当前位置:首页 >> 数学 >>

平面几何中几个重要定理的证明


平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1.塞瓦定理及其证明 定理: ? ABC 内一点 P, 在 该点与 ? ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交 ? ABC 三边 AB、BC、CA 于点 D、E、F,且 D、E、F 三点均不是 ? ABC 的顶点,则有

AD BE CF ? ? ? 1. DB EC FA
AD S?ADP S?AD

C ? ? 证明: 运用面积比可得 DB S?BDP S?BDC
根据等比定理有 .
D

A

F P C

S?ADP S?ADC S?ADC ? S?ADP S?APC ? ? ? S?BDP S?BDC S?BDC ? S?BDP S?BPC


B

E

AD S?APC ? 所以 DB S?BPC
三式相乘得

.同理可得

BE S?APB ? EC S?APC



CF S?BPC ? FA S?APB



AD BE CF ? ? ? 1. DB EC FA

注:在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高”还是“等底” ,这样就 可以产生出“边之比” . 2.塞瓦定理的逆定理及其证明 定理:在 ? ABC 三边 AB、BC、CA 上各有一点 D、E、F,且 D、E、F 均不是 ? ABC 的顶点,若

AD BE CF ? ? ? 1 ,那么直线 CD、AE、 DB EC FA

A

BF 三线共点. 证明:设直线 AE 与直线 BF 交于点 P,直线 CP 交 AB 于点 D/,则据塞瓦定理有

AD / BE CF ? ? ?1. D / B EC FA
因 为

D/ D B

F P C

AD BE CF ? ? ?1 DB EC FA

, 所 以 有

E

1

AD AD / ? .由于点 D、D/都在线段 AB 上,所以点 D 与 D/重合.即得 D、E、F 三点 DB D / B
共线. 注:利用唯一性,采用同一法,用上塞瓦定理使命题顺利获证. 二、梅涅劳斯定理 3.梅涅劳斯定理及其证明 定理:一条直线与 ? ABC 的三边 AB、BC、CA 所在直线分别交于点 D、E、F,且 D、E、F 均不是 ? ABC 的顶点,则有

A

AD BE CF ? ? ?1. DB EC FA
证明:如图,过点 C 作 AB 的平行线,交 EF 于 点 G. 因为 CG // AB,所以 (1) 因为 CG // AB,所以

D

B E
G

C

F

CG CF ? AD FA

————

CG EC ? DB BE

————(2)

AD BE CF DB BE CF ? ? ? 1. ? ? 由(1)÷(2)可得 ,即得 DB EC FA AD EC FA
注:添加的辅助线 CG 是证明的关键“桥梁” ,两次运用相似比得出两个比例等式,再 拆去“桥梁” (CG)使得命题顺利获证. 4.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明 定理:在 ? ABC 的边 AB、BC 上各有一点 D、E,在边 AC 的延长线上有一点 F,若

AD BE CF ? ? ? 1, DB EC FA
那么,D、E、F 三点共线. 证明:设直线 EF 交 AB 于点 D/,则据梅涅劳斯定 理有

A D/ E C

AD / BE CF ? ? ?1. D / B EC FA

D B

F

2

因为

AD BE CF AD AD / ? ? ? 1 ,所以有 ? . 由于点 D、 /都在线段 AB 上, D DB D / B DB EC FA

所以点 D 与 D/重合.即得 D、E、F 三点共线. 注:证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙,注意分析其相似后面的规律. 三、托勒密定理 5.托勒密定理及其证明 A B 定理:凸四边形 ABCD 是某圆的内接四边形,则有 M AB·CD + BC·AD = AC·BD. 证明:设点 M 是对角线 AC 与 BD 的交点,在线段 BD E 上找一点,使得 ? DAE = ? BAM. 因为 ? ADB = ? ACB, ? ADE = ? ACB, 即 所以 ? ADE C D ∽ ? ACB,即得

AD DE ? AC BC

,即

A D? B C ?

AC DE ?

————(1) 由于 ? DAE = ? BAM,所以 ? DAM = ? BAE,即 ? DAC = ? BAE。而 ? ABD = ? ACD,即 ? ABE = ? ACD,所以 ? ABE∽ ? ACD.即得

AB BE ? ,即 AB ? CD ? AC ? BE AC CD
由(1)+(2)得

————(2)

A D? B C A B C D ? ? ?

A?C D E ?

