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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第八章 8.2


§ 8.2

空间的基本关系与公理

1.平面的基本性质 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上的所有点在这个平面内(即 直线在平面内). 公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面). 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共 直线. 2.公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
?平行 ?共面直线? ? ?相交 ? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线 a,b 所成的角(或夹角). π? ②范围:? ?0,2?. 5.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 6.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面 α,β 有一条公共直线 a,就说平面 α,β 相交,并记作 α∩β= a. ( √ ) )

(2)两个平面 α,β 有一个公共点 A,就说 α,β 相交于过 A 点的任意一条直线.( ×

(3)两个平面 α,β 有一个公共点 A,就说 α,β 相交于 A 点,并记作 α∩β=A.( × (4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC. (5)经过两条相交直线,有且只有一个平面. 2.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 答案 C B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线 ( × ( √ (

) ) ) )

解析 由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线, 若 b∥c,则 a∥b,与已知 a、b 为异面直线相矛盾. 3.下列命题正确的个数为 ①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 答案 C 解析 经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确; 两条平行线可以确定一个平面,∴②正确; 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴③正确; 命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确. 4.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A,B, C 三点的平面记作 γ,则 γ 与 β 的交线必通过 A.点 A B.点 B C.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M 答案 D 解析 ∵AB γ,M∈AB,∴M∈γ. 又 α∩β=l,M∈l,∴M∈β. 根据公理 3 可知,M 在 γ 与 β 的交线上. 同理可知,点 C 也在 γ 与 β 的交线上. 1 5.已知空间四边形 ABCD 中,M、N 分别为 AB、CD 的中点,则下列判断:①MN≥ (AC+ 2 1 1 1 BD);②MN> (AC+BD);③MN= (AC+BD);④MN< (AC+BD). 2 2 2 ( ) B.1 C.2 D.3 ( )

其中正确的是________. 答案 ④ 解析 如图,取 BC 的中点 O, 连接 MO、NO, 1 1 则 OM= AC,ON= BD, 2 2 1 在△MON 中,MN<OM+ON= (AC+BD), 2 ∴④正确.

题型一 平面基本性质的应用 例1 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. 思维启迪 (1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面;

(2)可以先证 CE 与 D1F 交于一点,然后再证该点在直线 DA 上. 证明 (1)连接 EF,CD1,A1B.

∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈CE,CE 平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA. ∴CE、D1F、DA 三线共点. 思维升华 公理 1 是判断一条直线是否在某个平面的依据;公理 2 及其推论是判断或证 明点、线共面的依据;公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据. (1)以下四个命题中 ①不共面的四点中,其中任意三点不共线;

②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则点 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是 A.0 C.2 B.1 D.3 ( )

(2)a、b 是异面直线,在直线 a 上有 5 个点,在直线 b 上有 4 个点,则这 9 个点可确定 ________个平面. 答案 解析 (1)B (2)9 (1)①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点

不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确. ②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但是若 A、B、C 共线,则结论不正确; ③不正确; ④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形. (2)∵a、b 是异面直线, ∴a 上任一点与直线 b 确定一平面,共 5 个,b 上任一点与直线 a 确定一平面,共 4 个, 一共 9 个. 题型二 判断空间两直线的位置关系 例2 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 思维启迪 第(1)问,连接 MN,AC,证 MN∥AC,即 AM 与 CN 共面;第(2)问可采用反 证法. 解 (1)不是异面直线.理由如下:

连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点, ∴MN∥A1C1. 又∵A1A 綊 C1C, ∴A1ACC1 为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD—A1B1C1D1 是正方体,∴B、C、C1、D1 不共面.

假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α,使 D1B 平面 α,CC1 平面 α, ∴D1、B、C、C1∈α,与 ABCD—A1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线. 思维升华 (1)证明直线异面通常用反证法;

(2)证明直线相交,通常用平面的基本性质,平面图形的性质等; (3)利用公理 4 或平行四边形的性质证明两条直线平行. (1)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,则下列判断错误的是 A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直 C.MN 与 BD 平行 D.MN 与 A1B1 平行 (2)在图中,G、N、M、H 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号) ( )

答案 解析

(1)D (2)②④ (1)连接 B1C, B1D1, 则点 M 是 B1C 的中点, MN 是△B1CD1 的中位线, ∴MN∥B1D1,

∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1, ∴MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD. 又∵A1B1 与 B1D1 相交,∴MN 与 A1B1 不平行,故选 D. (2)图①中,直线 GH∥MN; 图②中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面. 所以图②、④中 GH 与 MN 异面.

