当前位置:首页 >> 数学 >>

(教师版)数学思想方法-分类讨论


第3讲

分类讨论思想

1. 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法. 其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或 分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题 实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问 题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度. 2.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、 对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的数学定理、公式、性质是分类给出的, 在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数 与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定 义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类型、 位置需要分类:如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参 数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. (6)由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中,特别是在解决排列、组合中的计数问题时 常用. 3.分类讨论的原则 (1)不重不漏. (2)标准要统一,层次要分明. (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原则地讨论. 4.解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象,即对哪个变量或参数进行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论,即对各类问题详细讨论,逐步解决. (4)归纳总结,将各类情况总结归纳.

热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论

例 1

2 ? ?x +x,x<0, (1)(2014· 浙江)设函数 f(x) =? 2 若 f(f(a))≤2 ,则实数 a 的取值范围是 ?-x ,x≥0, ?

________. 3 9 (2)在等比数列{an}中,已知 a3= ,S3= ,则 a1=________. 2 2 3 答案 (1)a≤ 2 (2) 或 6 2 解析 (1)f(x)的图象如图,由图象知,满足 f(f(a))≤2 时,得 f(a)≥-2,而满足 f(a)≥-2 时, 得 a≤ 2.

3 (2)当 q=1 时,a1=a2=a3= , 2 9 S3=3a1= ,显然成立; 2

?a q =a =2, 当 q≠1 时,由题意,得? a ?1-q ? 9 ? 1-q =S =2.
1 2 3 1 3 3

3

?a q =2, 所以? 9 ?a ?1+q+q ?=2,
1 2 1 2

3

① ②

1+q+q2 由①②,得 =3,即 2q2-q-1=0, q2 1 所以 q=- 或 q=1(舍去). 2 1 a3 3 当 q=- 时,a1= 2=6.综上可知,a1= 或 a1=6. 2 q 2 思维升华 (1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延,合理进行分类;(2)运算 引起的分类讨论有很多,如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数运算中真数与底 数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域 等.
? ?log2?x+1?,x>3, (1)已知函数 f(x)=? x-3 满足 f(a)=3,则 f(a-5)的值为( ?2 +1, x≤3 ? 17 3 A.log23 B. C. D.1 16 2

)

(2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn-1(p 是常数),则数列{an}是( A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对 答案 (1)C (2)D

)

? ?a>3 ?a≤3 ? 解析 (1)分两种情况分析,? a-3 ①或者? ②,①无解,由②得,a=7, ?log2?a+1?=3 ?2 +1=3 ? ? 3 - 所以 f(a-5)=22 3+1= ,故选 C. 2

(2)∵Sn=pn-1, ∴a1=p-1,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn 1(n≥2),


当 p≠1 且 p≠0 时,{an}是等比数列; 当 p=1 时,{an}是等差数列; 当 p=0 时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}既不是等差数列也不是等比数列. 热点二 由图形位置或形状引起的讨论 例2 x-y+3≥0, ? ? (1)不等式组?x+y≥0, ? ?x≤2 表示的平面区域内有________个整点(把横、 纵坐标都是

整数的点称为整点). (2)设圆锥曲线 T 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 T 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|= 4∶3∶2,则曲线 T 的离心率为________. 1 3 答案 (1)20 (2) 或 2 2

解析 (1)画出不等式组表示的平面区域(如图). 结合图中的可行域可知 3 x∈[- ,2],y∈[-2,5]. 2 由图形及不等式组,知 ?-x≤y≤x+3,

? ? 3 ?-2≤x≤2,且x∈Z. ?

当 x=-1 时,1≤y≤2,有 2 个整点;