A C ? E ?. C B D ? B A

所以 AB·CD + BC·AD = AC·BD. 注:巧妙构造三角形,运用三角形之间的相似推得结论.这里的构造具有特点,不容易 想到,需要认真分析题目并不断尝试. 6.托勒密定理的逆定理及其证明 定理:如果凸四边形 ABCD 满足 AB× + BC× = AC× CD AD BD,那么 A、B、C、D 四点 共圆. 证法 1(同一法) : 在凸四边形 ABCD 内取一点 E,使得 ?EAB ? ?DAC, ?EBA ? ?DCA ,则

?EAB ∽ ?DAC .
可得 AB× = BE× CD AC ———(1)

A B

E D
3

C



AE AB ? AD AC

———(2)

则由 ?DAE

? ?CAB 及(2)可得 ?DAE ∽ ?CAB .于是有

AD× = DE× BC AC ———(3) 由(1)+(3)可得 AB× + BC× = AC×( BE + DE ). CD AD 据条件可得 BD = BE + DE,则点 E 在线段 BD 上.则由 ?EBA ? ?DCA ,得

?DBA ? ?DCA ,这说明 A、B、C、D 四点
共圆. 证法 2(构造转移法) 延长 DA 到 A/,延长 DB 到 B/,使 A、B、B/、 A/四点共圆.延长 DC 到 C/,使得 B、C、C/、B/四 点共圆. (如果能证明 A/、B/、C/共线,则命题获证) 那么,据圆幂定理知 A、C、C/、A/四点也共圆.

A/

B/ A B

因此,

CD AB AD BC ? ? , . BC BD AB BD
/ / / /

/

/

/

/

/

/

D

C/ C

可得

AB ? A/ D ? BC ? C / D A B ?B C ? . BD
A/ C / A/ D AC ? A/ D / / ? AC ? AC CD ,即 CD
= .

另一方面,

欲证

AB ? A/ D ? BC ? C / D BD

AC ? A/ D ,即证 CD

AB ? CD ? A/ D ? BC ? CD ? C / D ? AC ? BD ? A/ D


BC ? CD ? C / D ? ( AC ? BD ? AB ? CD) A/ D .

据条件有

AC ? BD ? AB ? CD ? AD ? BC ,所以需证

BC ? CD ? C / D ? AD ? BC ? A/ D ,
即证 CD ? C
/

/ / / / / / D ? AD ? A/ D , 这是显然的. 所以,A B ? B C ? A C ,
4

即 A/、B/、C/共线.所以 ?A

/

B/ B 与 ?BB C
/

/

互补.由于 ?A

/

B/ B ? ?DAB ,

?BB/ C / ? ?DCB ,所以 ?DAB 与 ?DCB 互补,即 A、B、C、D 四点共圆.
7.托勒密定理的推广及其证明 定理:如果凸四边形 ABCD 的四个顶点不在同一个圆上,那么就有 AB× + BC× > AC× CD AD BD 证 明 : 如 图 , 在 凸 四 边 形 ABCD 内 取 一 点 E , 使 得

?EAB ? ?DAC ,?EBA ? ?DCA , ?EAB 则
∽ ?DAC . 可得 AB× = BE× CD AC ————(1)

A

B

E C

D AE AB ? 且 AD AC ————(2) 则由 ?DAE ? ?CAB 及(2)可得 ?DAE ∽ ?CAB .于是

AD× = DE× BC AC ————(3) 由(1)+(3)可得 AB× + BC× = AC× BE + DE ) CD AD ( 因为 A、B、C、D 四点不共圆,据托勒密定理的逆定理可知 AB× + BC× ? AC× CD AD BD 所以 BE + DE ? BD,即得点 E 不在线段 BD 上,则据三角形的性质有 BE + DE > BD. 所以 AB× + BC× > AC× CD AD BD. 四、西姆松定理 8.西姆松定理及其证明 定理:从 ? ABC 外接圆上任意一点 P 向 BC、CA、AB 或其延长线引垂线,垂足分别 为 D、E、F,则 D、E、F 三点共线. 证明:如图示,连接 PC,连接 EF 交 BC 于点 D/,连接 PD/. 因为 PE ? AE,PF ? AF,所以 A、F、P、E 四点共圆,可得 因为 A、 P、 四点共圆, B、 C 所以 ? BAC = ? BCP, 即 ? FAE = ? BCP. 所以, ? FEP = ? BCP,即 ? D/EP = ? D/CP,可 得 C、D/、P、E 四点共圆. 所以, ? CD/P + ? CEP = 1800。而 ? CEP = 900, B 所以 ? CD/P = 900,即 PD/ ? BC. 由于过点 P 作 BC 的垂线,垂足只有一个,所以点