题型三 求两条异面直线所成的角 例3 空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30° ,E、F 分别为 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小. 思维启迪 取 AC 中点,利用三角形中位线的性质作出所求角. 解 取 AC 的中点 G,连接 EG、FG, 1 1 则 EG 綊 AB,GF 綊 CD, 2 2 由 AB=CD 知 EG=FG, ∴∠GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角,∠EGF(或它的补角)为 AB 与 CD 所成的角. ∵AB 与 CD 所成的角为 30° , ∴∠EGF=30° 或 150° . 由 EG=FG 知△EFG 为等腰三角形, 当∠EGF=30° 时,∠GEF=75° ; 当∠EGF=150° 时,∠GEF=15° . 故 EF 与 AB 所成的角为 15° 或 75° . 思维升华 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利

用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. (2)求异面直线所成的角的三步曲:即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要 灵活,经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行 平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题,进而求解. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 A.30° C.60° 答案 C 解析 如图,可补成一个正方体, ∴AC1∥BD1. ∴BA1 与 AC1 所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形, ∴∠A1BD1=60° . 即 BA1 与 AC1 成 60° 的角. B.45° D.90° ( )

求解两条直线所成角问题概念不准确致误

典例:(5 分)过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角 都相等,这样的直线 l 可以作 A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条 ( )

易错分析 忽视异面直线所成的角,只找两条相交直线所成角,没有充分认识正方体中的平 行关系. 解析 如图,连接体对角线 AC1,显然 AC1 与棱 AB、AD、AA1 所成的 角都相等,所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线,如连 接 BD1,则 BD1 与棱 BC、BA、BB1 所成的角都相等, ∵BB1∥AA1,BC∥AD, ∴体对角线 BD1 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,同理,体对角线 A1C、DB1 也与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,过 A 点分别作 BD1、A1C、DB1 的平行线都满足题意, 故这样的直线 l 可以作 4 条. 答案 D 温馨提醒 求空间直线所成的角时,常犯以下错误: (1)不能挖掘题中的平行关系,找不到其所成的角; (2)线多、图形复杂、空间想象力不够,感觉无从下手.

方法与技巧 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或 点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公 共点,根据公理 3 可知这些点在交线上,因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点 B 的直线是异面 直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.

3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问 题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往 可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. 失误与防范 1. 正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义, 不要理解成“不在同一个平面内”. 2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 答案 A 解析 “两条直线为异面直线”?“两条直线无公共点”.“两直线无公共点”?“两 直线异面或平行”.故选 A. 2.若空间三条直线 a,b,c 满足 a⊥b,b⊥c,则直线 a 与 c A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.平行、相交、是异面直线都有可能 答案 D 解析 当 a,b,c 共面时,a∥c;当 a,b,c 不共面时,a 与 c 可能异面也可能相交. 3.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与长为 2的棱异面,则 a 的取值范围是 A.(0, 2) C.(1, 2) 答案 A 解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为 a 的棱长一定大于 0 且 B.(0, 3) D.(1, 3) ( ) ( ) )

小于 2.选 A. 4.四棱锥 P-ABCD 的所有侧棱长都为 5,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,则 CD 与 PA 所成角的余弦值为 2 5 A. 5 答案 B 解析 因为四边形 ABCD 为正方形,故 CD∥AB,则 CD 与 PA 所成的角即为 AB 与 PA 所成的角,即为∠PAB. 在△PAB 内,PB=PA= 5,AB=2, 利用余弦定理可知 PA2+AB2-PB2 5+4-5 5 cos∠PAB= = = , 5 2×PA×AB 2× 5×2 故选 B. 5.设 P 表示一个点,a、b 表示两条直线,α、β 表示两个平面,给出下列四个命题,其中正 确的命题是 ①P∈a,P∈α?a α ②a∩b=P,b β?a β ③a∥b,a α,P∈b,P∈α?b α ④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b A.①② C.①④ 答案 D 解析 当 a∩α=P 时,P∈a,P∈α,但 a?α,∴①错;a∩β=P 时,② 错; 如图,∵a∥b,P∈b,∴P?a, ∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面 α, 又 a∥b,由 a 与 b 确定唯一平面 β,但 β 经过直线 a 与点 P, ∴β 与 α 重合,∴b α,故③正确; 两个平面的公共点必在其交线上,故④正确. 二、填空题 6.平面 α、β 相交,在 α、β 内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个 平面. 答案 1 或 4 解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面;否 B.②③ D.③④ ( ) B. 5 5 4 C. 5 3 D. 5 ( )