当 x=0 时,0≤y≤3,有 4 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤4,有 6 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤5,有 8 个整点; 所以平面区域内的整点共有 2+4+6+8=20(个). (2)不妨设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,若该圆锥曲线为椭圆,则有|PF1|+|PF2|=6t=2a, c 2c 3t 1 |F1F2|=3t=2c,e= = = = ;若该圆锥曲线是双曲线,则有|PF1|-|PF2|=2t=2a, a 2a 6t 2 c 2c 3t 3 |F1F2|=3t=2c,e= = = = . a 2a 2t 2 1 3 所以圆锥曲线 T 的离心率为 或 . 2 2 思维升华 求解有关几何问题时,由于几何元素的形状、位置变化的不确定性,所以需要根 据图形的特征进行分类讨论. 一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变化;函数问题中区 间的变化;函数图象形状的变化;直线由斜率引起的位置变化;圆锥曲线由焦点引起的位置 变化或由离心率引起的形状变化. x≥0, ? ? (1)(2014· 自贡模拟)已知变量 x, y 满足的不等式组?y≥2x, 表示的是一个 ? ?kx-y+1≥0 直角三角形围成的平面区域,则实数 k 等于( ) 1 1 A.- B. 2 2 1 C.0 D.- 或 0 2 x2 y2 (2)设 F1,F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知 P,F1,F2 是一个直角三 9 4 |PF1| 角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则 的值为________. |PF2| 7 答案 (1)D (2)2 或 2 x≥0, ? ? 解析 (1)不等式组?y≥2x, 表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可知若不等式组 ? ?kx-y+1≥0 x≥0, ? ? ?y≥2x, ? ?kx-y+1≥0 表示的平面区域是直角三角形, 只有直线 y=kx+1 与直线 x=0 垂直(如图①)

或直线 y=kx+1 与直线 y=2x 垂直(如图②)时,平面区域才是直角三角形.

1 由图形可知斜率 k 的值为 0 或- . 2 (2)若∠PF2F1=90° , 则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, ∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5, 14 4 |PF1| 7 解得|PF1|= ,|PF2|= ,∴ = . 3 3 |PF2| 2 若∠F2PF1=90° , 则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 =|PF1|2+(6-|PF1|)2, 解得|PF1|=4,|PF2|=2, |PF1| |PF1| 7 ∴ =2.综上所述, =2 或 . |PF2| |PF2| 2 热点三 由参数引起的分类讨论 例3 (2014· 四川改编)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28?为自然

对数的底数. 设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值. 解 由 f(x)=ex-ax2-bx-1, 有 g(x)=f′(x)=ex-2ax-b. 所以 g′(x)=ex-2a. 因此,当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a]. 1 当 a≤ 时,g′(x)≥0,所以 g(x)在[0,1]上单调递增, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当 <a< 时,令 g′(x)=0 得 x=ln(2a)∈(0,1), 2 2 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 2 g(0)=1-b; 1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 2 2 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 2 g(1)=e-2a-b.

思维升华 一般地,遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响进行 分类讨论,此种题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义 时还要考虑适当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确,不重不漏. ax 已知函数 g(x)= (a∈R),f(x)=ln(x+1)+g(x). x+1 (1)若函数 g(x)过点(1,1),求函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程; (2)判断函数 f(x)的单调性. a 2x 解 (1)因为函数 g(x)过点(1,1), 所以 1= , 解得 a=2, 所以 f(x)=ln(x+1)+ .由 f′(x) 1+1 x+1 x+3 1 2 = + ,则 f′(0)=3,所以所求的切线的斜率为 3.又 f(0)=0,所以切点为 2= x+1 ?x+1? ?x+1?2 (0,0),故所求的切线方程为 y=3x. ax (2)因为 f(x)=ln(x+1)+ (x>-1), x+1 a?x+1?-ax x+1+a 1 所以 f′(x)= + = . x+1 ?x+1?2 ?x+1?2 ①当 a≥0 时,因为 x>-1,所以 f′(x)>0, 故 f(x)在(-1,+∞)上单调递增. ?f′?x?<0, ? ②当 a<0 时,由? 得-1<x<-1-a, ?x>-1, ? 故 f(x)在(-1,-1-a)上单调递减; ? ?f′?x?>0, 由? 得 x>-1-a, ?x>-1, ? 故 f(x)在(-1-a,+∞)上单调递增. 综上,当 a≥0 时,函数 f(x)在(-1,+∞)上单调递增; 当 a<0 时,函数 f(x)在(-1,-1-a)上单调递减, 在(-1-a,+∞)上单调递增.

分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作 过程:明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类 是否完备(即分类对象彼此交集为空集,并集为全集).做到“确定对象的全体,明确分类的 标准,分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有: (1)集合:注意集合中空集?的讨论. (2)函数:对数函数或指数函数中的底数 a,一般应分 a>1 和 0<a<1 的讨论;函数 y=ax2+bx +c 有时候分 a=0 和 a≠0 的讨论;对称轴位置的讨论;判别式的讨论. (3)数列:由 Sn 求 an 分 n=1 和 n>1 的讨论;等比数列中分公比 q=1 和 q≠1 的讨论. (4)三角函数:角的象限及函数值范围的讨论.

