n ?? n2
8

; ; ;

4. 二项式 ( x ? 1)10 展开式中, x 的系数为 5. 设矩阵 A ? ?

? 2 4? ? 2 ?2 ? ?2 4? ?,B ?? ? ,若 BA ? ? ? ,则 x ? 1 x ? 1 1 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ?


6. 现有 6 位同学排成一排照相,其中甲、乙二人相邻的排法有 7. 若 cos(? ? ? ) ? ?

1 3 , ? ? ? ? 2? ,则 sin ? ? 2 2




8. 若一个球的体积为 4 3? ,则它的表面积为

9. 若函数 y ? sin(2 x ? ? ) (0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是



10. 正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长均相等, E 是 PC 的中点,那么异面直线 BE 与 PA 所 成的角的余弦值等于 ;

11. 直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x ? y ? 6x ? 2 y ?15 ? 0 所截得的弦长等于
2 2



12. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所示,则函数 解析式 f ( x) ? ;

二、选择题 13. 已知点 P(tan ? ,cos ? ) 在第三象限,则角 ? 的终边在( A. 第一象限 资料整理 谭峰 B. 第二象限 C. 第三象限 ) D. 第四象限

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14. 已知函数 y ? xa ? b , x ? (0, ??) 是增函数,则( A. a ? 0 , b 是任意实数 C. b ? 0 , a 是任意实数 ) B. a ? 0 , b 是任意实数 D. b ? 0 , a 是任意实数

15. 在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则这个三角形中角 A 的值是( A. 30°或 60° B. 45°或 60° C. 60°或 120°

) D. 30°或 150°

16. 若 log a 3 ? logb 3 ? 0 ,则( A. 0 ? a ? b ? 1 17. 双曲线 A. 2 3

) C. a ? b ? 1 ) D. 1
*

B. 0 ? b ? a ? 1

D. b ? a ? 1

x2 y 2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12
B. 2 C.

3

18. 用数学归纳法证明不等式 1 ? 3 ? 5 ? ……? (2n ?1) ? n2 ( n ? N )的过程中,第二步 设 n ? k 时等式成立,则当 n ? k ? 1 时应得到( A. 1 ? 3 ? 5 ? ……? (2k ? 1) ? k 2 C. 1 ? 3 ? 5 ? ……? (2k ? 1) ? (k ? 2)2 19. 设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则复数 A. 第一象限
2 2

) B. 1 ? 3 ? 5 ? ……? (2k ? 1) ? (k ? 1)2 D. 1 ? 3 ? 5 ? ……? (2k ? 1) ? (k ? 3)2

2 ? z 2 对应的点位于( z
C. 第三象限



B. 第二象限

D. 第四象限 )

20. 圆 x ? y ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( A. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0 21. “ tan x ? ?1 ”是“ x ? ? A. 充分非必要条件 C. 充要条件 B. x ? 3 y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 2 ? 0

?
4

? 2k? (k ? Z) ”的(
B. 必要非充分条件



D. 既非充分也非必要条件 )

22. 在四边形 ABCD 中, AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则四边形的面积为( A.

5

B. 2 5

C. 5 )

D. 10

23. 函数 y ? A. y ? C. y ?

x 2 ? 1 ? 1 ( x ? 0) 的反函数是(

x2 ? 2 x ( x ? 0) x2 ? 2 x ( x ? 2)

B. y ? ? x2 ? 2 x ( x ? 0) D. y ? ? x2 ? 2 x ( x ? 2)

资料整理 谭峰

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24. 曲线 y 2 ?| x | ?1 的部分图像是( )

A 三、解答题

B

C

D

25. 解不等式组 ? 2

?| x ? 1|? 3 ? ?1 ? ?x?3

26. 如图, 正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长 AB ? 2 , 若异面直线 A 1A 与 B 1C 所成角 的大小为 arctan

1 ,求正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的体积 2

27. 已知点 F 为抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点, 点 P 是准线 l 上的动点, 直线 PF 交抛物线 C 于

A 、 B 两点,若点 P 的纵坐标为 m ( m ? 0 ) ,点 D 为准线 l 与 x 轴的交点
(1)求直线 PF 的方程 (2)求△ DAB 面积 S 的取值范围

资料整理 谭峰

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28. 已知函数 f ( x ) ?

x?a ( x ? R) x2 ? 2

(1)写出函数 y ? f ( x) 的奇偶性 (2)当 x ? 0 时,是否存在实数 a ,使 y ? f ( x) 的图像在函数 g ( x ) ? 在,求实数 a 的取值范围;若不存在,说明理由

2 图像的下方,若存 x

29. 已知抛物线 x2 ? 4 y ,过原点作斜率为 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 ,又过点

P1 作斜率为

1 1 的直线交抛物线于点 P 的直线交抛物线于点 P 2 ,再过 P 2 作斜率为 3 ,?, 2 4

如此继续,一般地,过点 P n 作斜率为 (1)求 x3 ? x1 的值

1 的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 P n ( xn , yn ) 2n

(2)令 bn ? x2n ?1 ? x2n ?1 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列 (3)记 P 为点列 P , P2n?1,… 的极限点,求点 P奇 的坐标 1, P 3 ,… 奇 ? ( x奇 , y奇 )

四、附加题 30. 有根木料长为 6 米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高的比为 1: 2 ,问怎 样利用木料,才能使光线通过的窗框面积最大(中间木档的面积可忽略不计)

31. 在平面直角坐标系中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0, 3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨 资料整理 谭峰

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迹为 C (1)写出轨迹 C 的方程 (2)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A 、 B 两点,问 k 为何值时 OA ? OB ?此时 | AB | 的值是 多少?

32. 设数列 ?an ? 的首项 a1 为常数,且 an?1 ? 3n ? 2an ( n ? N* ) (1)证明: ?an ?

? ?

3n ? ? 是等比数列 5?

(2) 若 a1 ? 说明理由

3 , ?an ? 中是否存在连续三项成等差数列?若存在, 写出这三项, 若不存在, 2

(3)若 ?an ? 是递增数列,求 a1 的取值范围

资料整理 谭峰


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