则确定四个平面. 7.a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ③若 a 平面 α,b 平面 β,则 a,b 一定是异面直线; ④若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的命题是________(只填序号). 答案 ① 解析 由公理 4 知①正确;当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可 以异面,故②不正确;a α,b β,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”,故③ 不正确;当 a,b 与 c 成等角时,a 与 b 可以相交、平行,也可以异面,故④不正确. 8.若两条异面直线所成的角为 60° ,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方 体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对. 答案 24 解析 正方体如图,若要出现所成角为 60° 的异面直线,则直线为面 对角线,以 AC 为例,与之构成黄金异面直线对的直线有 4 条,分别 是 A′B,BC′,A′D,C′D,正方体的面对角线有 12 条,所以所 12×4 求的黄金异面直线对共有 =24(对). 2 三、解答题 9.如图,空间四边形 ABCD 中,E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上,且满足 AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过 E、F、G 的平面交 AD 于点 H. (1)求 AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD 三线共点. (1)解 AE CF ∵ = =2,∴EF∥AC, EB FB

∴EF∥平面 ACD,而 EF 平面 EFGH, 平面 EFGH∩平面 ACD=GH, ∴EF∥GH,∴AC∥GH. ∴ AH CG = =3. HD GD

∴AH∶HD=3∶1. EF 1 GH 1 (2)证明 ∵EF∥GH,且 = , = , AC 3 AC 4 ∴EF≠GH,∴EFGH 为梯形.

令 EH∩FG=P,则 P∈EH,而 EH 平面 ABD, 又 P∈FG,FG 平面 BCD, 平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴P∈BD. ∴EH、FG、BD 三线共点. 10.如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,OA⊥ 底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 O-ABCD 的体积; (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小. 解 (1)由已知可求得,正方形 ABCD 的面积 S=4,

1 8 所以,四棱锥 O-ABCD 的体积 V= ×4×2= . 3 3 (2)连接 AC,设线段 AC 的中点为 E,连接 ME,DE, 则∠EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角(或其补角), 由已知,可得 DE= 2,EM= 3,MD= 5, ∵( 2)2+( 3)2=( 5)2, ∴△DEM 为直角三角形, DE 2 6 ∴tan∠EMD= = = . EM 3 3 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 答案 B 解析 当 l1⊥l2, l2⊥l3 时, l1 与 l3 也可能相交或异面, 故 A 不正确; l1⊥l2, l2∥l3?l1⊥l3, 故 B 正确;当 l1∥l2∥l3 时,l1,l2,l3 未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 不正确;l1, l2,l3 共点时,l1,l2,l3 未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故 D 不正确. 2.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G、H、M、N 分 别为 DE、BE、EF、EC 的中点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; ( )

④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ②③④ 解析 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线,GH 与 MN 成 60° 角,DE⊥MN. 3.(2012· 四川)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 CD、 CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________. 答案 90° 解析 如图,取 CN 的中点 K,连接 MK,则 MK 为△CDN 的中位 线, 所以 MK∥DN. 所以∠A1MK 为异面直线 A1M 与 DN 所成的角. 连接 A1C1,AM.设正方体棱长为 4, 则 A1K= ?4 2?2+32= 41, 1 1 MK= DN= 42+22= 5, 2 2 A1M= 42+42+22=6, ∴A1M2+MK2=A1K2,∴∠A1MK=90° . 4.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为正方形 ABCD 的中心,H 为直线 B1D 与平面 ACD1 的交点.求证:D1、H、O 三点共线. 证明 连接 BD,B1D1, 则 BD∩AC=O, ∵BB1 綊 DD1,∴四边形 BB1D1D 为平行四边形,又 H∈B1D, B1D 平面 BB1D1D, 则 H∈平面 BB1D1D, ∵平面 ACD1∩平面 BB1D1D=OD1,∴H∈OD1. 即 D1、H、O 三点共线. 5. 如图所示,等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90° ,BC= 2,DA⊥AC, DA⊥AB,若 DA=1,且 E 为 DA 的中点.求异面直线 BE 与 CD 所成角 的余弦值. 解 取 AC 的中点 F,连接 EF,BF, 在△ACD 中,E、F 分别是 AD、AC 的中点, ∴EF∥CD.

∴∠BEF 或其补角即为异面直线 BE 与 CD 所成的角. 在 Rt△EAB 中,AB=AC=1, 1 1 5 AE= AD= ,∴BE= . 2 2 2 1 1 1 在 Rt△EAF 中,AF= AC= ,AE= , 2 2 2 ∴EF= 2 . 2

1 5 在 Rt△BAF 中,AB=1,AF= ,∴BF= . 2 2 1 2 EF 2 4 10 在等腰三角形 EBF 中,cos∠FEB= = = . BE 10 5 2 ∴异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 10 . 10


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