(5)不等式:解不等式时含参数的讨论,基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何:点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论; (7)平面解析几何:直线点斜式中 k 分存在和不存在,直线截距式中分 b=0 和 b≠0 的讨论; 轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)排列、组合、概率中的分类计数问题. (9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.

真题感悟 1 1.(2014· 课标全国Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC 等于( 2 A.5 B. 5 C.2 D.1 答案 B 1 1 1 解析 ∵S△ABC= AB· BC· sin B= ×1× 2sin B= , 2 2 2 2 π 3π ∴sin B= ,∴B= 或 . 2 4 4 3π 当 B= 时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B=1+2+2=5,所以 AC= 5, 4 此时△ABC 为钝角三角形,符合题意; π 当 B= 时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B=1+2-2=1,所以 AC=1,此 4 时 AB2+AC2=BC2,△ABC 为直角三角形,不符合题意.故 AC= 5. 2.(2013· 安徽)“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 当 a=0 时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+∞)上单调递增; 当 a<0 时,结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1) 所示; ) )

当 a>0 时,结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不 符合条件,如图(2)所示. 所以,要使函数 f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增只需 a≤0.

即“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件. 3.(2014· 广东)设集合 A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合 A 中 满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( A.60 B.90 C.120 D.130 答案 D 解析 在 x1, x2, x3, x4, x5 这五个数中, 因为 xi∈{-1,0,1}, i=1,2,3,4,5, 所以满足条件 1≤|x1| +|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3 的可能情况有“①一个 1(或-1), 四个 0, 有 C15×2 种; ②两个 1(或 -1),三个 0,有 C25×2 种;③一个-1,一个 1,三个 0,有 A25 种;④两个 1(或-1),一 个-1(或 1), 两个 0, 有 C25C13×2 种; ⑤三个 1(或-1), 两个 0, 有 C35×2 种. 故共有 C15×2 +C25×2+A25+C25C13×2+C35×2=130(种),故选 D. 押题精练
2 ? ?ax +1, 1. 已知函数 f(x)=? ax ??a+2?e ?

)

x≥0, x<0

为 R 上的单调函数, 则实数 a 的取值范围是(

)

A.(0,+∞) B.[-2,0) C.[-1,0) D.[-1,+∞) 答案 C 解析 若 a=0,则 f(x)在定义域的两个区间内都是常函数,不具备单调性;若 a>0,函数 f(x) 在两段上都是单调递增的,要使函数在 R 上单调递增,只要(a+2)e0≤1,即 a≤-1,与 a>0 矛盾,此时无解.若-2<a<0,则函数在定义域的两段上都是单调递减的.要使函数在 R 上 单调递减, 只要 a+2≥1 即 a≥-1, 即-1≤a<0.当 a≤-2 时, 函数 f(x)不可能在 R 上单调. 综 上,a 的取值范围是[-1,0). 2.等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值是( 1 A.1 B.- 2 1 1 C.1 或- D.-1 或 2 2 答案 C 解析 当公比 q=1 时,a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求. a1?1-q3? 1 1 当 q≠1 时,a1q2=7, =21,解之得,q=- 或 q=1(舍去).综上可知,q=1 或- . 2 2 1-q 3.抛物线 y2=4px (p>0)的焦点为 F,P 为其上的一点,O 为坐标原点,若△OPF 为等腰三角 形,则这样的点 P 的个数为( A.2 B.3 C.4 D.6 答案 C 解析 当|PO|=|PF|时, 点 P 在线段 OF 的中垂线上, 此时, 点 P 的位置有两个; 当|OP|=|OF| 时,点 P 的位置也有两个;对|FO|=|FP|的情形,点 P 不存在.事实上,F(p,0),若设 P(x, ) )

y),则|FO|=p,|FP|= ?x-p?2+y2,若 ?x-p?2+y2=p,则有 x2-2px+y2=0,又∵y2=4px, ∴x2+2px=0,解得 x=0 或 x=-2p,当 x=0 时,不构成三角形.当 x=-2p(p>0)时,与点 P 在抛物线上矛盾.所以符合要求的点 P 一共有 4 个. 4.6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交 换的两位同学互赠一份纪念品. 已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换, 则收到 4 份纪念品的 同学人数为( )