? FAE = ? FEP.
A

F D C E P
5

D 与 D/重合,即得 D、E、F 三点共线. 注: (1)采用同一法证明可以变被动为主动,以便充分地调用题设条件.但需注意运 用同一法证明时的唯一性. (2)反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键,要掌握好四点共圆的运用手法. 五、欧拉定理 9.欧拉定理及其证明 定理:设Δ ABC 的重心、外心、垂心分别用字母 G、 A O、H 表示.则有 G、O、H 三点共线(欧拉线) ,且满足 D . O 证明(向量法) :连 BO 并延长交圆 O 于点 D。连接 H CD、AD、HC,设 E 为边 BC 的中点,连接 OE 和 OC.则 B C E ? ? ?

OH ? 3OG

OH ? OA? AH

——— ①

因为 CD⊥BC,AH⊥BC,所以 AH // CD.同理 CH // DA. 所以,AHCD 为平行四边形. 从而得

AH ? DC .而 DC ? 2 OE ,所以 AH ? 2 OE .
? ? ? 1? ? ? ? ? OB? OC ? ,所以 AH ? OB? OC ? 2? ? ?
?

?

?

?

?

?

?

因为 OE ?

?

——— ②

由①②得: OH
?

? OA? OB? OC
? ? ?

?

?

?

———— ③
? ? ? ?

另一方面, OG
? ?

? OA? AG ? OA? 2 GF ? OA? GB? GC .
? ?

GC 而 GB ? GO? OB ,
? ? ?

? GO? OC ,所以
? ? ?

?

?

OG ? OA? 2 GO? OC ? OB ? OG ?
由③④得: OH ? 3 OG .结论得证.
? ?

1? ? ? ? ? ? OA? OB? OC ? —— ④ ? 3? ? ?

注: (1)运用向量法证明几何问题也是一种常用 方法, 而且有其独特之处, 注意掌握向量对几何问题 的表现手法; (2)此题也可用纯几何法给予证明. 又证(几何法) :连接 OH,AE,两线段相交于 / 点 G ;连 BO 并延长交圆 O 于点 D;连接 CD、AD、

A D O B
G

H
6

E

C

HC,设 E 为边 BC 的中点,连接 OE 和 OC,如图. 因为 CD⊥BC,AH⊥BC,所以 AH // CD.同理 CH // DA. 所以,AHCD 为平行四边形. 可得 AH = CD.而 CD = 2OE,所以 AH = 2OE. 因为 AH // CD,CD // OE,所以 AH // OE.可得 ? AHG/∽

? EOG/.所以

AH AG / HG / 2 ? ? ? OE G / E G / O 1 .
AG / 2 ? ,及重心性质可知点 G/就是 ? ABC 的重心,即 G/与点 G 重合. 由 / GE 1
所以,G、O、H 三点共线,且满足 OH

? 3OG .

六、蝴蝶定理 10.蝴蝶定理及其证明 C 定理:如图,过圆中弦 AB 的中点 M 任引两弦 CD C/ E 和 EF, 连接 CF 和 ED, 分别交 AB 于 P、 则 PM = MQ. Q, / A Q Q M P B 证明:过点 M 作直线 AB 的垂线 l,作直线 CF 关于 直线 l 的对称直线交圆于点 C/、 /, F 交线段 AB 于点 Q/. 连 / / / / / 接 FF 、DF 、Q F 、DQ .据圆的性质和图形的对称性可 知: ? MF/Q/ = ? MFP, ? F/Q/M = ? FPM; D / F 且 FF/ // AB,PM = MQ/. F / 因为 C、D、F 、F 四点共圆,所以 ? CDF/ + ? CFF/ = 1800, 而由 FF/ // AB 可得 ? Q/PF + ? CFF/ = 1800,所以 ? CDF/ = ? Q/PF,即 ? MDF/ = ? Q/PF. 又因为 ? Q/PF = ? PQ/F/,即 ? Q/PF = ? MQ/F/.所以有 ? MDF/ = ? MQ/F/. 这说明 Q/、D、F/、M 四点共圆,即得 ? MF/Q/ = ? Q/DM. 因 为 ? MF/Q/ = ? MFP , 所 以 ? MFP y = ? Q/DM . 而 ? MFP = ? EDM , 所 以 ? EDM = ? Q/DM.这说明点 Q 与点 Q/重合,即得 PM = MQ. E C 此定理还可用解析法来证明: A B 想法:设法证明直线 DE 和 CF 在 x 轴上的截距互 Q M P 为相反数. 证:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分

x

D F

7

线为 y 轴建立直角坐标系,M 点是坐标原点. 设直线 DE、CF 的方程分别为 x = m1 y + n 1,x = m2 y + n 2; 直线 CD、EF 的方程分别为 y = k1 x ,y = k2 x . 则经过 C、D、E、F 四点的曲线系方程为 (y –k1 x )(y –k2 x)+ ? (x –m1 y–n1)(x –m2 y –n2)=0. 整理得 ( ? +k1k2)x 2+(1+ ? m1m2)y 2–[(k1+k2)+ ? (m1+m2)]xy – ? (n1+n2)x+ ? (n1m2+n2m1)y+ ? n1n2=0. 由于 C、D、E、F 四点在一个圆上,说明上面方程表示的是一个圆,所以必须

? + k1 k2 = 1 + ? m1 m2
且 (k1+k2)+ ? (m1+m2)=0.

≠ 0,

若 ? =0,则 k1k2=1,k1+k2=0,这是不可能的,故 ? ≠0; 又 y 轴是弦 AB 的垂直平分线,则圆心应落在 y 轴上,故有 ? ( n1 + n2 ) = 0,从而得 n1 + n2 = 0. 这说明直线 DE、CF 在 x 轴上的截距互为相反数,即得 PM = MQ. 注:利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点,它可以较好地解决直线与曲线混杂在 一起的问题.如本题,四条直线方程一经组合就魔术般地变成了圆方程,问题瞬息间得以 解决,真是奇妙.运用它解题,不拘泥于小处,能够从整体上去考虑问题. 另外,待定系数法在其中扮演了非常重要的角色,需注意掌握其用法.

8


相关文章:
平面几何中几个重要定理的证明
平面几何中几个重要定理及其证明一、塞瓦定理 1.塞瓦定理及其证明 定理:在 ? ABC 内一点 P,该点与 ? ABC 的三个顶点相 连所在的三条直线分别交 ? ABC 三...
平面几何中几个重要定理的证明
平面几何中几个重要定理及其证明一、塞瓦定理 1.塞瓦定理及其证明 定理:在 ? ABC 内一点 P,该点与 ? ABC 的三个顶点相 定理 连所在的三条直线分别交 ? AB...
平面几何中几个重要定理的证明
平面几何中几个重要定理的证明_数学_高中教育_教育专区。平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1.塞瓦定理及其证明 定理: ? ABC 内一点 P, 在 该点与...
平面几何中几个重要定理的证明
平面几何中几个重要定理的证明_初三数学_数学_初中教育_教育专区。定理证明平面几何中几个重要定理及其证明一、塞瓦定理 1.塞瓦定理及其证明 定理:在 ? ABC 内一...
3几何选讲平面几何中几个重要定理的证明
初等几何选讲复习资料三 几何选讲平面几何中几个重要定理证明一、塞瓦定理 1.塞瓦定理及其证明 定理:在 ? ABC 内一点 P,该点与 ? ABC 的三个顶点相 连...
平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理自欧几里得的《几何原本》问世以来,初等几何以其新奇、...? PC AC 利用塞瓦定理的逆定理,可以证明三条直线共点,下面看几个具体的例子...
平面几何 五大定理及其证明
平面几何 定理及其证明一、 梅涅劳斯定理 1.梅涅劳斯定理及其证明 定理:一条直线...平面几何中几个重要定理... 13页 免费 平面几何中几个重要定理... 8页 免费...
3几何选讲平面几何中几个重要定理的证明
初等几何选讲复习资料三 几何选讲平面几何中几个重要定理证明 一、 塞瓦定理 1.塞瓦定理及其证明 定理:在 ? ABC 内一点 P,该点与 ? ABC 的三个顶点相连...
平面几何的几个重要定理--西姆松定理答案
平面几何的几个重要定理--西姆松定理答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。《西姆松...证明:如图,设四条直 线AB、BC、CD、AD中, AB交CD于点E,BC交AD于点F, ...
平面几何的几个重要定理--托勒密定理
平面几何的几个重要定理--托勒密定理_初二数学_数学_初中教育_教育专区。托勒密定理...完善图形 借助托勒密定理 例 2 证明“勾股定理”:在 Rt△ABC 中,∠B=90°...
更多相关标签:
平面几何重要定理 | 平面几何定理 | 平面几何定理大全 | 数学竞赛平面几何定理 | 初中平面几何定理 | 平面几何欧拉定理 | 立体几何证明定理 | 高中平面几何定理 |