A.1 或 3 B.1 或 4 C.2 或 3 D.2 或 4 答案 D 解析 设 6 位同学分别用 a,b,c,d,e,f 表示. 若任意两位同学之间都进行交换共进行 15 次交换,现共进行了 13 次交换,说明有两次交换 没有发生,此时可能有两种情况: (1)由 3 人构成的 2 次交换,如 a-b 和 a-c 之间的交换没有发生,则收到 4 份纪念品的有 b, c 两人. (2)由 4 人构成的 2 次交换,如 a-b 和 c-e 之间的交换没有发生,则收到 4 份纪念品的有 a, b,c,e 四人.故选 D. 5.已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(4-an)qn
-1

(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

解 (1)设数列{an}的公差为 d, ? ? ?3a1+3d=6, ?a1=3, 由已知,得? 解得? ?8a1+28d=-4, ?d=-1. ? ? 故 an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)可得 bn=n· qn 1,


于是 Sn=1· q0+2· q1+3· q2+?+n· qn 1.


若 q≠1,将上式两边同乘 q,得 qSn=1· q1+2· q2+?+(n-1)· qn 1+n· qn.


两式相减,得(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-?-qn n n+1 -?n+1?qn+1 n q -1 nq =nq - = . q-1 q-1 + nqn 1-?n+1?qn+1 于是,Sn= . ?q-1?2 n?n+1? 若 q=1,则 Sn=1+2+3+?+n= . 2 n?n+1? ? ? 2 ?q=1?, 综上,S =? nq -?n+1?q +1 ?q≠1?. ? ? ?q-1?
n n+1 n 2

-1

6.已知函数 f(x)=(a+1)ln x+ax2+1,试讨论函数 f(x)的单调性. 解 由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞), a+1 2ax2+a+1 f′(x)= +2ax= . x x ①当 a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当 a≤-1 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减. a+1 ③当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= - , 2a a+1? ? 则当 x∈?0, ?时,f′(x)>0; - 2a ? ? a +1 ? ? 当 x∈? - ,+∞?时,f′(x)<0. 2a ? ? a+1? ? 故 f(x)在?0, ?上单调递增, - 2a ? ? a+1 ? ? 在? - ,+∞?上单调递减. 2a ? ? 综上,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a≤-1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; a+1? ? 当-1<a<0 时,f(x)在?0, ?上单调递增, - 2a ? ? a+1 ? ? 在? - ,+∞?上单调递减. 2a ? ?


赞助商链接
相关文章:
数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想_图文
到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、函数与方程 思想、数形结合思想、分类讨论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这 些数学思想与方法, 掌握了...
...数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想)(...
到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、函数与方程 思想、数形结合思想、分类讨论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这 些数学思想与方法, 掌握了...
2014年中考数学二轮复习精品资料:数学思想方法(一)(整...
到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、函数与方程 思想、数形结合思想、分类讨论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这 些数学思想与方法,掌握了...
高考思想方法:分类讨论(精华版)
2015 届高三数学思想方法专题二:分类讨论班级: 姓名: 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化研究对象,发展人的思维有着重要帮助, ...
分类讨论思想整理版
分类讨论思想整理版_数学_高中教育_教育专区。专题 分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,是一种数学解题策略,对于何时需要分类讨论, 则要视具体...
浅谈初中数学教学中的分类讨论思想
一般来说,教师在教学活动中可按以下步骤引导学生建立分类讨论思想, 学会分类方法, 揭示分类讨论思想的本质,自觉合理的运用分类讨论思想解决 相应数学问题,形成...
数学思想方法之“分类讨论”_图文
数学思想方法之“分类讨论” - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 数学思想方法之“分类讨论” 作者:丁称兴 来源:《中学生理科应试》2016 年第 03 期 数学...
...数学下册第九章不等式与不等式组学科素养思想方法含...
七年级数学下册第九章不等式与不等式组学科素养思想方法含解析新版新人教版 - 不等式与不等式组 学科素养?思想方法 一、分类讨论思想 【思想解读】分类讨论思想是...
浅析初中数学分类讨论思想
版》2014 年第 16 期 摘要:在现阶段的初中数学...分类讨论是人 们常用的重要思想方法,在初中阶段的...初中数 学教学中,教师要对一些分类讨论思想有意识的...
中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题...
《 三易数学资源网 》 http://www.3emath.com 中考中的数学思想方法---分类讨论思想一、概述:当我们面对一大堆杂乱的人民币时, 我们一般会先分 10 元, 元,...
更多相关标签: